线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准1

线性代数与空间解析几何试卷答案及评分标准

试卷号：B20130314

一、单项选择题(将正确答案填在题中括号内，每小题4分, 共20分)

1、设是两个三维向量，且,则（ B ）

2、下列矩阵中，（ D ）不是正交矩阵。

3、二次型是正定的，则的取值范围是（ C ）

（A） (B)

(C) (D)

4、已知3阶方阵的3个特征值分别为，则下列命题不正确的是（C）

矩阵为不可逆矩阵；

矩阵与对角阵相似；

和 所对应的特征向量是正交的；

方程组的基础解系由一个向量组成。

5、直线与平面 的夹角为( A )

二、填空题(将正确答案填在题中横线上，每小题4分, 共20分)

1、设为3阶矩阵，将的第2列的倍加到第1列上得到矩阵,若矩阵,则矩阵

2、设4阶矩阵的秩为2，则其伴随矩阵的秩0 .

3、设矩阵满足,其中为同阶的单位矩阵，则

4、设矩阵，若齐次线性方程组有非零解，则 2 。

5、曲面与平面的交线在平面上的投影曲线方程为

。

三、（10分）计算行列式

解： 5分

10分

四、(10分)

解矩阵方程,其中,

解:, 5分

10分

五、(10分)求向量组 的秩与一个极大无关组。

解：

, ………6分

故, ………8分

是一个极大无关组。 ………10分

六、(10分)设有两个齐次线性方程组：

（Ⅰ）（Ⅱ）

（1）求方程组（Ⅰ）的基础解系；

（2）方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？

解：(1)方程组（Ⅰ）的系数矩阵,,基础解系中含有两个线性无关的解向

量：, 5分

(2) 将方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）联立得方程组，判断是否有解，对系数矩

阵进行初等变换化为阶梯形：

，

,方程组有非零解，即方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）有非零公共解。

10分

七、（10分）已知直线的一般方程为：

（1）将直线的一般方程化为标准方程（点向式方程）；

（2）直线在面上的投影直线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程。

解：（1）在直线上求一点,直线的方向向量：

4分

直线的标准方程为： 5分

（2）由直线的一般方程消去得面上投影直线的方程：

7分

直线绕轴旋转一周所得旋转曲面的方程为：

即 10分

八、( 10分 )设，求一个正交变换将二次型化为标准形

解：二次型的矩阵为：， 2分

解特征方程，

得的特征值为 4分

当时，解方程组，得基础解系，单位化，得 6分

当时，解方程组，得基础解系，将其单位化得 ，

8分

取 则 为正交矩阵

于是正交变换将二次型化为标准型： 10分