构件的静力分析

ad = ab + bc - cd 即 Fx = F1x + F2x + F3x 同理有
Fy = F1y + F2y + F3y
显然，上述关系可以推广到由n个力F1、F2、…、Fn组成 的平面汇交力系，从而得出：
Fx = F1x + F2x + … + Fnx = ∑Fx Fy = F1y + F2y + … + Fny = ∑Fy 即合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的 代数和。这一关系称为合力投影定理。 算出合力F的投影后，即可求出合力F的大小与方向：
运用力多边形求合力时，可以任意变换各分力矢量的次 序，得到不同形状的力多边形，但求得的合力F不变，如图 c所示。
F= F1+F2 +…+ Fn=∑ Fi
二、平面汇交力系合成的解析法 解析法的基础是力在坐标轴上的投影，它是利用平面 汇交力系在直角坐标轴上的投影来求力系合力的一种方法。 （一）力在直角坐标轴上的投影 设刚体的某点A作用一力F，在F的平面内取直角坐标
二、静力学公理 1．二力平衡公理
刚体仅受两力作用而保持平衡的充分必要条件是： 两力大小相等、方向相反，且作用在同一直线上。如图 所示，即F1=F2
在两个力作用下处于平衡 的刚体，称为二力构件，又称 为二力杆。二力构件受力的特 点是两个力的作用线必沿其作 用点的连线，且等值、反向。
2．加减平衡力系公理 在任意一个已知力系上加上或减去任意的平衡力系， 并不会改变原力系对刚体的作用效应。 力的可传性推理：作用在刚体上的力，沿其作用线移 到刚体上任意一点，不会改变它对刚体的作用效应。
这里F1y、F2y和Fy分别为F1、F2和合力F在oy轴上的 投影，根据合力投影定理有
所以
Mo(F)= Mo(F1) +Mo(F2)
若在A点有一平面汇交力系F1、F2、……Fn作用，则
多次重复使用上述方法可得合力矩计算式。
在力矩的计算中，有时力臂不易确定，力矩很难直接 求出。但如果将力进行适当分解，各分力力矩的计算就 非常容易，所以应用合力矩定理可以简化力矩的计算。
由此可得平面汇交力系平衡的几何条件和解析条件。
（一）平面汇交力系平衡的几何条件
从力多边形图形上看，当合力F = 0时，合力封闭边变 为一点，即第一个矢量的起点与最后一个力矢量的终点重 合，构成了一个自行封闭的力多边形，如图所示。
平面汇交力系平衡的几何条件是：力系中各力组成的 力多边形自行封闭。
（二）平面汇交力系平衡的解析条件
是矢量，两者不可混淆。
若已知力F的大小为F，它与x轴所夹锐角为 ，则由图 可知：
Fx =± Fcosα Fy= ±Fsin α
反之，若已知力F在x、y轴上投影Fx与Fy，则由图中
的几何关系，可得：
tgα =|Fy / Fx |
（二）合力投影定理
设在刚体上有一平面汇交力系F1、F2、F3，用力多边 形法则可知其合力为F，如图所示。取坐标系xOy，将合 力F及力系中的各力F1、F2、F3向x轴投影，由图可得：
可忽略不计）所形成的约束。其约束反力的方向沿为接触 表面的公法线并指向被约束物体。这种约束反力也称为法 向反力，通常用符号FN来表示，如图中的FN。
（三）光滑铰链约束 物体经圆柱铰链连接所形成的约束。如图a所示根据
光滑面约束反力的特点，销钉对物体的约束反力应沿接触 点K处的公法线通过物体圆孔中心（即铰链中心）。但因 为主动力的方向不能预先确定，接触点不能确定，所以约 束反力FR的方向也不能预先确定。画约束反力FR时，通常 用两个通过铰链中心的互相垂直的分力Fx和F图a 所示刚架。在B处受一水平力FP = 20kN， 刚架自重不计，尺寸如图所示。试分别用几何法与解析法 求解刚架在固定铰链A和活动铰链D处的约束反力。
例1-4 增力机构如图a所示，已知活塞D上受到油压力
FP=3000N，通过连杆BC压紧工件。当压紧平衡时，杆AB、
BC与水平线的夹角均为 α。不计各杆自重和接触处的摩擦， 试求工件受到的压力。
工程中约束的种类很多，下面介绍几种典型的约束 模型。
（一）柔性约束
由线绳、链条或胶带等非刚性体所形成的约束。它们 只能受拉不能受压，约束反力的方向沿着中心线而背离被 约束物体。约束反力通常用符号FT来表示。图中线绳上的 约束反力FT1 和FT2 。
（二）光滑面约束 物体与光滑面成点、线、面刚性接触（摩擦力很小，
根据被连接物体的形状、位置及作用，光滑圆柱铰链 约束又可分为：中间铰链约束，如图a；固定铰链支座约束， 如图b和活动铰链支座约束，如图c。 由于活动铰链支座约 束只能限制物体沿支承面法线方向的运动，因此其约束反 力FR的作用线通过销钉中心且垂直于支承面。
（四）固定端约束 物体的一部分固嵌于另一物体所构成的约束，称为固 定端约束。如车床刀架上的刀具（图a）、卡盘上的工件 （图b）等都属于这种约束。
平衡力。
三、约束与约束反力
在工程中，构件总是以一定的形式与周围其它构 件相互联接的，例如转轴受到轴承的限制，使其只能 产生绕轴心的转动；汽车受到地面的限制，使其只能 沿路面运动等。
这种限制物体运动的周围物体，称为约束。上 面的轴承就是转轴的约束，地面是汽车的约束。
物体的受力可分为两类：主动力和约束反力。主动 力是指使物体产生运动或运动趋势的力，如物体的重力、 零件的载荷等。而约束对物体运动起限制作用的力称为 约束反力。由于约束的作用是限制物体的运动，所以约 束反力的方向总与限制的运动方向相反，其作用点在约 束与被约束物体相互连结或接触之处。
一、平面汇交力系合成的几何法 （一）力的三角形法则
设有F1和F2两力作用于某刚体的A点，在求合力时可 不画出整个平行四边形。如图b所示，这种通过画三角形 求合力的方法称为力的三角形法则。
（二）力的多边形法则 设刚体上作用有一平面汇交力系F1、F2 和F3，如图a 所示。现求其合力。
把各分力矢量首尾相接，得到一开口的多边形ABCD， 然后将第一个力矢量F1的起点A和最后一个力矢量F3的终点 D相连，作为多边形的封闭边，所得矢量就代表该力系合力 F的大小和方向。
例1-1 重W的均质圆球O，由杆AB、绳索BC与墙壁 来支持，如图a所示。各处摩擦与杆重不计，试分别画出 球O和杆AB的受力图。
例1-2 图a所示的结构，由杆AC、CD与滑轮B铰接组
成。物重W，用绳子挂在滑轮上。如杆、滑轮及绳子的自 重不计，并忽略各处的摩擦，试分别画出滑轮B、重物、
杆AC、CD及整体的受力图。
平面汇交力系平衡时，应有
也即 ∑Fx = 0 ∑Fy = 0
平面汇交力系平衡的解析条件是：各力在x轴和y轴上 投影的代数和分别等于零。上式称为平面汇交力系的平衡 方程。
用解析法求解平衡问题时，未知力的指向可先假设， 若计算结果为正值，则表示所假设力的的指向与实际相同； 若为负值，表示所假设力的指向与实际指向相反。
系xOy。从力F的两端A和B分别向x、y轴作垂线，得线段 ab和a1b1，如图a所示。线段ab和a1b1分别为力F在x、y轴
上投影的大小，分别以Fx与Fy来表示。
力F的指向由Fx 与Fy 的正负号确定。力的投影是代数 量，其正负规定如下：若从a到b（或a1到b1）的指向与坐 标轴正向一致时，投影值为正，反之为负。如图a中的Fx 与Fy均为正值，图b中的Fx与Fy均为负值。如果把力F沿两 直角坐标轴分解，可得到两正交分力Fx和Fy，其大小与力 F在相应坐标轴上的投影的绝对值相等，如图a所示。必须 注意，力的投影与分力是不同的，投影是代数量，而分力
3．平行四边形公理 作用于物体上某一点的两个力，可以合成为一个合力， 其作用点也在该点，合力的大小和方向由两已知力为边所 构成的平行四边形的对角线确定。此公理也称为平行四边 形法则。力的合成法则可写成矢量式 F= F1+ F2
运用前面的公理，还可以得出三力平衡汇交定理： 若刚体受到同一平面内互不平行的三个力作用而平衡时， 则该三力的作用线必汇交于一点。如图所示刚体受到三个互不 平行的力F1、F2和F3作用，当刚体处于平衡时，三力的作用线 必汇交于O点。
一、力的三要素 力对物体的作用效应，决定于力的大小、方向和作用点。 这三个因素通常称为力的三要素，当这三个要素中任何一 个改变时，力的作用效应就会改变。
力的单位采用牛（N）或千牛（kN）。
力是矢量，可用一带箭 头的有向线段表示。图中 的有向线段AB，按一定的 比例尺所作的线段长度AB 表示力的大小；箭头的指 向表示力的方向；线段的 起点（或终点）表示力的 作用点；通过力的作用点 沿力的方向的直线称为力 的作用线。
例1-6 圆柱直齿传动中，轮齿啮合面间的作用力为Fn， 如图所示。已知Fn= 500N，α = 20°，节圆半径r = D/2 = 150mm。试计算齿轮的传动力矩。
二、合力矩定理
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之 矩，等于力系中各力对该点矩的代数和。即
Mo（F）=∑Mo（Fi）
合力矩定理的证明
如图所示，设力F1、F2作用于刚体上的A点，其合力 为F，现计算它们对O点的矩。取直角坐标xoy，并让ox轴 通过力的汇交点A，令OA=l，则各力对O点的矩分别为
Mo（F）=±F d O点称为力矩中心，简称矩心；O点到力F作用线的垂 直距离d，称为力臂。力矩是一个代数量，其正负用来说明 力矩的转动方向。一般规定：力使物体绕矩心作逆时针方
向转动时，力矩取正号；反之为负。力矩的单位为N·m。
例1-5 如图所示，电线杆OA上端两根钢丝绳的拉力 为F1=120N，F2 =100N。试求F1 与F2对电线杆下端O点之 矩。
机器的运行是由于力的作用引起的，构件的受力情 况直接影响机器的工作能力。
力是物体间相互的机械作用。力的作用有两种效应： 使物体的机械运动状态发生变化和使物体的形状发生 改变，前者称为运动效应，后者称为变形效应。
力系是指作用于被研究物体上的一组力。物体平衡 时的力系称为平衡力系。
刚体就是指在力系作用下不会变形的物体。
第二节 平面汇交力系
静力分析的主要问题是力系的合成与平衡。 按照力系中各力是否作用在同一平面，可将力系分 为平面力系各空间力系两类； 按照力系中各力是否相交或平行，力系又可分为汇 交力系、平行力系和任意力系。 本节主要研究平面汇交力系的合成与平衡问题。分 析平面汇交力系一般有两种方法：几何法与解析法。
4. 作用力与反作用力公理 两物体之间的作用力与反作用力，总是同时存在，且
两力等值、反向、共线，分别作用在这两个物体上。 车刀在工件上切削，车刀作用在工件上的切削力为Fp，
与此同时，工件必有一反作用力Fp’作用在车刀上。这两个 力Fp，、Fp’总是等值、反向、共线的。必须注意，由于作 用力与反作用力作用在两个物体上，因此不能说成是一对
式中 α是合力F与x轴间所夹的锐角。合力F的指向由Fx 和 Fy 的正负号判定。
三、平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系合成的结果是一个合力。即平面汇交力 系可用其合力来代替。显然，如果物体处于平衡，此合力 应等于零，反之亦然。所以，平面汇交力系平衡的充要条 件是力系的合力等于零。即
F =∑Fi = 0
第三节 力矩与平面力偶系
一、力对点之矩 力对物体除了具有移动效应外，有时还会产生转动效应。
如图所示，当用扳手转动螺母时，作用于扳手一端的力F 能 使扳手及螺母绕O点转动。
由经验可知，拧动螺母的作用不仅与力F的大小有关， 而且与转动中心（O点）到力的作用线的垂直距离d有关。 因此，力F使物体绕O点转动的效应用两者的乘积F d来度 量。称为力F对O点之矩，简称力矩，以符号Mo（F）表示， 即
固定端约束的构件可以用一端插入刚体内的 悬臂梁来表示（图a），这种约束限制物体沿任 何方向的移动和转动，其约束作用包括限制移动 的两个正交约束反力FAx、FAy和限制转动的约束 反力偶MA（图c）。
四、受力图 在对物体进行受力分析时，为了清楚地表示物体的
受力情况，需将研究对象从周围的物体中分离出来，即 解除全部约束，成为分离体。为了使分离体的受力情况 与原来的受力情况一致，必须在分离体上画出所有主动 力，在解除约束的地方画出相应的约束反力。这样所得 到的画有分离体及其全部主动力和约束反力的简图称为 受力图。