有限元分析思想

单元的结点位移和结点力之间的关系用张量 （tensor）来表示
{F} = [K] {δ }
e e
e
1.3.3整体分析
对由各个单元组成的整体进行分析，建立节点 外载荷与结点位移的关系，以解出结点位移， 这个过程为整体分析。 在边界结点i上受到集中力 i 作用。结点i是三个单元的 结合点，因此要把这三个单 元在同一结点上的结点力汇 集在一起建立平衡方程。
4.
5.
O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 2000 郭和德编. 有限单元法概论，清华大学， 1998
1 有限单元法简介
金属体积成形过程的分析（用Deform软件 完成）
课程评估 – 作业 – 随堂测验 – 专题分析与报告 课程进度安排
– 第1~6周，课堂教学
25% 25% 50%
– 第7~10周，学习ANSYS与上机练习 – 第12~15周，课堂教学 – 第16周，课程总结/交流
参考书目
1.
2. 3.
王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理 和数值方法 . 北京 : 清华大学出版社, 1997 朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2 版）. 北京: 中国水利水电出版社, 1998 Saeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1999
ui+1 − ui u(x) = ui + (x − xi ) Li
ui
xi
第i结点的位移 第i结点的坐标
第i个单元的应变 应力 内力
du ui+1 − ui εi = = dx Li
E(ui+1 − ui ) σi = Eεi = Li
EA(ui+1 − ui ) Ni = Aσi = Li
3）把外载荷集中到节点上
软件名称
MSC/Nastran MSC/Dytran MSC/Marc ANSYS ADINA ABAQUS
简介
著名结构分析程序，最初由NASA研 制，由MSC维护开发 动力学分析程序 非线性分析软件 通用结构分析软件 非线性分析软件 非线性分析软件
一些专用的有限元软件如下表所列
软件名称 Deform Autoform
将连续系统分割成有限个分区或单 元 用标准方法对每个单元提出一个近 似解 将所有单元按标准方法组合成一个 与原有系统近似的系统。
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为E， 单位长度的重量为q，杆的 内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
有限单元法的数学基础（2）
1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写成变分形式的 所有场问题，都可以用与固体力学有限 单元法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加 权余量法特别是Galerkin法，导出标准的 有限元过程来求解非结构问题。
从二十世纪60年代中期以来，进行了大量的理论 研究，不但拓展了有限单元法的应用领域，还开 发了许多通用或专用的有限元分析软件。 主要的研究领域有：
– 计算方法：大型线性方程组的解法，非线性问题的解
法，动力问题计算方法。 – 高精度单元 – 多物理场耦合与复杂材料模型
目前使用较多的通用有限元软件如下表所列
自重作用下等截面直杆的材料力学解答
N(x) = q(L − x)
dL(x) = N(x)dx q(L − x)dx = EA EA
x
u(x) = ∫
0
N(x)dx q x2 = (Lx − ) EA EA 2
εx =
du q = (L − x) dx EA
q A
σ x = Eε x = (L − x)
平面问题的四边形单元划分
1.3.2单元分析
弹性力学问题的单元分析，就是建立各 个单元的节点位移和节点力之间的关系 式。 由于将单元的节点位移作为基本变量， 单元分析首先要为单元内部的位移确定 一个近似表达式，然后计算单元的应变、 应力，再建立单元中节点力与节点位移 的关系式。
1.3.2单元分析
单元有三个结点I、J、M，每个结点有两个位移 u、v和两个结点力U、V。
DYNAFORM
简介 金属体积成形分析 金属板料成形分析 金属板料成形分析 焊接与热处理分析
SysWeld
MSC中国
http://www.mscsoftware.com.cn/
ANSYS中国
http：//www.ansys.com.cn/
ABAQUS
http://www.abaqus.com/
1.3 有限单元法的计算步骤
有限单元法的计算步骤归纳为以下三个 基本步骤： 网格划分（离散化） 单元分析 整体分析
1.3.1网格划分
对弹性体进行必要的简化，再将弹性体 划分为有限个单元组成的离散体。 单元之间通过单元节点相连接。 由单元、结点、结点连线构成的集合称 为网格。
1.3.1网格划分
通常把三维实体划分成四面体（Tetrahedron） 或六面体（Hexahedron）单元的网格
q 1 2 −ui + (1+ λi )ui+1 − λiui+2 = (1+ )Li 2EA λi
根据约束条件，
u1 = 0
对于第n+1个结点，第n个单元的内力与 第n+1个结点上的外载荷平衡， qLn Nn = 2
qL2 −un + un+1 = n 2EA
建立所有结点的力平衡方程，再加上约束条件 可以得到由n+1个方程构成的方程组，可解出 n+1个结点的位移。
我国学者的贡献
– 陈伯屏（结构矩阵方法） – 钱令希（余能原理） – 钱伟长（广义变分原理） – 胡海昌（广义变分原理） – 冯康（有限单元法理论）
20世纪60年代初期，冯康等人在大型水坝应力计算的基 础上，独立于西方创造了有限元方法并最早奠定其理论 基础。--《数学辞海》第四卷
1.2 有限单元法的基本思路
从固体力学的角度来看，桁架结构与分 割成有限个分区后的连续体在结构上存 在相似性。
有限单元法的数学基础（1）
数学家们则发展了微分方程的近似解法， 包括有限差分方法，变分原理和加权余 量法。 在1963年前后，经过J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺）等许多人的工作， 认识到有限单元法就是变分原理中Ritz近 似法的一种变形，发展了用各种不同变 分原理导出的有限元计算公式。
ADIBiblioteka BaiduA http://www.adina.com/
DEFORM
http://www.deform.com/
AUTOFORM
http://www.autoform.com/
SYSWELD
http://www.esihttp://www.esi-group.com/products/sysweld/
1.3.3整体分析
i结点的结点力：
Ui(1) +Ui(2) +Ui(3) = ∑Ui(e)
e
Vi(1) +Vi(2) +Vi(3) = ∑Vi(e)
e
i结点的平衡方程：
(e) i ∑Ui = P x e Vi(e) = Pi ∑ y e
1.4有限单元法的进展与应用
1.4.1 主要研究领域与有限元软件
飞箭公司的有限元程序自动生成系统FEPG 飞箭公司的有限元程序自动生成系统FEPG
http://www.fegensoft.com/
1.4.2应用实例
有限单元法已经成功地应用在以下一些 领域：
固体力学 包括强度、稳定性、震动和瞬态问题的分析； 传热学 电磁场 流体力学
转向机构支架的强度分析（刘道勇，东风 汽车工程研究院动，用MSC/Nastran完成）
1.3.2单元分析
单元的所有结点位移、结点力，可以表示 为结点位移、结点力向量（vector）
ui v i u j e {δ} = vj um vm
Ui V i U j e {F} = Vj Um Vm
有限单元法形成的背景
在寻找近似解法的过程中，工程师和数 学家从两个不同的路线得到了相同的结 果，即有限单元法（Finite Element Method)。 有限单元法的形成可以回顾到二十世纪 50年代，它的形成直接得益于土木结构 分析中的矩阵位移法和在飞机结构分析 中所获得的成果。
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂 志上发表了一组能量原理和结构分析论 文。 1956年，M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学 会年会上介绍了一种新的计算方法，将 矩阵位移法推广到求解平面应力问题。 1960年， R.W. Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论 文中首次提出了有限元（Finite Element） 这一术语
四面体4结点单元
六面体8结点单元
1.3.1网格划分
三维实体的四面体 单元划分
三维实体的六面体 单元划分
1.3.1网格划分
通常把平面问题划分成三角形（triangular)或四 边形(quadrilateral)单元的网格
三角形3节点单元
四边形4节点单元
1.3.1网格划分
平面问题的三角形单元划分
∂T λ = h(Tf −T ) ∂n
300MW汽轮机低压转子淬火
两类问题的对比
第一类问题的研究对象称为离散系统。 离散系统是可解的，但是求解复杂的离 散系统，要依靠计算机技术。 第二类问题的研究对象称为连续系统。 可以建立描述连续系统的基本方程和边 界条件，通常只能得到少数问题的解析 解。对于许多实际的工程问题，需要用 近似算法求解。
1889年建成的Effiel塔，由 18036个部件组成
大型编钟“中华和钟”的振动分析及优化设计， 由曾攀教授完成。
第二类问题，通常可以建立它们应遵循的 基本方程，即微分方程和相应的边界条件。 例如弹性力学问题，热传导问题，电磁场 问题等。 热传导问题的控制方程与换热边界条件如 下：
∂ ∂T ∂ ∂T ∂ ∂T ∂T λ + λ + λ + Q = ρc ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂t
有限元分析 Finite Element Analysis
课程目标
1) 2)
3) 4)
了解什么是有限单元法、有限单元法的基本 思想。 学习有限单元法的原理，主要结合弹性力学 问题来介绍有限单元法的基本方法，包括单 元分析、整体分析、载荷与约束处理、等参 单元等概念。 初步学会使用商用有限元软件分析简单工程 问题。 了解有限元软件的基本结构和有限单元法当 前的进展情况。
把第i单元和第i+1单 元重量的一半，集中 到第i+1结点上
4）建立结点的力平衡方程 对于第i+1结点，由力的平衡方程可得：
q(Li + Li+1) Ni − Ni+1 = 2
EA(ui+1 − ui ) EA(ui+2 − ui+1 ) q − = (Li + Li+1 ) Li Li+1 2
Li 令 λi = Li+1
自重作用下等截面直杆的有限单元法 解答
1）离散化 如图所示，将直杆划分 成n个有限段，有限段之 间通过一个铰接点连接。 称两段之间的连接点为 结点，称每个有限段为 单元。 第i个单元的长度为Li ， 包含第i，i+1个结点。
2）用单元节点位移表示单元内部位移 第i个单元中的位移用所包含的结点位移来表示。
1.1有限单元法的形成 1.2有限单元法的基本思路 1.3有限单元法的计算步骤 1.4有限单元法的进展与应用
1.1有限单元法的形成
两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单 元体的组合。 例如，材料力学中的连续梁、建筑结构 框架和桁架结构。
平面桁架结构，由6个承受 轴向力的“杆单元”组成。