第一章 集合与充要条件

（二）元素与集合的关系
若 a A 是集合 的元素，就说 a属于 A，记作 a A．
a A a a A 若 不是集合 的元素，就说 不属于 A ，记作
.
（三）表示法
把集合的元素一一列举出来，并用逗号隔开写在大括号内，这种表示集合的方 法叫做列举法．
一般形式为 , a1, a2 , , an , .
y 且
中的元素 不在
内，所以应填
x, y
x
x x, y .
z z （3）因为 为元素，为空集，所以应填为
；
（4）因为 | 3| 2 ，所以 3 x | x | 2 ；
（5）因为方程 x2 1 0 无实数根，故 x R x2 1 0 ；
（6）因为方程 xx 1x 2 0 的实数解为 0, 1, 2，
为 2n 1 . 如：集合 A a, b, c, d 的子集个数为 24 16，
真子集个数为 16 1 15，非空真子集个数为 16 2 14 ．
实操演练
演示１ 用适当的方法表示下列集合.
-3 4 3 （1）大于 且小于 的自然数集 （2）绝对值大于 的数；
；
（3）全体奇数构成的集合；
（4）方程组
练习１ 用描述法表示下列集合.
4 （1）绝对值不大于 的整数的全体；
（2）不等式 x2 x 6 0 的解集；
（3）矩形全体构成的集合；
（4）方程 3x2 5x 2 0的解集.
演示２ 用适当的符号 , , , , , , 填空.
（1） 5___ 5 ；
（3）z ___ ；
（5） ___ xR x2 1 0
第一章 集合与充要条件
考试要求
第一节 集合及其概念 第二节 集合的基本运算 第三节 充要条件
知识解读 实操演练 巩固练习 知识解读 实操演练 巩固练习 知识解读 实操演练 巩固练习
考试要求
1．理解集合、元素及其关系，理解空集的概念．
2．掌握集合的表示法及子集、真子集、相等之间的关系． 3．理解交集、并集和补集等运算． 4．了解充要条件的含义．
如果是元素与集合关系，则关键看元素是否在集合内或满足集合的 特性【如演示1（1）（4）】；
如果是集合与集合关系，则根据子集、真子集与相等的概念来判断 【如演示1（2）（3）（5）（6）】.
பைடு நூலகம்
练习２ 用适当的符号 , , , , , , 填空.
（1） _________ 0 ；
（2） 2 ____ x x2 2x 0 ；
把集合中的元素的共同特性描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫 做描述法．
一般形式为 语言描述 或 * *具有的属性 .
（四）特殊的集合
不含有任何元素的集合叫做空集，用表示．
只含有一个元素的集合叫做单元素集．记为 a .
（五）常见数集
全体自然数的集合叫做自然数集，常用 N 表示．
32xx
y y
1, 2
的解集．
解 （1） 0, 1, 2, 3 ；
解题方法
（2） x | x | 3 ；
（3）x x 2n 1, nZ ；
（4）x,
y
32xx
y y
1 2
3,
8 .
有限集常用列举法表示，无 限集常用描述法表示，用描述法 表示集合过程中需要注意书写格 式问题．
故 x xx1x2 0 0, 1, 2 .
集合
的元素都在
内，
的元素 不在
1, 2
0, 1, 2 0, 1, 2
0
1, 2 内，所以应 x x x 1 x 2 0 1, 2 .
解题方法
判断元素与集合或集合与集合的关系的常规方法是首先分清是元素 与集合关系还是集合与集合关系．
；
（2） x ___ x, y ；
（4）3 ____ x | x | 2 ；
（6） x xx 1x 2 0 ___1, 2 .
分析
5 （1）因为 为元素， 5 为集合，所以应填 5 5 ；
（2）因为 x 、 x, y 均为集合，且 x 的元素都在 x, y 内，
（一）子集
如果集合 A 的任一个元素都是集合 B 中的元素，那么集合 A叫做集合 B的子
集．记作
或
，读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”．
AB BA
A
BA B
由子集的定义可知：① A A；② A；③A B ，B C A C.
（二）真子集
如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一个元素不属于 A，那么 集合 A叫做集合 B 的真子集．记作 A B 或 B A ．
Z 全体整数的集合叫做整数集，常用 表示．
全体有理数的集合叫做有理数集，常用 Q 表示．
R 全体实数的集合叫做实数集，常用 表示．
有时用
R 表示正实数集，用 R 表示负实数集，
N *或
N
表示非零自然数集．
（六）分类
含有有限个元素的集合叫做有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集.
二、集合与集合的关系
的子集、真子
集与非空真子集的元素必需是
，据此按规律写出所有的子集、真
子集与非空真子集．
x, y, z
解 集合 x, y, z 的所有子集为：
，x ，y，z，x, y，x, z，y, z，x, y, z；
（3）正方形________ 平行四边形 ；
（4） x x 3 x x 5 ； ________
（5） 0, 1 ________ x x2 x 0 ；
（6） N
Z
Q
R．
演示３ 写出集合 x, y, z 的所有子集和真子集.
分析
x, y, z 由子集与真子集的概念可知，除空集外，集合
第一节 集合及其概念
知识解读
实操演练
巩固练习
知识解读
一、集合的有关概念
（一）含义
把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合． 构成集合的每个对象叫做集合的元素．
一般用大写字母 A, B, C, 表示集合， 用小写字母 a, b, c, 表示元素．
集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特征．
由真子集的定义可知：① A A ；② A A ；
③ A B ，B C A C ．
（三）集合的相等
A B 如果两个集合 、 的元素完全相同，那么就说这两个集合相等．
记作
性质：A
，读作“
B
等于
A
”．
B．
A B, B A A B
评析
n A 2n
含有 个元素的集合 的所有子集个数为 ，真子集个数