差分方程及微分方程数值解
微分方程与差分方程
λ = −1± i, 则齐次方程的通解为 y = e−x (C1 cos x + C2 sin x). 因 −1+ i 是单特征根，故设原非齐次方程的特解为
y* = xe−x[( A0 x + A1) cos x + (B0 x + B1) sin x].
402
把它代入原非齐次方程得
4B0 x cos x + 2(A0+B1) cos x − 4A0 x sin x + 2(B0−A1) sin x = x cos x + 3sin x,
解 将特解 y = e2x + (1+ x)ex 代入原非齐次微分方程得 (4 + 2 p + q)e2x + (3 + 2 p + q)ex + (1+ p + q)xex = rex.
比较系数，得方程组
⎧2 p + q = −4, ⎧ p = −3;
⎪⎨2 p + q − r = −3,⇒ ⎪⎨q = 2;
tan y
tan x
∫
1 tan
y
d
tan
y
=
−∫
1 tan
x
d
tan
x,
ln(tan y) = − ln(tan x) + ln C, 故通解为 tan x tan y = C. 例3 求微方程 cos ydx + (1+ e−x ) sin ydy 在 y(0) = π 下的特解.
4
解 原方程变形为 (1+ e−x ) sin ydy = − cos ydx, 分离变量，得
过程，只要对所给通解求若干次导数，以消去所有任意常数即可.
偏微分方程的差分方法与数值解
显式差分格式
01
利用前一时间步长的温度值，通过差分公式计算下一
时间步长的温度分布。
隐式差分格式
02 需要求解线性方程组，但具有更好的稳定性，适用于
大时间步长。
Crank-Nicolson格式
03
结合了显式与隐式格式的优点，具有二阶精度和无条
件稳定性。
波动方程的数值解法
01
有限差分时间域（ FDTD）方法
数值解法的稳定性和收敛性需要仔细考虑，否则可能导致计算结果不准确 。
未来发展趋势和挑战
发展趋势
随着计算机技术的不断发展，更高性能的计算机和更先进的算法将使得偏微分方程的数值解法更加高效 和精确。
结合人工智能和机器学习技术，可以开发出更加智能化的数值解法，提高计算效率和精度。
未来发展趋势和挑战
未来发展趋势和挑战
数值解的应用
数值解在各个领域都有广泛的应用，如物理学中的波动方程、热传导方程和量子力学方程，化学中的 反应扩散方程，生物学中的生态模型和神经网络模型，以及工程学中的结构力学、流体力学和电磁场 问题等。
02
偏微分方程的基本概念和性质
偏微分方程的定义和分类
定义
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数，可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程；根据方程中是否包含未知函 数的非线性项，可分为线性和非线性偏微分方程。
偏微分方程的定解条件和适定性
定解条件
为了使偏微分方程的解唯一确定，需要 给出定解条件，如初始条件、边界条件 等。
VS
适定性
适定性是指偏微分方程定解问题的解的存 在性、唯一性和稳定性。对于线性偏微分 方程，通常可以通过能量方法等方法研究 其适定性；对于非线性偏微分方程，适定 性的研究更加复杂，需要运用不动点定理 、上下解方法、变分方法等工具。
微分方程数值求解——有限差分法
1. 引言有限差分法（Finite Difference Method，FDM）是一种求解微分方程数值解的近似方法，其主要原理是对微分方程中的微分项进行直接差分近似，从而将微分方程转化为代数方程组求解。
有限差分法的原理简单，粗暴有效，最早由远古数学大神欧拉（L. Euler 1707-1783）提出，他在1768年给出了一维问题的差分格式。
1908年，龙格（C. Runge 1856-1927）将差分法扩展到了二维问题【对，就是龙格-库塔法中的那个龙格】。
但是在那个年代，将微分方程的求解转化为大量代数方程组的求解无疑是将一个难题转化为另一个难题，因此并未得到大量的应用。
随着计算机技术的发展，快速准确地求解庞大的代数方程组成为可能，因此逐渐得到大量的应用。
发展至今，有限差分法已成为一个重要的数值求解方法，在工程领域有着广泛的应用背景。
本文将从有限差分法的原理、基本差分公式、误差估计等方面进行概述，给出其基本的应用方法，对于一些深入的问题不做讨论。
2. 有限差分方法概述首先，有限差分法是一种求解微分方程的数值方法，其面对的对象是微分方程，包括常微分方程和偏微分方程。
此外，有限差分法需要对微分进行近似，这里的近似采取的是离散近似，使用某一点周围点的函数值近似表示该点的微分。
下面将对该方法进行概述。
2.1. 有限差分法的基本原理这里我们使用一个简单的例子来简述有限差分法的基本原理，考虑如下常微分方程\begin{cases} u'(x)+c(x)u(x)=f(x), \quad x \in [a, b]; \\u(x=a) = d \end{cases} \tag{1}微分方程与代数方程最大的不同就是其包含微分项，这也是求解微分方程最难处理的地方。
有限差分法的基本原理即使用近似方法处理微分方程中的微分项。
为了得到微分的近似，我们最容易想到的即导数定义u'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}\approx \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \tag{2}上式后面的近似表示使用割线斜率近似替代切线斜率，\Delta x 即为步长，如图 1(a)所示。
差分方程公式
矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。
微分方程的数值解法与近似求解技巧
微分方程的数值解法与近似求解技巧微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
在实际问题中，我们常常遇到无法直接求解的微分方程，这时候就需要借助数值解法和近似求解技巧来解决。
本文将介绍微分方程的数值解法和近似求解技巧，帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、数值解法1. 欧拉法欧拉法是最基础的数值解法之一，通过离散化微分方程，将其转化为差分方程，从而得到近似解。
欧拉法的基本思想是将微分方程中的导数用差商代替，然后通过迭代逼近真实解。
以一阶常微分方程为例，欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)\]其中，\(y_n\)表示第n个点的近似解，\(x_n\)表示对应的自变量的取值，h为步长，\(f(x_n, y_n)\)表示微分方程中的导数。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进，通过使用两个近似解的平均值来计算下一个点的近似解，从而提高了数值解的精度。
改进的欧拉法的迭代公式如下：\[y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2}(f(x_n, y_n) + f(x_{n+1}, y_n + hf(x_n, y_n)))\]3. 二阶龙格-库塔法龙格-库塔法是一种常用的数值解法，通过计算多个近似解的加权平均值来提高数值解的精度。
其中，二阶龙格-库塔法是最简单的一种。
二阶龙格-库塔法的迭代公式如下：\[k_1 = hf(x_n, y_n)\]\[k_2 = hf(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{k_1}{2})\]\[y_{n+1} = y_n + k_2\]二、近似求解技巧1. 线性化方法线性化方法是一种常用的近似求解技巧，通过将非线性微分方程线性化，然后使用线性方程的求解方法来得到近似解。
以二阶线性微分方程为例，线性化方法的基本思想是将非线性项进行线性化处理，然后使用线性微分方程的求解方法来得到近似解。
第5章微分方程与差分方程
两边积分，得 故
dy = − p( x) d x ， ( y ≠ 0) ， y y = 0 对应于 ln | y | = − ∫ p ( x) d x + C1 ， C＝ 。 0
y = ±e ⋅ e ∫
C1 − p( x)d x
。
记 C = ± eC1，得一阶齐线性方程 的通解为 y = Ce ∫
− p( x)d x
2d y = d x， 2 y −1
对上式两边积分， 对上式两边积分，得原方程的通解 y −1 ln = x + C1 。 y +1 经初等运算可得到原方程的通解为 隐函数形式
1 + Ce x y= 。 (C = ± eC1 ) 1 − Ce x 你认为做完了没有？ 你认为做完了没有？
代入原方程可知： 令 y 2 − 1 = 0 ，得出 y = ±1，代入原方程可知：
5、初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值条件: 给定微分方程的解所满足的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
y′ = f ( x , y ) 一阶: 一阶 y x = x0 = y 0
过定点的积分曲线; 过定点的积分曲线
dx = t2 dt
d2 y dy +b + cy = sin x 2 dx dx d x − x2 = t3 dt
2
一阶 线性 二阶 线性 一阶 非线性
微分方程的一般表示形式
n 阶微分方程的一般形式 为
F ( x, y′, y′′, L , y ( n ) ) = 0 。
dN = rN (1 例1、 ) dt N ( 0) = N 0
数的微分方程与差分方程
数的微分方程与差分方程微分方程和差分方程是数学中重要的研究对象，用于描述数学模型中的变化规律。
微分方程关注连续变化的问题，而差分方程则研究离散变化的情况。
本文将对数的微分方程和差分方程进行介绍，并比较它们之间的异同点。
一、数的微分方程微分方程是描述自变量与因变量之间的关系的方程，其基本形式为：dy/dx = f(x, y)其中dy/dx表示y对x的导数，f(x, y)是给定函数。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
常微分方程中只涉及一个自变量，而偏微分方程中涉及多个自变量。
解微分方程的方法有解析解和数值解两种。
解析解是指通过变量分离、恰当的变量换元等方法得到的精确解，而数值解则是利用数值方法进行近似计算得到的解。
二、数的差分方程差分方程是用差商表示的离散形式的方程，其基本形式为：Δy/Δx = f(x, y)其中Δy/Δx表示y对x的差商，f(x, y)是给定的函数。
差分方程可以用于描述离散的时间序列或空间序列中的变化规律。
与微分方程类似，差分方程也可分为常差分方程和偏差分方程。
解差分方程的方法主要有迭代法、插值法和递推法等。
通过这些方法，我们可以逐步逼近差分方程的解。
三、微分方程与差分方程的联系与区别微分方程和差分方程有很多共同之处，同时也存在一些区别。
首先，微分方程和差分方程都是用来描述变化规律的数学工具，它们都需要给定的函数和初始条件。
而微分方程描述的是连续变化，差分方程描述的是离散变化。
其次，微分方程和差分方程的解法也有相似之处。
两者都可以通过符号计算、数值方法等途径求解。
然而，由于微分方程是连续的，其解法更为灵活和复杂，常常需要应用高级的数学工具，而差分方程在求解过程中则更注重离散的计算方法。
最后，微分方程和差分方程在应用中具有不同的优势。
微分方程主要用于描述连续变化的物理、化学和工程等领域的问题，而差分方程则更适用于计算机科学、经济学和生物学等领域的离散模型。
总之，微分方程和差分方程是数学中研究变化规律的重要工具。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
差分方程与微分方程的求解
求解 1. 求差分方程满足初值问题之解：11232133123123(1)3()()()(1)2()()(1)()()2()(1)(1)1,(1)0x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x x x +=-+⎧⎪+=+⎪⎨+=-+⎪⎪===⎩ 解：原差分方程组可化为:112233(1)311()(1)201()(1)112()x n x n x n x n x n x n +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪+= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则令311201112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，求矩阵A 的特征值及特征向量 设特征值分别为123,,λλλ，对应的特征向量分别为123β,β,β.则231121(2)(1)0112λλλλλλ---=-=--=--A E可解得1232,2,1λλλ===设1λ对应的特征向量1111a b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β，则满足111111022101100a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可化简为11100a b c -=⎧⎨=⎩，令111a b ==可以得到特征向量1110⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β同理可得到特征向量2110-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭β，3011⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β设方程组的通解为：111222333()nnnx n c c c λλλ=++βββ代入特征值、特征向量，可得到方程组的通解为：123110()21211001n n x n c c c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入初值条件：123(1)(1)1,(1)0x x x ===得到12123322122110n n n n n c c c c c c ⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得123120c c c ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，可以令11c =，所以212c =；综上所述，满足方程初值方程组的解为：11()210n x n -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭2. 求差分方程之通解：2(4)2(2)()32nx n x n x n n n+-++=-+ 解：原方程的特征方程为：42210λλ-+= 即22(1)0λ-=从而求得特征根为11λ=-（二重），21λ=（二重） 因此原方程所对应的齐次方程的通解为：()(1)()1()n n xn A Bn C Dn =-+++ 即 ()(1)()nxn A Bn C Dn =-+++ 而原方程的特解为2(4)2(2)()3x n x n x n n +-++=-的特解1()x n与(4)2(2)()2n x n x n x n n +-++=的特解2()x n 之和.从而原方程具有如下的特解形式：221201201()()()()2()n x n x n x n n A n A n A B n B =+=++++将特解形式代入原方程，可得0010120014811922402244883914890A A A A A AB B B =⎧⎪+=⎪⎪++=-⎨⎪=⎪⎪+=⎩，从而0120114816124194881A A A B B ⎧=⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=-⎪⎩综上，原方程的通解为22111148()()()(1)()()2()48624981n n x n xn x n A Bn C Dn n n n n =+=-++++-++- 3. 求微分方程满足初值问题之解：211212212121120d d d 320d d d d d 20d d d (0)1,-1,(0)0d t x x x x x tt t xx x x t t x x x t =⎧++++=⎪⎪⎪++-=⎨⎪⎪===⎪⎩解：方法一：降阶法令13d d x x t =，则原方程组可表示为：13323122312d d d d 320d d d 20d x x t xx x x x tt x x x x t ⎧=⎪⎪⎪++++=⎨⎪⎪++-=⎪⎩化简得：132123323d d d 2d d 22d x x t xx x x t x x x t ⎧=⎪⎪⎪=-+-⎨⎪⎪=--⎪⎩它的系数矩阵为001211022⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，特征方程是01211(2)(2)(1)0022λλλλλλλ--=---=+-++=---A E特征根为1232,2,1λλλ=-==-求得特征根所对应的特征向量分别为1102⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T ，21221⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭T ，31121⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭T .故方程组的通解为1222123311()121()e 0e 2e 221()1t t t x t x t C C C x t --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭根据初值1120d (0)1,-1,(0)0d t x x x t====得12312323112211202C C C C C C C C ⎧++=⎪⎪-+-=-⎨⎪⎪-+=⎩解得123112,,463C C C === 则原方程组的解为：22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩方法二：消元法设dd t λ=，则原方程组可化为21212(32)(1)0(1)(2)(1)0(2)x x x x λλλλλ⎧++++=⎨++-=⎩(1)(2)λ-得21(2)(21)0(3)x λλλ++--= (2)(3)-得22(2)0x λλ--=解得两个特征根为122,1λλ==- 则2x 可表示为：2212e e ttx C C -=+ 根据初值2(0)0x =得22e e ttx C C -=- 将2x 代入(2)得212e 2e ttx C C λ-+=+ 即211d 2e 2e (4)d t t x x C C t-+=+ 下面用常数变易法求解(4) 先解对应齐次方程11d 20d x x t+=得齐次通解211e t x C -= 由常数变易法，令211(t)etx C -=为非齐次方程(4)的解，代入后得221()e e 2e t t t C t C C --'=+积分得41()e 2e 4tt C C t C =+ 则（4）的通解为2211e e 2e 4t tt C x C C --=++ 根据初值110d (0)0,-1d t x x t===得112142212C C C C C C ⎧++=⎪⎪⎨⎪-+-=-⎪⎩解得11314C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 则221112()e e e 4123t t tx t --=++ 将13C =代入22e e t tx C C -=-得方程组的解为 22122112()e e e 412311()e e 33t t t t tx t x t ---⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩4. 利用待定系数法求解下列初值问题之解：Td (),(0)(0,1)d xA x f t x t=+= 其中TT 1235(,),,()(e ,0)53t x x x A f t -⎛⎫===⎪-⎝⎭解：方法一：待定系数法原方程组所对应的齐次方程组为112212d 35d d 53d x x x tx x xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩特征方程235(3)25053λλλλ--==-+=--A E求得特征根为1,235i λ=±下求135i λ=+所对应的特征向量，设112αα⎛⎫=⎪⎝⎭ξ 则111225i 50()55i 0ααλαα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E 从而可取11α=，则2i α= 于是由132()1e (cos5isin 5)()i t x t t t x t ⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到齐次方程的通解为：11322()cos5sin 5e ()sin 5cos5t xt C t t x t C t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭下求非齐次方程的特解利用待定系数法，可设特解为12()e ()e t t x t A x t B --⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将其代入原方程组，可得e 3e 5e ee 5e 3et t t tt t tA AB B A B -------⎧-=++⎪⎨-=-+⎪⎩ 即451540A B A B +=-⎧⎨-=⎩,从而求得441541A B ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 因此原方程的通解为113224()cos5sin 541e e ()sin 5cos5541t t x t C t t x t C t t -⎛⎫-⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭ 代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为：13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭方法二：常数变易法利用常数变易法，可设特解为11322()()cos5sin 5e ()()sin 5cos5t x t C t t t x t C t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 带回到原方程，可得到132()cos5sin 5e e ()sin 5cos50t tC t t t C t t t -'⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而1132()cos5sin 5e e cos5e ()sin 5cos50e sin 5t t t t C t t t t C t t t t ----'⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭进而4142()e cos5()e sin 5t tC t t C t t --'⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭两边积分可得414254()e (sin 5cos5)414145()e (sin 5cos5)4141t t C t t t C t t t --⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩因此原方程组的通解为111222()()()()()()x t xt x t x t x t x t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13254sin 5cos5cos5sin 5cos5sin 54141e e sin 5cos5sin 5cos545sin 5cos54141t t t t C t t t t C t t t t t t -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭-- ⎪⎝⎭344cos5sin 54141e e sin 5cos54654141t t t t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫=+ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入初值条件T(0)(0,1)x =得到1240415141C C ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，从而124414641C C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.综上，原方程组满足初值条件的解为13244()cos5sin 54141e e ()sin 5cos54654141t t x t t t x t t t -⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.。
微分方程与差分方程方法
第四章 微分方程与差分方程方法第一节 微分方程模型我们在数学分析中所研究地函数,是反映客观现实世界运动过程中量与量之间地一种关系,但我们在构造数学模型时,遇到地大量实际问题往往不能直接写出量与量之间地关系,却能比较容易地建立这些变量和它们地导数(或微分>间地关系式,这种联系着自变量、未知函数及其导数(或微分>地关系式称为微分方程.§4.1.1微分方程简介这一节,我们将介绍关于微分方程地一些基本概念. 一、微分方程地阶数首先我们具体地来看一个微分方程地例子.例4-1 物体冷却过程地数学模型将某物体放置于空气中,在时刻0=t ,测量得它地温度为C u 00150=,10分钟后测量得温度为C u 01100=.我们要求决定此物体地温度u 和时间t 地关系,并计算20分钟后物体地温度.这里我们假定空气地温度保持为C u 024=α.解:根据物理学中地牛顿冷却定律可知,热量总是从温度高地物体向温度低地物体传导。
一个物体地温度变化速度与这一物体地温度与其所在介质温度地差值成正比.设物体在时刻t 地温度为)(t u u =,则温度地变化速度可以用dtdu来表示.我们得到描述物体温度变化地微分方程)(αu u k dtdu--=(4.1.1> 其中0>k 是比例常数.方程(4.1.1>中含有未知函数u 及它地一阶导数dtdu,这样地方程,我们称为一阶微分方程.微分方程中出现地未知函数最高阶导数地阶数称为微分方程地阶数.方程)(33t f cy dt dyb dty d =++(4.1.2> 中未知函数最高阶导数地阶数是三阶,则方程(4.1.2>称为三阶微分方程. 二、常微分方程与偏微分方程如果在微分方程中,自变量地个数只有一个,我们称这种微分方程为常微分方程。
自变量地个数为两个或两个以上地微分方程称为偏微分方程.方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂zTy T x T (4.1.3> 就是偏微分方程地例子,其中T 是未知函数,x 、y 、z 都是自变量.而方程(4.1.1>(4.1.2>都是常微分方程地例子.三、线性与非线性微分方程如果n 阶常微分方程0),,,,(=n n dxyd dx dy y x F (4.1.4>地左端为关于未知函数y 及其各阶导数地线性组合,则称该方程为线性微分方程,否则称为非线性方程.一般地n 阶线性微分方程具有形式)()()()(1111x f y x a dx dyx a dx y d x a dx y d n n n n n n =++++--- (4.1.5> 其中)1( )(),(n i x f x a i =是关于x 地已知函数.当()0f x =时,称(4.1.5>为n 阶齐次线性微分方程。
微分方程数值解差分法
微分方程数值解差分法微分方程是自然科学和工程技术中广泛使用的工具，它们描述了许多物理过程的动力学行为。
对于复杂的微分方程，解析解往往很难或者不可能得到。
此时我们需要数值解差分法来解决问题。
一、微分方程数值解的方法1.分裂法分裂法是将一个复杂的微分方程分解为多个简单的方程。
例如，将一个偏微分方程分解成几个常微分方程，从而可以方便地使用数值方法计算解。
2.有限差分法有限差分法是一种常见的微分方程数值计算方法。
它将一维或多维的连续函数离散为一系列离散点，然后使用差分方程近似微分方程，最后用迭代法计算数值解。
3.有限元法有限元法是一种广泛使用的数值计算方法，它可以用于求解各种类型的微分方程。
该方法将求解区域分割成多个小区域，然后对每个小区域进行离散化和近似处理。
二、数值解差分法数值解差分法是微分方程数值解的基本方法之一。
它是一种基于差分方程的离散化方法，可以对微分方程进行近似，并将微分方程转化为一个差分方程。
数值解的差分法可以分为前向差分、后向差分和中心差分三种方法。
1.前向差分法前向差分法使用前一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而增大。
前向差分的公式如下：y_i+1 = y_i + hf_i(x_i,y_i)其中，h是时间步长，f_i是微分方程的左侧。
2.后向差分法后向差分法使用后一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而减小。
后向差分的公式如下：y_i+1=y_i + hf_i(x_i+1,y_i+1)3.中心差分法中心差分法使用前一时间步和后一时间步的值，计算当前时间步的值。
它的近似误差随着时间步长的增大而增大。
中心差分的公式如下：y_i+1=y_i + 1/2hf_i(x_i,y_i) + 1/2hf_i(x_i+1,y_i+1)三、差分法的优缺点差分法作为微分方程数值解的一种基本方法，具有以下优缺点：1.优点（1）简单易实现：差分法的实现很简单，只需要计算微分方程的离散值和靠近值即可。
微分方程与差分方程详解与例题
第七章 常微分方程与差分方程常微分方程是高等数学中理论性和应用性都较强的一部分，是描述客观规律的一种重要方法，是处理物理、力学、几何等应用问题的一个重要工具，微分和积分的知识是研究微分方程的基础。
微分方程作为考试的重点内容，每年研究生考试均会考到。
特别是微分方程的应用问题，既是重点，也是难点，在复习时必须有所突破。
【数学一大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性方程；伯努利（Bernoulli ）方程；全微分方程；可用简单的变量代换求解的某些微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常系数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；欧拉（Euler ）方程；微分方程的简单应用。
【数学二大纲内容】常微分方程的基本概念；变量可分离的方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；线性微分方程解的性质及解的结构定理；二阶常数齐次线性微分方程；高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程；简单的二阶常系数非齐次线性微分方程；微分方程的一些简单应用。
【大纲要求】要理解微分方程的有关概念，如阶、解、通解、特解、定解条件等，掌握几类方程的解法：如变量可分离方程，齐次方程，一阶线性微分方程，伯努利方程，可降阶方程等。
理解线性微分方程解的性质和解的结构，掌握求解常系数齐次线性方程的方法，掌握求解某些自由项的常系数非齐次线性方程的待定系数法。
了解欧拉方程的概念，会求简单的欧拉方程。
会用微分方程处理物理、力学、几何中的简单问题。
【考点分析】本章包括三个重点内容：1．常见的一阶、二阶微分方程求通解或特解。
求解常微分方程重要的是判断方程为哪种类型，并记住解法的推导过程。
2．微分方程的应用问题，这是一个难点，也是重点。
利用微分方程解决实际问题时，若是几何问题，要根据问题的几何特性建立微分方程。
若是物理问题，要根据某些物理定律建立微分方程，也有些问题要利用微元法建立微分方程。
常微分方程和差分方程
详细描述
差分方法将微分方程转化为离散化的差分方 程，然后通过迭代求解这些差分方程来逼近 微分方程的解。该方法适用于大规模问题，
且具有较高的计Leabharlann 效率和精度。05 常微分方程与差分方程的 并行计算
并行计算的基本概念
并行计算
指在同一时间段内处理多个任务或计算多个 数据的方法，以提高计算效率和速度。
并行计算模型
总结词
龙格-库塔方法是一种迭代方法，通过构造一系列近似解来逼近微分方程的精确解。
详细描述
龙格-库塔方法采用了一种更加稳定和精确的方法来逼近微分方程的解，它通过在每个时间步长内应用 一系列线性插值来改进近似解。该方法对于刚性和非刚性微分方程都适用，且具有较高的精度和稳定 性。
差分方法
总结词
差分方法是基于离散化时间或空间的数值方 法，通过将微分方程转化为差分方程来求解 。
常见的并行计算模型包括分布式计算、多线程计算 、GPU加速计算等。
并行计算的优势
通过并行计算，可以显著提高大规模计算任 务的执行效率和速度，减少计算时间。
并行计算在常微分方程中的应用
并行求解常微分方程
01
利用并行计算技术，可以将常微分方程的求解过程分解为多个
子任务，并同时处理这些子任务，从而加快求解速度。
初值问题与解的存在唯一性
初值问题
给定函数在某点的初始值，求解该函数在初始点附近的性质。
解的存在唯一性
对于适当的初值问题，存在唯一的解满足给定的条件。
一阶常微分方程
定义
只含有一个导数的一阶常微分方程。
求解方法
通过积分、代入法、分离变量法等求解。
高阶常微分方程
定义
包含未知函数的高阶导数的常微分方 程。
2023年常微分方程与差分方程解法归纳
常微分方程解法归纳1.一阶微分方程部分①可分离变量方程（分离变量法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称为可分离变量旳方程。
)()(),(y h x g y x f =)()(y h x g dx dy =对于此类方程旳求解我们首先将其分离变量为旳形dx x g y h dy )()(=式，再对此式两边积分得到从而解出C dx x g y h dy +=⎰⎰)()()()(y h x g dx dy =旳解，其中C 为任意常数。
详细例子可参照书本P10—P11旳例题。
②一阶线性齐次、非齐次方程（常数变易法）假如一阶微分方程中旳二元函数可表达为),(y x f dxdy =),(y x f 旳形式，我们称由此形成旳微分方程y x P x Q y x f )()(),(-=为一阶线性微分方程，尤其地，当时我们称其)()(x Q y x P dxdy =+0)(≡x Q 为一阶线性齐次微分方程，否则为一阶线性非齐次微分方程。
对于此类方程旳解法，我们首先考虑一阶线性齐次微分方程，这是可分离变量旳方程，两边积分即可得到0)(=+y x P dxdy ，其中C 为任意常数。
这也是一阶线性非齐次微分方程旳⎰=-dx x P Ce y )(特殊状况，两者旳解存在着对应关系，设来替代C ，于是一阶线)(x C 性非齐次微分方程存在着形如旳解。
将其代入⎰=-dx x P e x C y )()(我们就可得到)()(x Q y x P dx dy =+这其实也就是)()()()()()()()()(x Q e x C x P e x C x P e x C dx x P dx x P dx x P =⎰+⎰-⎰'---，再对其两边积分得，于是将其⎰='dx x P e x Q x C )()()(C dx e x Q x C dx x P +⎰=⎰)()()(回代入即得一阶线性微分方程旳通解⎰=-dx x P e x C y )()()()(x Q y x P dx dy =+。
微分方程和差分方程简介
常用的解法：分离变量法
形如
dy f (x)g( y) dx
P (x)P ( y)dx Q (x)Q (x) 0
1
2
1
2
的方程均为可分离变量的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解
g( y)dy f (x)dx C
其中C为任意常数。
例1 求微分方程 y 3x2 y的通解。
特征方程 r2 pr q 0的根 两个相异实根 r1 r2 两个相等实根 r r1 r2 一对共扼复根 r1,2 i
齐次方程y py qy 0的通解
y C1er1x C2er2 x y (C1 C2 x )erx
y (C1 cos x C2 sin x)ex
二阶非齐次常系数微分方程
微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态
求微分方程（组）的解析解命令:
dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
记号: 在表达微分方程时，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等
表示求高阶微分.任何 D 后所跟的字母为因变量，自变量可以指
定或由系统规则选定为确省.
例如，微分方程
1、用差商代替导数
若步长h较小，则有
y'(x) y(x h) y(x) h
《微分方程数值解法》PPT课件
方程的解 U~n 。为了弄清差分格式（2.58）的稳定性条件， 给出稳定的定义：
对于任意给定的 0 ，存在与h, k 无关且依赖于 的
正数 ，使当
U~0 U 0 V 0
时，对于任何的 n0 nk T ，差分格式得到的解U~ n ,U n
满足不等式
U~n U n V n
连同初值条件：U
0 m
mk
, m
1,2,M
1
边值条件：U
n 0
U
n M
0, n
0,1,2,, N
逐层解出结点处的U 值。
现在对
h
ห้องสมุดไป่ตู้
，取二种 20
k
，使
r
k h2
5 和5 11 9
。图2.9
和图2.10中的曲线表示不同的时刻微分方程的精确解，图
中“ ”表示差分方程的解
（2.54）
下面我们先研究上式右边第二项，即差分方程的理论
解与计算机上解得的近似解之间的差别是随着n 的增大而
无限增大还是有所控制。如果这种差别是无限增加，则称
差分格式不稳定，显然不稳定的格式是不能使用的，因为
误差的无限增加淹没了真解。上例中的r 5 时就是差分
9
方程不稳定的情况。从差分方程，比如格式（2.29）可知，
如果差分方程为显式，则对所有的n ，An I ；如 An I
果 An
0
，
U U
n1 CnU
0
n
An1en , Cn
An1Bn
（2.58）
，则隐式格式可以写成显式形式。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。