电路-节点分析法

U1 U2 4
联立求解得
U1 10V U2 6V I4 2A
111
1
15 10
( 5
20
4 )U 1
4U2
5
4
I4
1
11 1
10 4
4U1
( 4
20
10)U 2
I4
4
10
11
11
15 4
( 5
20 )U1
( 20
10 )U 2
5
10
（将节点①、②、4V电压源 支路、10V电压源支路构成 的闭合面作为一个广义节点）
0.5A
I4 I1 I2 I3 2A
I5
U3 20
0.3A
I6
U3 10
4
0.2A
解法二 ：
以节点③为参考节点
（用电流为I4的电流源替换 无伴电压源）
混合变量方程
111
1
15 10
( 5
20
4 )U1
4U2
5
4
I4
1 4 U1
1 ( 4
1 20
1 10)U 2
I4
10 4
4 10
补充方程
(1) 选定参考节点(节点③)和各支路电流的参考方向，对 独立节点列KCL方程
i1 i2 i3 i4 0
i3 i4 i5 i6 0
(2)用节点电压u1、u2表示支路电流
i1
us1 u1 R1
i3
u1 u2 R3
i2
u1 R2
i4
us4
(u1 R4
u2 )
i5
u2 R5
i6
解法三 ：
(1 5
1 20 )U1
(1 20
1 10 )U 2
15 5
4 10
U1 U2 = 4V
联立求解得
U1 10V
U2 6V
利用节点分析法求解电路时，如果电路中含有无伴电压 源（含无拌受控电压源）支路，则对联接此支路的两个 节点不能直接套用公式列写方程。此时有下列几种处理 方法：
1. 选电压源的一端节点作为参考节点，则该电压源的另 一端节点电压为已知，只须对其它节点列写节点方程即
u2
us6 R6
(3) 移项整理后得以节点电压为变量的节点方程
G 11
G 12
i s11
1 (
R1
1 R2
1 R3
1 R4 )u1
1 (
R3
1 R4 )u2
us1 R1
us4 R4
G 21
G 22
i s22
( 1 R3
1 R4
)u1
( 1 R3
1 R4
1 R5
1 R6
)u2
us4 R4
us6 R6
若电路中不含受控源， G12＝G21
is11、is22分别是电流源或等效电流源流入节点①、②的 电流代数和
1 (
R1
1 R2
1 R3
1 R4
)u1
1 (
R3
1 R4 )u2
us1 R1
us 4 R4
( 1 R3
1 R4
)u1
( 1 R3
1 R4
1 R5
1 R6
)u2
us 4 R4
us 6 R6
G11 u1表示在节点电压u1单独作用下流出①节点的电流 G21 u1表示在节点电压u1单独作用下流出②节点的电流
可； （首选！！！）
2. 将连接此电压源的两个节点作为一个广义节点列写节 点方程；
3. 增设电压源的电流为未知变量，并将此电流当作电流 源电流列写节点方程，再增加一个与电压源相联接节点 的电压差等于电压源电压的补充方程。
例4 求图示电路中的各节点电压U1、U2、U3和U4。
③:
U3 1V
②:
1U1
例3 用节点法求图示电路中各支路电流。
注意：含有无伴电压源
解法一：
以节点②为参考节点
（以理想电压源的一端为 参考点）
U1 4
(1 5
1 20
)U1
(1 5
1 20
1 20
1 10
)U
3
15 5
4 10
联立求解得
U3 6V
I1
15
(U1 5
U3
)
1A
I2
10 U1 4
1.5A
I3
U1 U3 20
G11u1 G12u2 is11 G21u1 G22u2 is22 G11、G22分别是联接到节点①、②的各支路电导的总和， 并分别称为节点①、②的自电导(self conductance)；
G12、G21是联接到节点①和节点②之间的两支路电导之 和的负值，称为节点①和节点②的共电导[或互电导 (mutual conductance)]；
G12 u2表示在节点电压u2单独作用下流出①节点的电流 G22 u2表示在节点电压u2单独作用下流出②节点的电流
is11是电流源或等效电流源流入节点①的电流代数和 is22是电流源或等效电流源流入节点②的电流代数和
节点方程的物理意义是：在各节点电压的共同 作用下，流出某节点的电流代数和等于电流源 或等效电流源流入该节点的电流代数和
1103
由此解得
U=1V
I1
15 U 6 103
15 1 6 103
A
2.33 mA
I2
U 1 103
1 1 103
A1
mA
I3
U 3 103
1 3 103
A
0.333
mA
例2. 用节点法求图示电路中的Uo、I
a
(1 1 1 ) U 1 2I 1/ 3
2 34 1
34
补充方程 解得：
I U 1/3 43
U 4V 9
44 U0 (U 1 / 3) 7 9 V
1
I A
9
a
①
②
解2：
(1
1 2
1 3 ) U1
1 3
U2
1 1
2I
1/ 3 3
解得：
1 3
U1
(1 3
1 4
)U
2
1/ 3 3
4 Uo U2 9 V
补充方程
I U2 4
I 1A 9
在用节点法解电路时，如果电路中含 有受控源，可将受控源当作独立源一 样列写电路方程，增加将受控源的控 制变量用节点电压表示的补充方程。
ub1 u1
ub2 u2
ub3 u1 u2
ub4 u2 u1 ub5 u2
ub6 u2
利用节点电压可以求解出电路中所有的支路电 流和支路电压，因此节点电压具有完备性。
例1. 用节点法求图示电路中各未知的支路电流。
解：
1 ( 6103
1 1 103
1 3 103
)U
15 6 103
§2-9 节点分析法
(node-analysis method)
基本思想:
以独立节点电压为求解变量，根据KCL 定律对独立节点列方程，联立可解出节点电压 及其它未知量
节点电压(node voltage) :
在电路中任选一节点作为参考节点，设其 电位为零，则其它节点对该节点的电压就是 节点电压。
建立节点方程的步骤Βιβλιοθήκη 1 ( 0.5 1)U 2
1 0.5 U 3
2
①④广义结点:
1 1U1 (1 0.5 )U4 1U 2 1U 3 2U 23
补充方程:
U23 U2 U3
由此解出
4U43 4(U4 U3 ) U1 U4
U1
17 3
V
U2
17 9
V
U4
1 3
V
与电流源串联的电阻元件，在列写节点方程时，不计 自导和共导。因为根据替代定理，此支路可用该电流 源等效替代，而不影响外电路的工作状态。