2014年五年级暑假第13讲-染色和覆盖(教师版)

第十三讲染色和覆盖

最简单的染色问题是从一种民间游戏中发展起来的方格盘上的染色问题。解决这类问题的方法后来又发展成为解决方格盘铺盖问题的重要技巧。

解决该类题目时，通常使用到数论，尤其是奇偶性等知识。

例题1

【提高】如图所示为14个小方格组成的图形，请问可否把它们分别剪成12

⨯的7个小矩形？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

【分析】如图所示，将这14个小方格黑、白相间染色，有6个黑格，8个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成7个由相邻两个方格组成的长方形。

⨯方格有62个格，能否用31个图不重复地盖住它且不留空隙？

【精英】如图，缺两格的88

【分析】这种覆盖问题是典型的用染色方法解决的问题之一。

用来覆盖，则用黑白相间染色，可以发现它无论横放、竖放，必然盖住一白一黑。

要不重复不留空白，那总共盖住的黑格数与白格数应该相等。

但从染色后整个图来看，黑格30个，白格32个，故不可能将整个图不重不漏地盖住。

例题2

⨯【提高】图1中有5个由4个11

⨯的小正方格组成的不同形状的硬纸板。问能用这5个硬纸板拼成图2中45的长方形吗？如果能，请画出一种拼法；如果不能，请简述理由。

⨯的正方形黑白相间染色后；、、、各盖住2白2黑，【分析】如图3所示，对45

盖住3白1黑或3黑1白；这5个硬纸板共能盖住11白9黑或9黑11白；但实际染色后共10个白格10个黑格，故不可能按题目要求盖住。

⨯的方格表中，用若干由3个单位方格组成的“L”形纸片和由4个单位方格组成的“凸”【精英】在66

形纸片将其完全覆盖，所用纸片最少为多少张?并在图中画出覆盖的方法.

【分析】因为一共有36个方格，而两种纸片分别有3个方格和4个方格，所以纸片的张数共有四种可能，分别是9张“凸”形纸片；6张“凸”形纸片和4张“L”形纸片；3张“凸”形纸片和8张“L”

⨯形纸片；12张“L”形纸片。如果使所用的纸片尽量少，即最多要用9张“凸”形纸片.对这个66

的方格表按国际象棋棋盘的方式染色，可以得到18个黑格和18个白格.对于一张“凸”形纸片来说，或者可以覆盖到1个黑格，或者可以覆盖到3个黑格，所以需要偶数个“凸”形纸片才能将18个黑格完全覆盖，所以用9张“凸”形纸片覆盖方格表是不可能的。如果使用6张“凸”形纸片和

⨯的方格4张“L”形纸片，则很容易将方格表完全覆盖。可以先用4张“凸”形纸片覆盖1个44

表，将剩余的部分用2张“凸”形纸片和4张“L形纸片覆盖即可。所以，所用纸片最少为10张。

例题3

【提高】五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7人.新年到了，每个同学准备了一个礼物，送给自己前、后、左、右相邻的某一个同学.那么有没有可能每个同学都刚好收到1个别人送的礼物？

【分析】上图是一个77⨯的方格，其中每一个方格表示一个座位。将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色

座位与白色座位都成了邻座。因此每位黑格同学都把礼物送给了白格，白格都把礼物送给了黑格。但实际上图中有25个黑格，24个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到。

【精英】某影院有31排,每排29个座位。某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前、后、左、右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？为什么？ 【分析】把影院的座位图画成黑白相间的矩形。2931⨯,共有899个小方格.不妨假定四角为黑格则共有黑

格450个,白格449个。要求看第二场电影，每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置，即要求每一黑白格必须互换。由于黑白格的总数不相等，因此是不可能的。

例题4

【提高】用若干个22⨯和33⨯的小正方形能不能拼成一个1111⨯的大正方形？请说明理由。

【分析】如图所示，将22⨯或33⨯的小正方形沿格线摆在图中的任何位置，必定盖住偶数个阴影方格；而

阴影方格共有77个，是奇数；所以只用22⨯和33⨯的小正方形，不可能拼成1111⨯的大正方形。

【精英】能不能用15个如图所示的L 型和一个田字型纸板，拼成一个88⨯的棋盘？

【分析】将88⨯的方格如图条形染色.那么我们把22⨯的纸板放入方格中必定可以盖住2个黑格子和2个白

格子；把L 形放入方格中，必定可以盖住1个黑格子，3个白格子；或1个白格子，3个黑格子。L 形盖住的黑白格子数都是奇数个，那么15个L 形盖住的黑格子和白格子也必然是奇数个。而在88

⨯的方格中，共有32个黑格子，32个白格子。因此不能用15个L 型和一个田字型纸板，拼成一个88

⨯的棋盘。

例题5

【提高】如图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A室，问他的目的能否达到，为什么？

【分析】采用染色法。如图，共有9个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色；从白室A出发走过第1扇门必至黑室，再由黑室走过第2扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A，共走过9扇门。由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A。

⨯方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中。那【精英】如图，在55

么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A中？

【分析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格。

⨯=个，每格爬所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。而小方格为5525

过一次，就应该为25步，不是偶数。于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。

例题6

【提高】如图是连接14个城市的道路图。是否有一条路线经过每个城市恰好各一次？

【分析】图中恰好有14个城市，且具有对称性，故可将这14个城市黑白相间地涂上黑白两种颜色。根据染色后城市颜色的分布规律，可以看出每条线段的两个端点总是异色的。于是对于到达了一个白点城市（或黑点城市）后紧接着必须到达一个黑点城市（或白点）。由于图中有6个黑点，8个白点，假设存在一条路线经过每个城市恰好一次，那么这条路线上的黑白城市的分布状态不外乎两种情形：