机器人学概论第二讲
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A B
A
xB,
A
yB,
A
zB 表示与{B}的坐标轴平行
的三个单位矢量在坐标系{A}中的描述。
oA xA
yA
v v v xB = r i +r j +r k 11 21 31 v v v A yB = r i +r j +r k 12 22 32 v v v A zB = r i +r j +r k 13 23 33
复合变换与变换次序有关
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第二章 机器人运动学
齐次坐标变换 • 齐次变换
A A B B A A p B R p= R p+ pB ⇒ = 1 0 A A p A B R A pB A p′ = , BT = , 1 1 0 A A
pBB p 1 1 B p B p′ = 1
A A pBB R 0 B R = 1 0 1 0 A 0I A pB B R = 10 1 0
pB 1
A B
R ApB 1 15/35
第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
• 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置
14/35
第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
• 平移齐次坐标变换
1 0 T s( a,b,c) = ran 0 0 0 0 a 1 0 b 0 1 c 0 0 1
Translation transformation Rotation transformation
0 sθ 0 cθ −sθ sθ cθ 1 0 0 , R (z,θ) = ot 0 0 cθ 0 0 0 0 1 0 0
Bp
xA zB
oA zA
yA xB
Bp
oB
{B}
yB
yB
{A}
p= R p= R
p
xA
oA xB
yA
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：
任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。
0 1 0 R(x,θ) = 0 cθ −sθ, 0 sθ cθ cθ 0 sθ R(y,θ) = 0 1 0 , −sθ 0 cθ cθ −sθ 0 R(z,θ) = sθ cθ 0 0 0 1
• 复合变换：平移和旋转构成复合变换。
A C A
p= p+ pC
C A
zB zC
A B B
p= R p= R p
C B B A p=BR Bp+ApB
zA
{A}
Ap
Bp Ap B
yB
{C}
oB xB
{B}
yC
齐次坐标 齐次复合
xA
oA
yA xC
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相
B A
R =1
旋转变换的逆（反变换）等于其转置。
A
xB⋅AyB = r r +r r +r r 11 12 21 22 31 32 v v v i j k v v v A A xB× yB = r r r = (r r −r r )i +(r r −r r ) j +(r r −r r )k 11 21 31 21 32 22 31 12 31 11 32 11 22 12 21 r r r 12 22 32
z z1 o1 o x y x y1 o1 o x1 y x o1 o z1 x1 y z y1 y1 o1 x z1 o x1 y
选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐 标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。变换后刚体的位姿为： 16/35
第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
1 0 T = T s( 4,0,0)R (y,90)R ,90) = ran ot ot(z 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0−1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0−1 0 1 0 0 1 00 −1 1 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 01 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 0 1
pB = 0
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量Bp在
坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。
A
p=Bp+ApB
zB zA
{A}
Ap Ap B
• 旋转坐标变换：
坐标系{B}与坐标系{A}原点 相同，则p点在两个坐标系中 的描述具有下列关系：
A B A p=BR Bp B A A A T A B
机器人学概论
中国科学院自动化研究所 徐 德 研究员
2011年 13日 2011年9月13日
第二章 机器人运动学
第二章 机器人运动学(1)
• 本次课内容提要
基本概念 位置与姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 机器人运动姿态与位置的描述 通用旋转变换
2/35
第二章 机器人运动学
基本概念 • 自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的
11/35
第二章 机器人运动学
坐标变换
• 联体坐标：对于坐标系{A}、{B}、{C}，{A}是参
考坐标系， {B}相对于{A}的坐标以及{C}相对于{B} 的坐标称为联体坐标。 设{B}在{A}中的表示为T1， {C}在{B}中的表示为T2， 刚体在{C}中的表示为T3，刚体在{A}中的表示为T，则 T= T1 T2 T3 上式可以理解为：从基坐标系变换到联体坐标系，右乘 上式也可以理解为：从基坐标系变换到基坐标系，左乘 简记为“右乘联体左乘基” 右乘联体左乘基” A T1 B T2 T C T3 D
12 A pB = 6 0
例题2
12 0.866 −0.5 05 11.83 A A 16 p=BR Bp+ApB = 0.5 0.866 09 + 6 = .294 0 10 0 0 0
A
p′=AT Bp′ B
A Ap′、 Bp′称为点的齐次坐标， T称为齐次坐标变换矩阵 B
例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。
0.866 −0.5 A B R A pB 0.5 0.866 A T = B = 0 1 0 0 0 0 0 12 0 6 , 1 0 0 1 0.866 −0.5 0.5 0.866 A A B p=BT p = 0 0 0 0 0 125 11.83 0 6 9 .294 16 = 1 0 0 0 0 1 1 1
自由度由机动度构成, 机动度不一定是自由度.
1 Q 5 P 点P具有5个机动度，2个自由度
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2
3 4
第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 位置描述：位置矢量(position vector)
直角坐标系{A}, 位置矢量Ap 矩阵表示 px
A
zA
Ap
p
p = py pz
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 关于坐标变换的顺序
纯平移变换与变换次序无关 旋转变换与变换次序有关
0 cφcθ sφsα −cφsθcα sφcα +cφsθsα cφ 0 sφcθ −sθ 01 0 R(y,φ)R(z,θ)R(x,α) = 0 1 0 sθ cθ 00 cα −sα = sθ cθcα −cθsα 0 10 sα cα −sφcθ cφsα +sφsθcα cφcα −sφsθsα −sφ 0 cφ 0 0 cθ −sθ 0 cφ 0 sφ cφcθ −sθ sφcθ 1 0 0 cα −sαsθ cθ 0 0 1 0 = sφsα +cφsθcα cθcα −cφsα +sφsθcα R(x,α)R(z,θ)R(y,φ) = 0 sα cα 0 0 1−sφ 0 cφ −sφcα +cφsθsα cθsα cφcα +sφsθsα
同，坐标系{B} 相对于{A}的zA轴旋转30°，再沿{A}的 xA轴移动12，沿{A}的yA轴移动6。求位置矢量ApB和旋 A 转矩阵 B R 。假设p点在坐标系{B}的描述为Bp=[5 9 0]T，求其在坐标系{A}的描述。 {A} • 解： o o
c30 −s30 A R = R(z,30o ) = s30o c30o B 0 0 0 0.866 −0.5 0 0 = 0.5 0.866 0; 1 0 0 1
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 位姿(pose)描述：相对于参考坐标系{A}，坐标系
{B}的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转 矩阵描述。刚体B在参考坐标系{A}中的位姿利用坐标 系{B}描述。
{B = B R } A
当表示位置时， 当表示方位时，
A B A
{
A
pB
}
R= I
A
• 旋转齐次坐标变换
0 1 0 0 cθ wk.baidu.comsθ R (x,θ) = ot 0 sθ cθ 0 0 0
• 复合变换
cθ 0 0 0 R (y,θ) = , ot −sθ 0 0 1
A A B
0 0 0 0 1 0 0 1
I 先平移后旋转 T = 0 A B R A 先旋转后平移 BT = 0
数目称为自由度(DOF, degree of freedom)。 • 刚体具有6个自由度
三个旋转自由度 R1, R2, R3 三个平移自由度T1, T2, T3 Z R3 T2 Y T1 X R1 R2
• 质点具有几个自由度？3个 T3 • 单位矢量有几个自由度？2个
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第二章 机器人运动学
基本概念 • 机动度：degree of mobility • 关节：joint 运动副 • 连杆：link
和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换 矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。 • 例题3：下图中的物体可以由{(1,0,0), (-1,0,0), (-1,0,2), (1,0,2), (1,4,0), (-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先 绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物 z 90 y 90 x 4 z 体6个顶点的位置。 z
oA xA
矢量和表示
A
yA
v v v p = pxi + py j + pzk
2 2 2
矢量的模
p = px + py + pz
，单位矢量
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示
• 方位描述：利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。 方位又称为姿态。 在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}的坐标轴平行的 三个单位矢量表示B的姿态。 zB r r r 11 12 13 {B} zA r r r A A A A yB zB] = 21 22 23 B R= [ x B p yB r r r 31 32 33 Ap xB R表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态， {A}
A
坐标系{A}、{B}又称为 框架或框 {A}、{B}
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 旋转矩阵
A A
A B
R
旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件：
xB⋅AyB=AyB⋅AzB=AzB⋅AxB =0 xB⋅AxB=AyB⋅AyB=AzB⋅AzB =1
A A R=BR−1=BRT , A B
A
xB,
A
yB,
A
zB 表示与{B}的坐标轴平行
的三个单位矢量在坐标系{A}中的描述。
oA xA
yA
v v v xB = r i +r j +r k 11 21 31 v v v A yB = r i +r j +r k 12 22 32 v v v A zB = r i +r j +r k 13 23 33
复合变换与变换次序有关
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第二章 机器人运动学
齐次坐标变换 • 齐次变换
A A B B A A p B R p= R p+ pB ⇒ = 1 0 A A p A B R A pB A p′ = , BT = , 1 1 0 A A
pBB p 1 1 B p B p′ = 1
A A pBB R 0 B R = 1 0 1 0 A 0I A pB B R = 10 1 0
pB 1
A B
R ApB 1 15/35
第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
• 刚体位置描述：利用齐次坐标变换可以描述刚体的位置
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第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
• 平移齐次坐标变换
1 0 T s( a,b,c) = ran 0 0 0 0 a 1 0 b 0 1 c 0 0 1
Translation transformation Rotation transformation
0 sθ 0 cθ −sθ sθ cθ 1 0 0 , R (z,θ) = ot 0 0 cθ 0 0 0 0 1 0 0
Bp
xA zB
oA zA
yA xB
Bp
oB
{B}
yB
yB
{A}
p= R p= R
p
xA
oA xB
yA
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 分别绕x,y,z轴的旋转变换(基本旋转变换)：
任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到。
0 1 0 R(x,θ) = 0 cθ −sθ, 0 sθ cθ cθ 0 sθ R(y,θ) = 0 1 0 , −sθ 0 cθ cθ −sθ 0 R(z,θ) = sθ cθ 0 0 0 1
• 复合变换：平移和旋转构成复合变换。
A C A
p= p+ pC
C A
zB zC
A B B
p= R p= R p
C B B A p=BR Bp+ApB
zA
{A}
Ap
Bp Ap B
yB
{C}
oB xB
{B}
yC
齐次坐标 齐次复合
xA
oA
yA xC
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 例题1：坐标系{B}的初始位姿与参考坐标系{A}相
B A
R =1
旋转变换的逆（反变换）等于其转置。
A
xB⋅AyB = r r +r r +r r 11 12 21 22 31 32 v v v i j k v v v A A xB× yB = r r r = (r r −r r )i +(r r −r r ) j +(r r −r r )k 11 21 31 21 32 22 31 12 31 11 32 11 22 12 21 r r r 12 22 32
z z1 o1 o x y x y1 o1 o x1 y x o1 o z1 x1 y z y1 y1 o1 x z1 o x1 y
选取物体上与o点重合的点o1为刚体坐标系原点，其初始坐 标轴x1y1z1方向与xyz坐标系相同。变换后刚体的位姿为： 16/35
第二章 机器人运动学
齐次坐标变换
1 0 T = T s( 4,0,0)R (y,90)R ,90) = ran ot ot(z 0 0 0 0 4 0 1 0 0 0 0 1 0−1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0−1 0 1 0 0 1 00 −1 1 0 01 0 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 01 1 0 00 0 0 00 0 0 10 0 0 0 0 0 1 = 1 0 0 0 1 0 0 1 4 0 0 0 1 0 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 0 1
pB = 0
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 平移坐标变换：在坐标系{B}中的位置矢量Bp在
坐标系{A}中的表示可由矢量相加获得。
A
p=Bp+ApB
zB zA
{A}
Ap Ap B
• 旋转坐标变换：
坐标系{B}与坐标系{A}原点 相同，则p点在两个坐标系中 的描述具有下列关系：
A B A p=BR Bp B A A A T A B
机器人学概论
中国科学院自动化研究所 徐 德 研究员
2011年 13日 2011年9月13日
第二章 机器人运动学
第二章 机器人运动学(1)
• 本次课内容提要
基本概念 位置与姿态的表示 坐标变换 齐次坐标变换 机器人运动姿态与位置的描述 通用旋转变换
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第二章 机器人运动学
基本概念 • 自由度：物体能够对坐标系进行独立运动的
11/35
第二章 机器人运动学
坐标变换
• 联体坐标：对于坐标系{A}、{B}、{C}，{A}是参
考坐标系， {B}相对于{A}的坐标以及{C}相对于{B} 的坐标称为联体坐标。 设{B}在{A}中的表示为T1， {C}在{B}中的表示为T2， 刚体在{C}中的表示为T3，刚体在{A}中的表示为T，则 T= T1 T2 T3 上式可以理解为：从基坐标系变换到联体坐标系，右乘 上式也可以理解为：从基坐标系变换到基坐标系，左乘 简记为“右乘联体左乘基” 右乘联体左乘基” A T1 B T2 T C T3 D
12 A pB = 6 0
例题2
12 0.866 −0.5 05 11.83 A A 16 p=BR Bp+ApB = 0.5 0.866 09 + 6 = .294 0 10 0 0 0
A
p′=AT Bp′ B
A Ap′、 Bp′称为点的齐次坐标， T称为齐次坐标变换矩阵 B
例题2：对于例题1利用齐次坐标求解Ap。
0.866 −0.5 A B R A pB 0.5 0.866 A T = B = 0 1 0 0 0 0 0 12 0 6 , 1 0 0 1 0.866 −0.5 0.5 0.866 A A B p=BT p = 0 0 0 0 0 125 11.83 0 6 9 .294 16 = 1 0 0 0 0 1 1 1
自由度由机动度构成, 机动度不一定是自由度.
1 Q 5 P 点P具有5个机动度，2个自由度
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 位置描述：位置矢量(position vector)
直角坐标系{A}, 位置矢量Ap 矩阵表示 px
A
zA
Ap
p
p = py pz
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第二章 机器人运动学
坐标变换 • 关于坐标变换的顺序
纯平移变换与变换次序无关 旋转变换与变换次序有关
0 cφcθ sφsα −cφsθcα sφcα +cφsθsα cφ 0 sφcθ −sθ 01 0 R(y,φ)R(z,θ)R(x,α) = 0 1 0 sθ cθ 00 cα −sα = sθ cθcα −cθsα 0 10 sα cα −sφcθ cφsα +sφsθcα cφcα −sφsθsα −sφ 0 cφ 0 0 cθ −sθ 0 cφ 0 sφ cφcθ −sθ sφcθ 1 0 0 cα −sαsθ cθ 0 0 1 0 = sφsα +cφsθcα cθcα −cφsα +sφsθcα R(x,α)R(z,θ)R(y,φ) = 0 sα cα 0 0 1−sφ 0 cφ −sφcα +cφsθsα cθsα cφcα +sφsθsα
同，坐标系{B} 相对于{A}的zA轴旋转30°，再沿{A}的 xA轴移动12，沿{A}的yA轴移动6。求位置矢量ApB和旋 A 转矩阵 B R 。假设p点在坐标系{B}的描述为Bp=[5 9 0]T，求其在坐标系{A}的描述。 {A} • 解： o o
c30 −s30 A R = R(z,30o ) = s30o c30o B 0 0 0 0.866 −0.5 0 0 = 0.5 0.866 0; 1 0 0 1
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 位姿(pose)描述：相对于参考坐标系{A}，坐标系
{B}的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转 矩阵描述。刚体B在参考坐标系{A}中的位姿利用坐标 系{B}描述。
{B = B R } A
当表示位置时， 当表示方位时，
A B A
{
A
pB
}
R= I
A
• 旋转齐次坐标变换
0 1 0 0 cθ wk.baidu.comsθ R (x,θ) = ot 0 sθ cθ 0 0 0
• 复合变换
cθ 0 0 0 R (y,θ) = , ot −sθ 0 0 1
A A B
0 0 0 0 1 0 0 1
I 先平移后旋转 T = 0 A B R A 先旋转后平移 BT = 0
数目称为自由度(DOF, degree of freedom)。 • 刚体具有6个自由度
三个旋转自由度 R1, R2, R3 三个平移自由度T1, T2, T3 Z R3 T2 Y T1 X R1 R2
• 质点具有几个自由度？3个 T3 • 单位矢量有几个自由度？2个
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第二章 机器人运动学
基本概念 • 机动度：degree of mobility • 关节：joint 运动副 • 连杆：link
和姿态。刚体上其它点在参考坐标系中的位置可以由变换 矩阵乘以该点在刚体坐标系中的位置获得。 • 例题3：下图中的物体可以由{(1,0,0), (-1,0,0), (-1,0,2), (1,0,2), (1,4,0), (-1,4,0)}表示。如果该物体在基坐标系中先 绕z轴旋转90°，再绕y轴旋转90°，再沿x轴平移4，求物 z 90 y 90 x 4 z 体6个顶点的位置。 z
oA xA
矢量和表示
A
yA
v v v p = pxi + py j + pzk
2 2 2
矢量的模
p = px + py + pz
，单位矢量
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示
• 方位描述：利用固定于物体的坐标系描述方位(orientation)。 方位又称为姿态。 在刚体B上设置直角坐标系{B}，利用与{B}的坐标轴平行的 三个单位矢量表示B的姿态。 zB r r r 11 12 13 {B} zA r r r A A A A yB zB] = 21 22 23 B R= [ x B p yB r r r 31 32 33 Ap xB R表示刚体B相对于坐标系{A}的姿态， {A}
A
坐标系{A}、{B}又称为 框架或框 {A}、{B}
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第二章 机器人运动学
位置与姿态的表示 • 旋转矩阵
A A
A B
R
旋转矩阵中的9个元素只有3个独立变量，它满足正交条件：
xB⋅AyB=AyB⋅AzB=AzB⋅AxB =0 xB⋅AxB=AyB⋅AyB=AzB⋅AzB =1
A A R=BR−1=BRT , A B