双缝干涉条纹间距公式的推导~

双缝干涉条纹间距公式的推导

如图建立直角坐标系，其x 轴上横坐标为2d -

的点与2

d

的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离差为波长整数倍λn （零除外）的双曲线簇。其中⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2d 、⎪⎭

⎫

⎝⎛0,2d 为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为：

12222

2

2

2

2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛λλn d y n x

用直线l y =去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将l y =代入双曲线簇的方程，有：

12222

2

2

2

2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-

⎪⎭

⎫ ⎝⎛λλn d l n x

解得：

2

22

2

4λ

λn d l n x -+= 上式中，d 的数量级为m 4

10-，λ为m 7

10-。故2

2

2

2

d n d =-λ，x 的表达式简化为：

22

4d

l n x +=λ

其中l 的数量级为m 0

10，d 的数量级为m 4

10-。故4

2210≈d

l ，x 的表达式简化为：

d l

n d

l n x λλ==22 可见，交点横坐标成一等差数列，公差为d

l λ

，这说明： （1）条纹是等间距的； （2）相邻两条纹的间距为

d

l λ。 至此，证明了条纹间距公式：λd

l

x =

∆。