函数的单调性和极值在不等式证明中的运用
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理论前沿
ｎｖｌ Ｈａ＿ ｎａｎｅｌ＿ Ｏｔ ｒ Ｕ Ｏ ｄｉ
函数 的 单 调 性 和 极 值 在 不 等 式 证 明 中 的 运 用 ①
陈 岳 婷 （ 台师范高 等专科 学校 海 口 ５ １ ７） 琼 ７ ２ １
摘 要： 本文 归纳总结 了Baidu Nhomakorabea 用高数 中的函数的单 调性和极 值 的知 识及思路 来证 明不等式 的方法 ， 由相应例题 来说明应 用这些方 法的场 并
现在高 中教 材 已经编入 导数 的知 识 ， 所 以 ｆ ｘ 单 调 递 增 （ ＞ｌ２ １ ， 得 （） ａ ｎ ）可 并 且 用 导 数 求 解 函数 的 单 调 性 和 极 值 都 比 ｆ ｘ ＞ｆ Ｏ ＝ｅ 一 ＋Ｏ ＝０ （ ） （） 。 ０ 一１ 较 方 便 ， 以 在 可 能 的 条 件 下 尽 量 用 导 数 所 即 当 ＞０且 ａ＞ｌ —１ ｎ２ 时 去 证 明 甚 至 求 解 不 等 式 。 文 通 过 归 纳 总 成 立 。 本 结 ， 绍 了 运 用 高 数 知 识 中 函 数 的单 调 性 介 例 ３： 明 Ｖａ 、ｃ∈（ １ ）有 不 等 式 证 、ｂ 一， １ ｂ 一２成 立 。 ［ 和 极 值 证 明 不 等 式 的 方 法 ， 以 适 量 例 题 ａ ｃ＞ ＋ｂ＋ｃ 并 说 明运用这些方 法的思路 与解题技 巧 ， 并 分析 ： 不等 式 两 边 都 有变 量 ａ， 里 可 以 这 指 出使 用 这 类 方 法 的 关 键 ， 较 详 尽 地 阐 把 它 视 为 辅 助 函 数 的 变 量 。 比 明 了这 方 法 在 不 等 式 证 明 中 的 运 用 。 证 明： 设
／ ＝ ｂ－ ６ ｃ ２＝ ６一）＋２ ｂ （ ∈ｆ１１ ｘ ｃ（＋ ＋ 一 ） （ｃ 】 （一 一 一 ， １
‘ （） ｂ 一１ 由 ｂ ｆ。 ＝（ｅ ） 、ｃ∈（ １ ） ｂ ＜１ 一， 有 ｃ １ 厂’ ） （ ＜０． ．（） 格 递 减 ’ 厂 严 ． 若在定义域 内 厂 ’ ）≥０ 或 ｆ ） （ （ ’ ＞０） ， 厂（ ． １＝ｂ — — ＋１ ６ １ｃ １＞０ ｆ ） ｃ ｂ ｃ ＝（—） —） （ （ 则 ／ 在 定 义 域 递 增 （ ＿（） 调 递 减 ） （） 或 厂 单 ； 对Ｖ ｘ∈（ １ ） ／（） 一， 有 １ ＞０， 反 之 同样 讨 论 。 即 ｆ ａ ：ａ ｃ ａ＋ｂ 一２ ＞０ （ ） ｂ 一（ ＋ｃ ） 当 （廿 一 ） 。 ＜０ ， 厂 （ ） 时 ／在 点 Ｐ 不 ｐ 。 要 在 ｘ ａ 证 明 ｆ ｘ ≥ｇ ｘ （ （） ＞ 下 ｉ ） （） ≤ｇ Ｖａ 、 ｃ∈（ Ｌ ） ａ ｃ＞ａ＋ｂ＋ｃ一２ 、ｂ 一 １ ｂ 能取得极值 ； ）， ） 做辅 助 函 数 Ｆ ｘ ＝ｆ ｘ 一 （） 相 当 于 （ ） （） ｇ ｘ ， 当（ 厶 一 ） ） 时 ， 能 确 定 ／ （ ＝０ 不 要证 明Ｆ（） （ ≤０ ， ≥０或 ）如果能 得到 Ｆ ｄ ：０ （） 成 立 。 ［ 】 此 方 法可 应 用 于 以 下 类似 的 一 类题 目： 在 Ｐ 点是 否取 得极 值 。 ３ 且 ，’ ） ０ 或 ＜０ ， 由 Ｆ（） 单 调 性 可 ｘ＞ （ ）则 的 （ 表 示 对 中的 ｘ 偏 导 ， 表示 对 求 ① 当 ｘ＞０时 ， ４ ４ ｘ 一３成立 。提示 ： （ 用 得 ） Ｆ ａ ＝０ 或 ≤ ，（ ） ≥ （） （ 口 ＝０） 对 于 严 格 。 中 的 Ｙ求 偏 导 ， 表 示 对 中的 Ｙ求偏 阶 导数 判 断 Ｆ（ １ 一４ ＋３的单 调 性 ） ＝ ｘ 大干或 小于 也 同样 讨论 。 殊情 况 ： ： 对 特 ｇ ０ １ ． 导 ） 所 给 的 不 等 式 做 适 当 变 形 ， 把 不 等 式 两 或 ② 当 ＞０ ， ＞ ＋ ÷ 成立 。 提 时 Ｐ １ ＋ （ 边 所 含 的 共 同变 量 看 作 辅 助 函数 的 自变 量 例 ４： 约 束 条 件 ＋Ｙ＝２下 ， 明 在 证 用 如 ） 后 ， 把不等式转化为符合题设的函数 ， 就 此 示 ： 二 阶 导 数 ， 例 ２ 时 可以利 用函数的单 调性进 行讨论 ， 即对 ③求 证 当 ａ＞１ ， ， ｂ＞Ｏｃ＞０时 ，ｏ ＋ ） ｌｇ ６＞ 辅助函数求导并判 断符号 。 ｌｇ “（ ｏ ＋ｂ ） ＋ｃ 。 证明 ： 由约 束 条 件 ｘ＋Ｙ＝２ Ｙ＝２一 ， 得 例 １ 在 约 束 条 件 １ ≤ １ 下 ， 证 ： ≤ｘ ３ 求 （ 示 ： Ｆ（） ｏ ＋ｂ ＞１， 一 提 设 ｘ ＝ｌｇ ） 用 厢 十 历 ≤１ ０ 阶导数） 再 入 Ｈ ＋ ＋从 设， ＋ 一 代 而 朋＝ Ｊ Ｙ ． Ｊ ∞Ｊ 证 明 ： 厂 ） √ ＋ ＋ ３ 一 — Ｏ则 设 （ ＝ ｘ ３ ４ｘ ３ １ 用函数的单调性 解题的主要 步骤是 ： １ ３ １， １ ３ 、 八 一 一 八 ２ ３ － ‘ （ ） 造 辅 助 函 数 ， 用 ： 项 ， 不 等 １构 常 移 令 ￣ｘ ３ 了 又 令 令 ２ 即 ： 式 的 一端 为 零 ， 另一 端 即为 辅 助 函数 ； 能 不 厂（） 。 ＞０． ｆ ｘ 单 调 递 增 ‘ （） ． 直 接 移 项 构 造 则 观 察 不 等 式 能 否 把 不 等 式 １ ５ 又 由于 １≤ ≤ ｌ 则ｆ ｘ ≤ ｆ（３ ＝０成 ３， （） １） ’
合及具体 证 明方法 。 关 键 词 ： 等 式 证 明 辅 助 函 数 导数 不
中图分 类号 ： ４ Ｏ１ ７
文 献标 识 码 ： Ａ
文章编号 ： ６ ３ ７ ２ １ ） ２ａ － １ ０ １ ７ —９ ９ （ ０ ｏ （ ） Ｏ １ － ２ ５ ｏ ９ 曲 线 是 边 界 ， 尽 量 把 辅 助 函 数 设 成 一 元 则 的形 式 ， 以 下例 ４ 例 ５ 后 面 的 证 明 方法 如 与 ， 基 本 与 ㈠ 同 ； 果 给 出 的 约 束 条 件 是 一 个 如 曲 面 ， 可 以 考 虑 用 二 元 函数 的 极 值 来 求 就 解。 在 定 义 域 内 二 元 函 数 ｆｘ ） （， 在 ） 处 满 足 （ ｏ Ｏｆ （ ｏ ＝０， ｐ。 ｆ（，） ｐ ） ，ｙＰ ） 则 是 ｘＹ 的 稳 定 点 。 表 示 对 ／中的 ｘ （ 求偏 导 ， 表 示 对 ｆ中的 ｙ 求偏 导 ） ＿ ＿ ３ 对以 上 ｆ（， ） 稳 定 点 Ｐ （。 。 有 ： ｘＹ 与 。 ， ）， Ｙ 当 （ ） ， ＞０（ 一 ） 。＞ （ ） ０时 ， ｐ 厂在 点 Ｐ 取得 极小 值 ； 。 当 （ ） ， ＜０（ 一 ） ） （ ＞０时 ， 厂在 点 Ｐ 取 得 极 大 值 ；
ｎｖｌ Ｈａ＿ ｎａｎｅｌ＿ Ｏｔ ｒ Ｕ Ｏ ｄｉ
函数 的 单 调 性 和 极 值 在 不 等 式 证 明 中 的 运 用 ①
陈 岳 婷 （ 台师范高 等专科 学校 海 口 ５ １ ７） 琼 ７ ２ １
摘 要： 本文 归纳总结 了Baidu Nhomakorabea 用高数 中的函数的单 调性和极 值 的知 识及思路 来证 明不等式 的方法 ， 由相应例题 来说明应 用这些方 法的场 并
现在高 中教 材 已经编入 导数 的知 识 ， 所 以 ｆ ｘ 单 调 递 增 （ ＞ｌ２ １ ， 得 （） ａ ｎ ）可 并 且 用 导 数 求 解 函数 的 单 调 性 和 极 值 都 比 ｆ ｘ ＞ｆ Ｏ ＝ｅ 一 ＋Ｏ ＝０ （ ） （） 。 ０ 一１ 较 方 便 ， 以 在 可 能 的 条 件 下 尽 量 用 导 数 所 即 当 ＞０且 ａ＞ｌ —１ ｎ２ 时 去 证 明 甚 至 求 解 不 等 式 。 文 通 过 归 纳 总 成 立 。 本 结 ， 绍 了 运 用 高 数 知 识 中 函 数 的单 调 性 介 例 ３： 明 Ｖａ 、ｃ∈（ １ ）有 不 等 式 证 、ｂ 一， １ ｂ 一２成 立 。 ［ 和 极 值 证 明 不 等 式 的 方 法 ， 以 适 量 例 题 ａ ｃ＞ ＋ｂ＋ｃ 并 说 明运用这些方 法的思路 与解题技 巧 ， 并 分析 ： 不等 式 两 边 都 有变 量 ａ， 里 可 以 这 指 出使 用 这 类 方 法 的 关 键 ， 较 详 尽 地 阐 把 它 视 为 辅 助 函 数 的 变 量 。 比 明 了这 方 法 在 不 等 式 证 明 中 的 运 用 。 证 明： 设
／ ＝ ｂ－ ６ ｃ ２＝ ６一）＋２ ｂ （ ∈ｆ１１ ｘ ｃ（＋ ＋ 一 ） （ｃ 】 （一 一 一 ， １
‘ （） ｂ 一１ 由 ｂ ｆ。 ＝（ｅ ） 、ｃ∈（ １ ） ｂ ＜１ 一， 有 ｃ １ 厂’ ） （ ＜０． ．（） 格 递 减 ’ 厂 严 ． 若在定义域 内 厂 ’ ）≥０ 或 ｆ ） （ （ ’ ＞０） ， 厂（ ． １＝ｂ — — ＋１ ６ １ｃ １＞０ ｆ ） ｃ ｂ ｃ ＝（—） —） （ （ 则 ／ 在 定 义 域 递 增 （ ＿（） 调 递 减 ） （） 或 厂 单 ； 对Ｖ ｘ∈（ １ ） ／（） 一， 有 １ ＞０， 反 之 同样 讨 论 。 即 ｆ ａ ：ａ ｃ ａ＋ｂ 一２ ＞０ （ ） ｂ 一（ ＋ｃ ） 当 （廿 一 ） 。 ＜０ ， 厂 （ ） 时 ／在 点 Ｐ 不 ｐ 。 要 在 ｘ ａ 证 明 ｆ ｘ ≥ｇ ｘ （ （） ＞ 下 ｉ ） （） ≤ｇ Ｖａ 、 ｃ∈（ Ｌ ） ａ ｃ＞ａ＋ｂ＋ｃ一２ 、ｂ 一 １ ｂ 能取得极值 ； ）， ） 做辅 助 函 数 Ｆ ｘ ＝ｆ ｘ 一 （） 相 当 于 （ ） （） ｇ ｘ ， 当（ 厶 一 ） ） 时 ， 能 确 定 ／ （ ＝０ 不 要证 明Ｆ（） （ ≤０ ， ≥０或 ）如果能 得到 Ｆ ｄ ：０ （） 成 立 。 ［ 】 此 方 法可 应 用 于 以 下 类似 的 一 类题 目： 在 Ｐ 点是 否取 得极 值 。 ３ 且 ，’ ） ０ 或 ＜０ ， 由 Ｆ（） 单 调 性 可 ｘ＞ （ ）则 的 （ 表 示 对 中的 ｘ 偏 导 ， 表示 对 求 ① 当 ｘ＞０时 ， ４ ４ ｘ 一３成立 。提示 ： （ 用 得 ） Ｆ ａ ＝０ 或 ≤ ，（ ） ≥ （） （ 口 ＝０） 对 于 严 格 。 中 的 Ｙ求 偏 导 ， 表 示 对 中的 Ｙ求偏 阶 导数 判 断 Ｆ（ １ 一４ ＋３的单 调 性 ） ＝ ｘ 大干或 小于 也 同样 讨论 。 殊情 况 ： ： 对 特 ｇ ０ １ ． 导 ） 所 给 的 不 等 式 做 适 当 变 形 ， 把 不 等 式 两 或 ② 当 ＞０ ， ＞ ＋ ÷ 成立 。 提 时 Ｐ １ ＋ （ 边 所 含 的 共 同变 量 看 作 辅 助 函数 的 自变 量 例 ４： 约 束 条 件 ＋Ｙ＝２下 ， 明 在 证 用 如 ） 后 ， 把不等式转化为符合题设的函数 ， 就 此 示 ： 二 阶 导 数 ， 例 ２ 时 可以利 用函数的单 调性进 行讨论 ， 即对 ③求 证 当 ａ＞１ ， ， ｂ＞Ｏｃ＞０时 ，ｏ ＋ ） ｌｇ ６＞ 辅助函数求导并判 断符号 。 ｌｇ “（ ｏ ＋ｂ ） ＋ｃ 。 证明 ： 由约 束 条 件 ｘ＋Ｙ＝２ Ｙ＝２一 ， 得 例 １ 在 约 束 条 件 １ ≤ １ 下 ， 证 ： ≤ｘ ３ 求 （ 示 ： Ｆ（） ｏ ＋ｂ ＞１， 一 提 设 ｘ ＝ｌｇ ） 用 厢 十 历 ≤１ ０ 阶导数） 再 入 Ｈ ＋ ＋从 设， ＋ 一 代 而 朋＝ Ｊ Ｙ ． Ｊ ∞Ｊ 证 明 ： 厂 ） √ ＋ ＋ ３ 一 — Ｏ则 设 （ ＝ ｘ ３ ４ｘ ３ １ 用函数的单调性 解题的主要 步骤是 ： １ ３ １， １ ３ 、 八 一 一 八 ２ ３ － ‘ （ ） 造 辅 助 函 数 ， 用 ： 项 ， 不 等 １构 常 移 令 ￣ｘ ３ 了 又 令 令 ２ 即 ： 式 的 一端 为 零 ， 另一 端 即为 辅 助 函数 ； 能 不 厂（） 。 ＞０． ｆ ｘ 单 调 递 增 ‘ （） ． 直 接 移 项 构 造 则 观 察 不 等 式 能 否 把 不 等 式 １ ５ 又 由于 １≤ ≤ ｌ 则ｆ ｘ ≤ ｆ（３ ＝０成 ３， （） １） ’
合及具体 证 明方法 。 关 键 词 ： 等 式 证 明 辅 助 函 数 导数 不
中图分 类号 ： ４ Ｏ１ ７
文 献标 识 码 ： Ａ
文章编号 ： ６ ３ ７ ２ １ ） ２ａ － １ ０ １ ７ —９ ９ （ ０ ｏ （ ） Ｏ １ － ２ ５ ｏ ９ 曲 线 是 边 界 ， 尽 量 把 辅 助 函 数 设 成 一 元 则 的形 式 ， 以 下例 ４ 例 ５ 后 面 的 证 明 方法 如 与 ， 基 本 与 ㈠ 同 ； 果 给 出 的 约 束 条 件 是 一 个 如 曲 面 ， 可 以 考 虑 用 二 元 函数 的 极 值 来 求 就 解。 在 定 义 域 内 二 元 函 数 ｆｘ ） （， 在 ） 处 满 足 （ ｏ Ｏｆ （ ｏ ＝０， ｐ。 ｆ（，） ｐ ） ，ｙＰ ） 则 是 ｘＹ 的 稳 定 点 。 表 示 对 ／中的 ｘ （ 求偏 导 ， 表 示 对 ｆ中的 ｙ 求偏 导 ） ＿ ＿ ３ 对以 上 ｆ（， ） 稳 定 点 Ｐ （。 。 有 ： ｘＹ 与 。 ， ）， Ｙ 当 （ ） ， ＞０（ 一 ） 。＞ （ ） ０时 ， ｐ 厂在 点 Ｐ 取得 极小 值 ； 。 当 （ ） ， ＜０（ 一 ） ） （ ＞０时 ， 厂在 点 Ｐ 取 得 极 大 值 ；