2014年五年级暑假第13讲-染色和覆盖(教师版)

第十三讲染色和覆盖
最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。

解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧。

解决该类题目时，通常使用到数论，尤其是奇偶性等知识。

例题1
【提高】如图所示为14个小方格组成的图形，请问可否把它们分别剪成12
⨯的7个小矩形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【分析】如图所示，将这14个小方格黑、白相间染色，有6个黑格，8个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

⨯方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？
【精英】如图，缺两格的88
【分析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。

用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。

要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。

但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。

例题2
⨯【提高】图1中有5个由4个11
⨯的小正方格组成的不同形状的硬纸板。

问能用这5个硬纸板拼成图2中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

⨯的正方形黑白相间染色后；、、、各盖住2白2黑，【分析】如图3所示，对45
盖住3白1黑或3黑1白；这5个硬纸板共能盖住11白9黑或9黑11白；但实际染色后共10个白格10个黑格，故不可能按题目要求盖住。

⨯的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”【精英】在66
形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.
【分析】因为一共有36个方格，而两种纸片分别有3个方格和4个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是9张“凸”形纸片；6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片；3张“凸”形纸片和8张“L”
⨯形纸片；12张“L”形纸片。

如果使所用的纸片尽量少，即最多要用9张“凸”形纸片.对这个66
的方格表按国际象棋棋盘的方式染色，可以得到18个黑格和18个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆盖到1个黑格，或者可以覆盖到3个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将18个黑格完全覆盖，所以用9张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的。

如果使用6张“凸”形纸片和
⨯的方格4张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖。

可以先用4张“凸”形纸片覆盖1个44
表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L形纸片覆盖即可。

所以，所用纸片最少为10张。

例题3
【提高】五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7人.新年到了，每个同学准备了一个礼物，送给自己前、后、左、右相邻的某一个同学.那么有没有可能每个同学都刚好收到1个别人送的礼物？
【分析】上图是一个77⨯的方格，其中每一个方格表示一个座位。

将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色
座位与白色座位都成了邻座。

因此每位黑格同学都把礼物送给了白格，白格都把礼物送给了黑格。

但实际上图中有25个黑格，24个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

【精英】某影院有31排,每排29个座位。

某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。

如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前、后、左、右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？ 【分析】把影院的座位图画成黑白相间的矩形。

2931⨯,共有899个小方格.不妨假定四角为黑格则共有黑
格450个,白格449个。

要求看第二场电影，每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置，即要求每一黑白格必须互换。

由于黑白格的总数不相等，因此是不可能的。

例题4
【提高】用若干个22⨯和33⨯的小正方形能不能拼成一个1111⨯的大正方形？请说明理由。

【分析】如图所示，将22⨯或33⨯的小正方形沿格线摆在图中的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格；而
阴影方格共有77个，是奇数；所以只用22⨯和33⨯的小正方形，不可能拼成1111⨯的大正方形。

【精英】能不能用15个如图所示的L 型和一个田字型纸板，拼成一个88⨯的棋盘？
【分析】将88⨯的方格如图条形染色.那么我们把22⨯的纸板放入方格中必定可以盖住2个黑格子和2个白
格子；把L 形放入方格中，必定可以盖住1个黑格子，3个白格子；或1个白格子，3个黑格子。

L 形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么15个L 形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个。

而在88
⨯的方格中，共有32个黑格子，32个白格子。

因此不能用15个L 型和一个田字型纸板，拼成一个88
⨯的棋盘。

例题5
【提高】如图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。

有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？
【分析】采用染色法。

如图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色；从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门。

由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。

现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A。

⨯方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中。

那【精英】如图，在55
么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A中？
【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。

⨯=个，每格爬所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。

而小方格为5525
过一次，就应该为25步，不是偶数。

于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。

例题6
【提高】如图是连接14个城市的道路图。

是否有一条路线经过每个城市恰好各一次？
【分析】图中恰好有14个城市，且具有对称性，故可将这14个城市黑白相间地涂上黑白两种颜色。

根据染色后城市颜色的分布规律，可以看出每条线段的两个端点总是异色的。

于是对于到达了一个白点城市（或黑点城市）后紧接着必须到达一个黑点城市（或白点）。

由于图中有6个黑点，8个白点，假设存在一条路线经过每个城市恰好一次，那么这条路线上的黑白城市的分布状态不外乎两种情形：
（1）从一个白色城市出发；（2）从一个黑色城市出发。

若从一白色城市出发，则颜色变化：
白→黑→白→黑→…→黑（→白）
此时有6个黑色城市都通过一次，而有2个白色城市尚未通过，且最多只能再通过一个白色城市，另一个不可能通过。

【精英】如图，能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次？
【分析】将图形中的节点黑白相间染色，那么从黑点只能走到白点，从白点只能走到黑点。

如果要每个节点都恰好经过一次，那么黑点和白点的数目应该刚好相等或者差1。

而其中一共有9个黑点，7个白点，白点比黑点少2个，因此不能。

例题7
【提高】如图是半张中国象棋盘，棋盘上放有一只马。

众所周知，马是走“日”字的。

请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
【分析】马走“日”字，在中国象棋盘上走有什么规律呢？如图所示，先在棋盘各交点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个●。

因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。

现在马在○点，要
+=个点，所以不可能做到不重复地走遍所有跳回这一点，应跳偶数步，可是棋盘上共有232245
的点后回到出发点。

【精英】在中国象棋棋盘中，棋子“马”的位置如图所示，若将“马”跳20步（马跳“日”字），则最后一步“马”落在棋盘上的不同位置可能有_______。

.A40个.B45个.C50个.D90个
【分析】设i 表示“马”所在点的行数（从上往下数），j 表示“马”所在点的列数（从左往右数）；“马”
跳奇数步，跳到的位置的i j +为偶数，“马”跳偶数步，跳到的位置的i j +为奇数；棋盘上一共有90个点，i j +分别为奇、偶各占一半；所以有90245÷=种可能，故选B 。

例题8
【提高】如图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。

如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？
【分析】如图所示，将正方体涂上黑、白相间的两种颜色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。

在27
个小正方体中，14个是黑的，13个是白的；甲虫从中间的白色小正方体出发，每走一步，方格就改变一种颜色；故它走27步，应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体；因此在27步中至少有一个小正方体，甲虫进去过两次；由此可见，如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次；那么甲虫不能走遍所有的小正方体。

【精英】有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是124⨯⨯。

现有一批现成的木箱，内空尺寸是666⨯⨯，问：为什么不能用这些商品将木箱装满？
【分析】采用如图所示的染色方法。

每件124⨯⨯的商品必占4个白的小立方体和4个黑的小立方体。

在整
个大正方体中，222⨯⨯的黑正方体共有54512++=个；故111⨯⨯的黑正方体共有
14222112⨯⨯⨯=个；111⨯⨯的白正方体共有666112104⨯⨯-=个；可见，111⨯⨯的小立方体黑白
总数不等，而每件124
⨯⨯的商品能占的黑白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙。

练习1
从44
⨯的小方格），问可否把它们
⨯的小方格得到的（阴影部分为减去的2个11
⨯的正方形分别剪去两个11
分别剪成12
⨯的7个小矩形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【分析】如图所示，将这14个小方格黑、白相间染色，有6个黑格，8个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

练习2
如图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【分析】将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12
⨯的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12
⨯的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。

练习3
⨯的棋盘？
能否用9个所示的卡片拼成一个66
⨯的棋盘黑白相间染色，有18个黑格。

而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，【分析】如图所示，将66
所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格。

练习4
五年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座。

如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什么？
⨯的方格表，其中每一个方格表示一个座位。

将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座【分析】划一个57
位与白色座位都成了邻座。

因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格。

但实际图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

练习5
⨯=个展室，如图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。

参观者有一次车展共4416
能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
【分析】如右上图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格。

入口处是白
格，从入口到出口共要走15步，那么最后一步必然是黑格。

然而出口处也是白格，因此不可能不重复的走遍每个展室。

练习6
一只电动老鼠从下图的A 点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。

当这只电动老鼠又回到A 点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯。

如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
【分析】如图所示，将格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少
次弯。

老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确。

练习7
一个88⨯国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21⨯的“骨牌”(形如
)把象棋盘上的62
个小格完全盖住?
【分析】不能.原因是每一个21⨯的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格，31个这样的骨牌恰好盖住
31个黑格和31个白格。

但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的，把它们去掉后剩下的是30个白格，32个黑格，或32个白格，30个黑格，因此不能盖住.
练习8
如图，对图1中的数进行如下操作：①选择上、下或左、右紧邻的两个数；②若这两个数都不小于1，则两个数都要加1或减1；若这两个数不管哪个是0，则两个数都要加1。

按此方法操作若干次后形成图2。

求应填入A 的数。

【分析】如图3所示，将题目中的图形涂成黑白相间的图案。

因为操作时必须选择上、下或左、右紧邻的白
和黑方格中的数同时加1或减1，所以不管操作多少次，白格中所有的数之和与黑格中所有的数之和的差始终不变。

对图1，白格中所有的数之和为11818⨯=，黑格中所有的数之和为0180⨯=；对图2，白格中所有的数之和为11717A A ⨯+=+，黑格中所有的数之和为11818⨯=；由白格中所有的数之和与黑格中所有的数之和的差始终不变，得180(17A)18-=+-，19A =。