微分方程参数反演问题的同伦—多尺度方法解读

微分方程参数反演问题的同伦—多尺度方法

微分方程反演问题由于其非线性性和不适定性给求解带来很大的困难,而同伦反演方法是求解非线性算子方程的一种大范围收敛方法。它通过构造一

组同伦映射,可以克服牛顿迭代法收敛解严重依赖于初始近似解选择的不足。该方法已成功应用于许多领域,本文将在同伦方法的基础上展开进一步研究。由于同伦方法中同时含有同伦参数和正则参数,正则参数根据偏差原则选取,而同伦

参数通常采用等距划分的形式进行选取。若分划过细,则将在一定程度上增加计算量,尤其对于大型矩阵而言这样的时间浪费就显得更为严重。而若步长平均分划过大,又会造成误差增大。因此本文对同伦参数的选取进行了自适应方法的研究,并在一类椭圆参数识别问题上进行了数值模拟。其次,小波分析是近年来国

际上公认的前沿研究领域,它既包含有丰富的数学理论,又是工程应用中强有力

的方法和工具,给许多相关领域带来了崭新的思想。因此本文将同伦方法和小波多尺度理论引入反演过程中,将二者结合起来形成同伦-多尺度方法。在同伦方

法的每一步迭代中,利用小波基函数将反演参数及方程在小波空间中展开,从而

将物理空间中的参数反演问题转化为小波空间中的系数求解问题。由此,我们充分利用了小波空间基函数的正交性及小波快速重构的特点。其求解过程表明该

方法不仅减少了计算量和掉入局部极小值的机会,而且克服了反问题本身的非线性性和不适定性,在计算效率的提高上显出明显的优势,具有一定的理论意义和

较为广泛的实用价值。本方法在椭圆型方程参数反演问题上进行了应用,进行了大量的数值模拟,结果表明了本文所给的方法的有效性。

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