专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质-高考数学(理)总复习知识点总结

专题05 函数、基本初等函数I的图像与性质

（1）对定义域内一个区间

是增函数

是减函数

（2）是增（减）函数

的恒成立。

（3）

恒成立。

对定义域内任意，是偶函数

是奇函数

，偶函数图象关于轴对称，

奇函数图象关于坐标原点对称。

对定义域内任意，存在非零常数

（1）若，则是周期函数，是它的一个周期（2）对于非零常数，函数满足

，则函数的一个周期为.（3）若

。则函数的一个周期为。

两个函数的图象对称性

（1）与关于轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

（2）与关于轴对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

（3）与关于直线对称。

换种说法：与若满足，即它们关于对称。

（4）与关于直线对称。

换种说法：与若满足

，即它们关于点对称。

（5）与关于点对称。换种说法：与若满足，即他们关于点对称

（6）与关于直线对称。

单个函数的对称性

（1）函数满足时，函数

的图象关于直线对称。

（2）函数满足时，函数的图象关于点对称。

（3）函数的图象与的图象关于直线对称。

对称性与周期性的关系

（1）函数满足

，则函数是周期函数，则是一个周期。

（2）函数满足

时，函数是周期函数。（函数图象有两个对称中心

时，函数是周期函数，且对称中心距离两倍，是函数的一个周期），函数是以为周期的函数。

（3）函数有一个对称中心和一个对称轴时，该函数也是周期函数，且一个周期是。（4）若定义上的函数的图象关于直线和点对称，则是周期函数，是它的一个周期。（5 ）若函数对定义域内的任意满足：，则为函数的周期。（若满足则

的图象以为图象的对称轴，应注意二者的区别）。

（6）已知函数对任意实数，都有，则是以为周期的函数

1.正数的正分数指数幂：；

2.正数的负分数指幂：；

3.0的正分数指数幂等于0:0的负分数指数幂没有意义。

4.幂的运算性质：，其中

.

5.对数的概念

如果，那么数叫作以作为底的对数，记作，其中叫作对数的底数，叫作真数。

6.对数的性质与运算法则

（1）对数的运算法则

如果且，，那么

①；

②；

③；④

（2）对数的性质

①；②

（3）对数的重要公式

①换底公式：

②，推广

1

R R R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)

R

图

象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

对勾函数

高考真题

1.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷一（理科，12）若，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.

【详解】设，则为增函数，

因为

所以

，

所以，所以.

，

当时，，此时，有

当时，，此时，有，所以C、D错误.

故选：B.

【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.

2.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷二

（1）（理科，9）设函数，则f(x)（）

A. 是偶函数，且在单调递增

B. 是奇函数，且在单调递减

C. 是偶函数，且在单调递增

D. 是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】

【分析】

根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.

【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；

当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根

据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.

（2）（理科，11）若，则（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.

【详解】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

3.2020年普通高等学校招生全国统一考试卷三（理科，3,12）

(1).Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）（ln19≈3）

A. 60

B. 63

C. 66

D. 69

【答案】C