高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线

一、知识结构

1.方程的曲线

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.

点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上⇔f(x0,y 0)=0；

点P0(x0,y0)不在曲线C上⇔f(x0,y0)≠0

两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则

f1(x0,y0)=0

点P0(x0,y0)是C1，C2的交点⇔

f2(x0,y0) =0

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.

2.圆

圆的定义：点集：｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径. 圆的方程：

(1)标准方程

圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是

x2+y2=r2

(2)一般方程

当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程

x 2+y 2+Dx+Ey+F=0

叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2

E

），半径是

2

4F

-E D 22+.配方，将方程

x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为

(x+2D )2+(y+2

E )2=44

F -E D 22+

当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点

(-

2D ,-2

E

); 当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.

点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则

｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，

其中｜MC ｜=2

020b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交⇔有两个公共点 直线与圆相切⇔有一个公共点 直线与圆相离⇔没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法

(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d=2

2

C Bb Aa B

A +++与半径r 的大小关系来

判定.

3.椭圆、双曲线和抛物线基本知识

椭 圆 双曲线 抛物线

轨迹条件 {M ｜｜MF 1｜+｜

MF 2｜=2a,｜F 1F 2｜＜

2a} {M ｜｜MF 1｜-｜MF 2｜. =±2a,｜F 2F 2｜＞2a}.

{M ｜ ｜MF ｜=点M 到直线l 的距离}.

圆 形

标准方程

22a x +22

b

y =1(a ＞b ＞0)

22a x -2

2

b y =1(a ＞0,b ＞0)

y 2=2px(p ＞0)

顶 点

A 1(-a,0),A 2(a,0);

B 1(0,-b),B 2(0,b) A 1(0,-a),A 2(0,a) O(0,0)

轴

对称轴x=0,y=0

长轴长：2a

短轴长：2b 对称轴x=0,y=0

实轴长：2a 虚轴长：2b

对称轴y=0

焦 点

F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在长轴上 F 1(-c,0),F 2(c,0)

焦点在实轴上 F(

2

P

，0) 焦点对称轴上

焦 距

｜F 1F 2｜=2c ，

c=b2-a2

｜F 1F 2｜=2c,

c=b2a2

曲 线 性 质

4.圆锥曲线的统一定义

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率.

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆，当e=1时，轨迹为抛物线当e＞1时，轨迹为双曲线5.坐标变换

坐标变换在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

坐标轴的平移坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.

坐标轴的平移公式设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x′,y′).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

x=x′+h x′=x-h

(1) 或(2)

y=y′+k y′=y-k公式(1)或(2)叫做平移(或移轴)公式.

中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表.

方程焦点焦线对称轴

椭圆

2

2

h)

-

(x

a

+

2

2

k)

-

(y

b

=1 (±c+h,k) x=±

c

a2

+h

x=h

y=k 2

2

h)

-

(x

b

+

2

2

k)

-

(y

a

=1

(h,±c+k) y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

双曲线

2

2

h)

-

(x

a

-

2

2

k)

-

(y

b

=1 (±c+h,k) =±

c

a2

+k

x=h

y=k 2

2

k)

-

(y

a

-

2

2

h)

-

(x

b

=1 (h,±c+h) y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

抛物线(y-k)2=2p(x-h) (

2

p

+h,k) x=-

2

p

+h y=k

(y-k)2=-2p(x-h) (-

2

p

+h,k) x=

2

p

+h y=k

(x-h)2=2p(y-k) (h,

2

p

+k) y=-

2

p

+k x=h

(x-h)2=-2p(y-k) (h,-

2

p

+k) y=

2

p

+k x=h

二、知识点、能力点提示