重积分对称性的结论

考虑如何正确利用二重积分中的被积函数的奇偶性和积分区域的对称性来简化二重积分的计算，主要结论如下：

一般设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，则(,)D

I f x y d σ=⎰⎰存在。

1.若D 关于y 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么

（1）当(,)f x y 在D 上为x 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；

（2）当(,)f x y 在D 上为x 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有1

2(,)D I f x y d σ=⎰⎰，其中

1{()|(),0}D x,y x,y D x =∈≥或者1{()|0}D D x,y x =≥。

2. 若D 关于x 轴对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么

（1）当(,)f x y 在D 上为y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y -=-时，有0I =；

（2）当(,)f x y 在D 上为y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y -=时，则有2

2(,)D I f x y d σ=⎰⎰，其中

2{()|(),0}D x,y x,y D y =∈≥或者2{()|0}D D x,y y =≥。

3. 若D 关于原点对称，而对任意的(,)x y D ∈，那么

（1）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的奇函数，即(,)(,)f x y f x y --=-时，有0I =；

（2）当(,)f x y 在D 上为关于x 和y 的偶函数，即(,)(,)f x y f x y --=时，则我们就有12

2(,)2(,)D D I f x y d f x y d σσ==⎰⎰⎰⎰，其中1D 、2D 同上述1与2中所述。

4. 若D 关于直线y x =对称，那么我们有

(,)()D D

f x y d f y,x d σσ=⎰⎰⎰⎰，称此特性为积分区域D 关于积分变量具有对称性。

考虑如何利用对称性简化三重积分的计算，直接给出相应的主要结论如下：

设函数(,,)f x y z 在空间闭区域Ω上连续，则(,,)I f x y z dv Ω

=⎰⎰⎰存在。

1.（1）若(,,)f x y z 在Ω上是关于变量x 的奇函数，且Ω关于yoz 面对称，则有0I =；

（2）若(,,)f x y z 在Ω上是关于变量x 的偶函数，且Ω关于yoz 面对称，则有： 12(,,)I f x y z dv Ω=⎰⎰⎰，其中1Ω

为Ω在yoz 面前方或后方的部分。

注意：在上述结论中，将x 换成y 或z ，相应的坐标面换成zox 或xoy ，结论均成立。

2. 若Ω关于z 轴对称，则有：

2

0,(-,-,)=(,,)(,,)2(,,)(-,-,)=(,,)f x y f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y f x y z f x y z ΩΩΩ-⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上为关于和的奇函数，即；，在上为关于和的偶函数，即，其中2Ω为Ω在平面x y =或x y =-一侧部分的区域。

注意：上述结论中z 轴换为x 轴或y 轴亦有相似的结论。

3. 若Ω关于原点对称，则有：

3

0,,,(-,-,-)=(,,)(,,)2(,,),,(-,-,-)=(,,)f x y z f x y z f x y z f x y z dv f x y z dv f x y z f x y z f x y z ΩΩΩ-⎧⎪=⎨Ω⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰在上为关于的奇函数，即；，在上为关于的偶函数，即其中3Ω是Ω中关于原点对称的两部分区域中的任意一部分。