第讲 量子通信基础理论

经典粒子
特性：每时刻的位置、速度完 全确定，有确定的运行轨迹， 遵从牛顿力学。
微观粒子
特性：同时具有波动性和粒子性
A
设想空间有一个微观粒子，任何
时刻有可能在空间中任何点探测到粒 子（类似经典波的特性）， 但一旦探
B C
测到只能在其中一个探测器处发现该
粒子（类似经典粒子的特性）。
A,B,C …为粒子探测器
若A为算符，其共轭转置为 A ，† 若 A A†，则称该算符是厄米的。
记矩阵的厄米共轭为 A † [A]T，其中*表示复共轭，T表示
转置运算，如
2 i 1 i
3i
1 2i
2 i
3i
1i 1 2i
若对于状态 1 和 2 ，算符 Fˆ 满足
F ˆ ( c 1 1 c 2 2) c 1 F ˆ1 c 2 F ˆ2
m
（2.7）
四、公设4——量子测量假设
上述测量称为一般测量。
对于量子态 | | 0 |1 ，定义测量算子 M 0 | 0 0 |和 M1 |1 | 1 | 。
这两个测量算子都是厄米算子，并且满足
M
2 0
M0
，
M
2 1
M1 ，且满足完备性
方程：
M
0
M
0
M
1
M
1
M0
M1
I
。则测量结果为
根据某种条件可求出微观粒子的
运动状态
波函数 Y(r,t(
三、公设3——量子态演化假设
演化假设描述量子力学系统的状态随时间的变化规律。如下所述：
假设 3：封闭量子系统的演化可表示为：
i d H
dt
（2.4）
上述方程是由薛定谔发现的，所以称为 Schröbdinger 方程。式中，
h 2
，h
称
为 Planck 常数。H 是一个厄米算子，称为系统的 Hamilton 量。
1 (0 1
2
AB
1 (0 1
2
AB
1 (0 0
2
A
B
1 (0 0
2
AB
1 0) AB
1 0) AB
1 1) AB
1 1) AB
这4个纠缠态在量子通信中有重要的作用，称为Bell态。处在 Bell态的两纠缠粒子称为EPR对。
四、公设4——量子测量假设
要从量子系统获得信息，必须对其进行测量，测量的结果与选择的测量算子有关， 假设 4：对于一组测量算子{M m}，其满足完备性方程
薛定谔想要阐述的物理问题是：微观世界遵从量子叠加原理； 那么，如果自然界确实按照量子力学运行的话，宏观世界也应遵从 量子叠加原理。薛定谔的实验装置巧妙地把微观放射源与宏观的猫 联系起来，最终诞生出这只死活不定的薛定谔猫，结论似乎否定了 宏观世界存在可以区分的量子态的叠加态。然而，随着量子光学的 发展，人们研究各种制备宏观量子叠加态的方案，1997年科学家终 于在离子阱中观察到这种“薛定谔”猫态，即一个被观察的粒子在 同一时间里处于两个不同的状态。
0
的概率是
p(0)
|
M
0
M
0
|
| M0
|
2 ，测量后系统的状态为，
M0 | 0
四、公设4——量子测量假设
由于 a / a 的模为 1，因此系数可以忽略，测量后的状态为 | 0 。同样，测量结果
为 1 的概率是 p1 | M1M1 | | M1 | 2 ，测量后系统的状态为
叠加原理来源于薛定谔方程是线性的。于是有物理学家就 认为世界是处于叠加状态的，而很多学者表示反对，包括 薛定谔，他认为微观世界是叠加的，而宏观世界不行。
“薛定谔猫” ——宏观量子叠加态
t
1 2
死＋ 活
测量的重要性，影响了系统 的状态。
人们陆续观察到了宏观的“猫态”——量子叠加态： 例如：超导现象、波色爱因斯坦凝聚等
基于上述波函数的描述，如果 1 ( r , t)2 ( , r , t) , , n ( r , t)
是体系的可能状态，则它们线性叠加得出的波函数
(r,t)c11(r,t)c22(r,t) cnn(r,t)
n
cii(r,t)
i
也是体系的一个可能状态，这称为量子力学的态的叠加原理。
➢ 总之，量子世界的粒子不再遵从经典力学，而是量 子力学
|1 |n
五、公设5——复合系统公设
考虑A，B两粒子组成的系统，粒子A用Hilbert空间HA的态矢量
(t) 描 A
述，粒子B利用Hilbert空间HB的态矢量
(t)描述；A、B组成两粒子系 B
统，相应Hilbert空间 HABHAHB。
如果两粒子没有作用，其态矢量 ( t) ( t) ( t)，这乘积
设有输入量子态 和 ，初始状态为标准纯态 s
由 U （ s） ， U （ s） ，得
U[( )s]( )( ) 2 2
另外，又有
U [()s]U (s)U (s)
二者矛盾，所以量子态不可克隆。
二、公设2——力学量假设
假设2：量子力学中，任意实验上可以观测的力学量F可
由一个线性厄米算符 F ˆ 描述。
三、公设3——量子态演化假设
若给定系统的 Hamilton 量和 t0 时刻的初态 0 ，则通过求解方程（2.4）即
可得到任意时刻 t（ t t0 ）量子态的值，即
t e i Htt0 0
（2.5）
由（2.5）可见，量子态 t 的演化过程可以用一个算子U (t0,t) 来描述，即
在该处单位体积内发现粒子
P的与(概Yr,(t率)r,（t)概的Y率(模r密的,t度)平2）方P成(r正,t)比。 Y(r,t)Y*(r,t)
Y*德(r,布t)罗是意Y波(又r,称t)概的率共波轭复数
波函数又称 概率幅
玻恩 Max19B26o(年1rn8提8出2了~对1969)
波函数的统计解释
波函数的平方是某个态出现的概率，但是为什么薛 定谔引入它，他自己也无法解释，只是用这个方程 从理论推导的结果与实验都是相符合的（有点儿与 普朗克常数的引入相似），因而这个方程是正确的 。而恰恰量子力学用概率的方式描述微观世界是很 多人甚至包括爱因斯坦等大物理学家都质疑的“上 帝不能掷筛子”。所以反映微观世界的规律是概率 性的，这与经典世界完全不同。所以费曼就说对于 量子力学的概率性是不能问为什么的。
薛定谔的问题还可以进一步扩展为：宏观世界中是否存在量子 效应？事实上，大量实验事实都肯定地回答了这个问题。最近几年 引起广泛兴趣的玻色爱因斯坦凝聚的实验研究进展更有力地证实了 宏观量子效应。
一、公设1——量子状态假设
按狄拉克的表述，公设1：任一孤立的物理系统，将对应 一个矢量空间，它是一个复空间（Hilbert空间），系统状 态将由这空间中的一个单位矢量表示。
其中，c 1 ，c 2 为常数，则 Fˆ 称为线性算符。
在量子通信中，下列4个矩阵是非常有用的矩阵，它们都是
2×2的厄米矩阵，有时也分别写为Iˆ,Xˆ,Yˆ,Zˆ ，其中Iˆ 为单
位矩阵，Xˆ,Yˆ,Zˆ 为泡利（Pauli）矩阵。
I 0 11 0 ,x 1 00 1 ,y 0 i 0 i ,z 0 1 0 1
(x,y,z,t)2d 代 表 t时 刻 ， 粒 子 出 现 在 空 间 某 点 (x,y,z)附 近 微 体 积 元 d (d d xd yd z)中 的 概 率 ， (x,y,z,t)2代 表 t时 刻 ， 粒 子 出 现 在 空 间 某 点 (x,y,z)
一、公设1——量子状态假设
按薛定谔的表述，量子力学第一条公设为：量子力学
系统的状态用波函数 (r,t)来描述。它来源于实验中显
示的微观粒子具有波动特性。
(r,t) Aei(prEt)
概率密度
波函数的统计解释
设描述粒子运动状态的波函数
为Y空(间r,t某)，处则波的强度与在该处
发现粒子的概率成正比；
量子世界的怪异性
经典世界
空间定域
量子世界
非定域（概率分布）
经典世界
运动确定轨迹
量子世界
同时经由各种轨迹传送
量子力学基础知识
2.1 量子力学基本假设
微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出波动性，它 不服从经典力学的规律，必须用量子力学来描述其运动规 律。量子力学建立在若干基本假设的基础上，这些假设与 几何学的公理一样，不能用逻辑的方法加以证明。但从这 些基本假设出发推导得出一些重要结论，可以正确地解释 和预测许多实验事实，于是这些假设也被称为公理或公设。
量子， 并不是一种具体粒子，而是物理学中基本能量粒子的统称 。量子的观点认为分子、原子、电子等微观粒子都是量子的表现形 态。
对于光子，或者说光量子，在具有粒子 性的同时也具有波动性，即光也是一种 电磁波，具有特定的振动方向，在传播 过程中具有偏振特性，而这个特性将被 应用于本文的量子通信。
量子世界的奇妙性
狄拉克引入符号“ ”（右矢，ket）表示系统的状态， 其转置共轭表示为“ ”（左矢，bra）。
就可以表示系统的一个量子态，可以认为其等价于(r,t)
一个二维的状态空间，这个空间的基矢为 0 和 1 ，其中
0
1
0
1
0
1
因此，任一个态矢量可以表示为
0 1
2
为复数，且
2
1பைடு நூலகம்
利用状态空间的线性性质，可以简单证明在量子信息 中非常著名的单量子态不可克隆定理。
M1 | |1 。同样， b / b 的模为 1，因此这个系数可以忽略，测量后的状
态为|1 。
小结
公设1说明量子力学如何描述系统； 公设2说明量子力学如何刻画物理量； 公设3给出了封闭量子力学系统演化的动力学方程； 公设4给出获取量子系统信息的测量理论； 公设5描述如何描述符合量子系统。
➢ 量子力学处理的是不可观测量(x,t)。2是概率。
➢
反映自然界的基本规律是概率性。
➢ 经典世界的基本规律是确定性。
态叠加原理
量子系统的状态表示为
i 是概率幅，测量会使系统塌缩到其中一个本征态 i
其概率为 i 2 。
上，
经典粒子在某个时 刻只能处于确定的 物理状态上
量子粒子则可以同 时处于各种可能的 物理状态上（叠加 态）
AB
A
B
为张量积，这个态称为直积态。
五、公设5——复合系统公设
下面给出张量积与直积态的分量表示：
若取 12，
12，则
12
11 11 2222
考虑量子比特两态 0 01，1 10， 则
0
0
1
0
1
1
1
1
相应的算符为矩阵张量积。
0 1
0 0
五、公设5——复合系统公设
若取
A A A 1 21 1
1.2.1 波函数与微观粒子的状态
假设1 对于一个微观体系，它的状态和由该状态所决定的
各种物理性质可用波函数(x, y, z, t)表示。
(x, y, z, t)包括体系的全部信息，决定着体系全部可观测的性质。
平面单色光的波动方程：
A e x p [i2 (x/ t)]
ph/ E h
单粒子一维运动的函数：Aexp[i2h(xpxEt)]
t U (t0 ,t) 0
（2.6）
式中，算子U (t0,t) 称为演化算子。
U (t0 , t) e i H tt0
很明显，演化算子由薛定谔方程中的 Hamilton 量所决定。
五、公设5——复合系统公设
复合系统假设为： 假设 5：对于由两个以上不同物理系统组成的复合量子系统，其状态空间是 分系统状态空间的张量积。设分系统 i, (i 1,, n) 的状态为 | i ，则整个复合 系统的总状态为
第二讲 量子通信的基础理
论
主要内容： 一、量子的基本概念 二、量子力学假设（状态空间假设、力学量算符假设、 量子态演化假设、测量假设、复合系统假设） 方法：讲授、启发、讨论 目的：充分理解量子力学的五大基本假设 时间：90分钟
二、量子的概念
1.量子
19世纪物理学家提出的量子概念指出，微观世界中量子是能量的 最小单位，不能再分。
经典力学
薛定谔方程
量子力学
z p0 r0
p(t)
r(t)
Y
O 不考虑物质的波粒二象性
X
经典质点有运动轨道概念
牛顿力学方程
d
d
v p F
d
d
m t t 根据初始条件可求出经典质点的
运动状态
r(t), p(t)
z
Y(r,t( Y
O 针对物质的波粒二象性
X
微观粒子无运动轨道概念
是否存在一个
量子力学方程
？
A 12 A 2 2
则 AB
B B B 1 21 1
B 12 B 2 2
五、公设5——复合系统公设
若两系统之间有作用，这时系统状态不再是两子系统
的直积态，而是处于纠缠态（Entangled State）。
若两粒子分别对应两量子态 0 和 1 ，在对应的纠
缠态分别为
AB
AB
AB
AB
M
m
M
m
I
，
m
这些算子作用在被测系统状态空间上，下标 m 表示可能的测量结果。若测量前量子系统的状态
是 ，则测量后得到结果 m 的概率为
测量后系统的状态为
p(m) MmMm ，
Mm | 。
M
m
M
m
显然，完备性方程等价于所有可能结果的概率之和为 1，即
p(m)
|
M
m
M
m
|
1。
m