椭圆的定义及性质

当差值为0时，即|PF1|=|PF2|时：
． P．
．
F1
． 轨迹是线段F1F2的中垂线
F2
当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时:
． 或|PF2|-|PF1|=|F1F2|时: P （可不可能）？
． ． ．． ．
P
F1
P?
F2
P
轨迹是分别以F1和F2为端 点的两条射线
当|PF1|-|PF2|的绝对值>|F1F2|
．Ｐ(目的地)
A
B
双曲线的定义
定义：平面内与两个定点F1、F2的距离 的差的绝对值等于常数2a(<|F1F2|)的点 的轨迹叫双曲线。这两个定点F1、F2 叫做双曲线的焦点，两个焦点的距离 叫做双曲线的焦距2c。(o<a<c)
？：如果定义中没有“绝对值”这三个字，还是双曲线吗？
双曲线的标准方程的求法：
(这个方程是椭圆 的一个标准方程， 称这个定点F是 椭圆的一个焦点， 定直线是椭圆的 x 一条准线，比值 叫这个椭圆的离 心率)
结论：椭圆有两条和它的 两个焦点相对应的准线
l' : x a2 c
·F1
·M(x,y)
· o
F2
l : x a2 c
x
结论：椭圆有两条和它的两 个焦点相对应的准线
短轴：B1B2
o
·A2 顶点：
F2
x A1(-a ,0)
A2(a,0)
B1
B1(0,-b)
B2(0 ,b) 4.离心率：
e c
a
椭圆的第二定义:已知点M(x,y)到 定点F(c,0)的距离和它到定直线 x
a2
的距离的比为常数 c (a>c>0)， c
求点M的轨迹方程 a
·M(x,y) · · o F
x2 b2
y2 a2
1
与F2对应的准线l ' :方y程 ：a 2 c
与F1对应的准线方程：
l:ya
2
c
y
·F2
o
x
·F1
例1：求椭圆4x2+y2=2的准线方程
解：由已知有椭圆的标准方程为
x2 1
y2 2
1
椭圆的焦点在y轴上，
2
且a2=2, b2=0.5,c2=1.5
椭圆的两条准线方程为
y a2 2 2 6
P
．
．
F1
F2
• 不可能，因为在三角形中，两边之差小于第三边
• 理想化的问题：
• 一个出租汽车司机想从A地点送一个 乘客到达目的地后，然后返回B点的 家，已知A、B两点的距离为20公里 假设司机送客和返回家都是直线行 驶，假设汽车每行驶一公里耗费一 元，乘客每乘坐一公里付费二元， 请问这个司机怎样考虑接受乘客的 目的地，他才可能至少能收益15元？
c
33
2
线ex的1:距椭离圆为的一5 ，个离焦心点率到为相应2 ，准 则椭圆的短轴4 长为多少？ 3
椭圆的性质的应用：
eg1:椭圆9x2+25y2-225=0上一 点到左准线的距离为2.5,则P到 右焦点的距离是( )
• (A) 8 (B) 25 (c) 7.5 (D) 7 8
eg2:椭圆
x2 5
|PF1|+|PF2| =2a 这个椭圆的标准方程为：
o
x
·F1
x2 y2 1 b2 a2
( a>b>0,a2=b2+c2)
椭圆的标准方程
分类
图示
x2 a2
y2 b2
1
x2 y2 1 b2 a2
焦点 坐标 F1(-c,0) F2(c, 0)
F1(0,-c) F2(0, c)
共性
长轴长:2a 短轴长:2b 焦距: 2c (a2=b2+c2）
P
F1
O
F2
X
第(2)步：设点P(x,y)双曲线上的任意一点，
（假设不考虑职业道德）
分析：为了把问题简单化，我们先研究
． 司机刚好只收益15元的情形 Ｐ(目的地)
A
B
2|PA|-(|PA|+|PB|)=|PA|-|PB|=15
（注意: |PA|-|PB|=15<|AB|=20）
你会替司机出个主意了吗？
（要求: |PA|-|PB|=15且|AB|=20）
|PA|-|PB|>15时呢？
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的 中垂线为y轴建立直角坐标系,则有两焦点坐标分别
为：F1(-c,0),F2(c,o)
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据已知有：
|PF1|+|PF2| =2a
y
这个椭圆的一个标准方程为：
·F1
·P(x,y)
· o
F2
步骤： 建
设
找等量
翻译等
化简
系
点
关系式
量关系
整理
• 为了体现双曲线的对称美，和我们研究数 学的由简单到复杂的思维规律，我们也选
择对称的建系方式，称如下建系所得的双
曲线方程为双曲线的标准方程：
y y
O
x
O
x
解:第(1)步：如图：以F1F2所在直线为x轴，
以线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系, 则点F1和点F2Y的坐标分别为(-c,0)、(c,0)
x
x2 y2 a2 b2 1
( a>b>0,
a2=b2+c2)
求方程的过程:
解(1)建系：以F1F2所在的直线为y轴，以线段 F1F2的中垂线为x轴建立直角坐标系,则有两焦 点坐标分别为：F1(0 , -c),F2(0,c )
(2)设点p(x,y)是椭圆上一点,如图：根据
已知有：y
·· F2 P(x,y)
y2 4
1
的右焦点为F，
设点A (
5, 2
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3),P是椭圆上一动点，
求使 | AP| 5| PF|取得最小值时
的P的坐标，并求出这个最小值
问题：平面内到两个定点F1，F2的距离 的差是定值||PF1|-|PF2||=2a的点P的轨迹
是什么？
(1)若这个定值为0，它表示什么？ (2)若这个定值=|F1F2|，它表示什么？ (3)若这个定值>|F1F2|，它表示什么？ (4)若这个定值非零且<|F1F2|,它表示什么？
问题： 一架救援机从A地出发进行
救援任务，之后必须回到B地加 油，已知飞机一次最多能飞行 500公里，而AB两地相距200公里， 问这架飞机能够救援到的区域是 怎样的？
|PA|+|PB|=500 |AB|=200
．P ．P
A
B
．
P
．
． P
P
椭圆的定义和标准方程
• 定义：平面内与两个定点F1、F2 的距离的和等于常数2a(>|F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆。这两个定点 叫做椭圆的焦点，两个焦点的距 离2c叫做椭圆的焦距
椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
1.范围:
B2
|x|≤a
|y|≤b
o
· A2
F2
x
椭圆位于直线x=±a 和直线y=±b所围成
的矩形区域内
B1
2.对称性：
关于x轴和y轴对称，
也关于原点中心对称
椭圆的几何性质:(
x2 a2
y2 b2
1)
· A1 F1
3.顶点和长短轴：
B2
长轴：A1A2