初中数学竞赛代数部分

m n
m n
a
m
m n
a
n
mn
ab
n
a nbn
a a a
mn
2、分式的知识点
（1）基本公式
A A M A M （其中 M 是不为零的整式） 。 B BM B M
a b ab c c c
a c ad bc b d bd
a c ac b d bd
1 (a b c)[(a b) 2 (b c) 2 (c a ) 2 ] 2
3 3 3 特别地：当 a b c 0 时，有 a b c 3abc
（7）a + b = (a + b)(a
n
n
n- 1
+b
n- 1
)-ab(a
n- 2
+b
n- 2
)
（8）常用公式的变形：
2 2 5 5
2
解： 由已知条件得m、n是方程 x x 10 的两个不相等的根。
2 2 2
m n 1, m n 1
m n 2mn3 m n m n m mn n 4 m n m n m n mn m n11
2 2 3
3
(a b)(a2 ab b2 ) a3 b3
（3）多项式平方公式：
(a b c d )
2
a 2 b2 c 2 d 2 2ab 2ac 2ad 2bc 2bd 2cd
即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（4）完全立方公式：
（2）二次根式具有如下性质：
（1）
a
2
2
aa 0 ；
a，当a 0时， （ 2） a a a，当a 0时；
（3） ab
a b a 0，b 0 ；
a （ 4） b
a b
a 0，b 0 。
（3）二次根式的运算法则如下：
(a+b) =a +3a b+3ab +b (a-b) =a -3a b+3ab -b
3 3 2 2
3
3
2
2
3
3
2 2 2 a + b + c - ab - bc - ca （5 ）
（6）欧拉公式
1 [(a b)2 (b c) 2 (c a) 2 ] 2
a 3 b 3 c 3 3abc (a b c)(a 2 b 2 c 2 ab bc ca)
（一）知识梳理
1、整式的知识点： （1）高次二项式的变形公式：
x y
5
5
3 x
x y
6
6
3 3 3 3 x y 2x y 4 x

y
3
2 x

y
2
2 2 x y
x y x y
2
x y
7
7
y
例（1）x 3xy 10 y x 9 y 2
2 2
（2） k 为何值时， x 2 xy ky 3x 5 y 2
2 2
能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式
（3） ( x2 3x 2)(4 x2 8x 3) 90
（11）幂指数运算性质：
a a a
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（初中竞赛，代数部分）
初中竞赛代数内容主要分为四部分
代数式的求值问题
方程与方程组的求解问题及其应用
一元一次不等式（组）及二元一次不等式
（组）的求解及应用 二次函数问题
一、代数式的求值问题
代数式求值的相关考点： • 关于整式的求值问题 • 关于分式的求值问题 • 二次根式的求值问题
3 3 2 2 5 5 3 3 2 2 2
2 2 2 2

a b a b －3ab a b
3 3 3
（9）多项式的带余除法：
若多项式f(x)除以g(x)，所得商式为q(x),余式为 r(x),则 f(x)=g(x)q(x)+r(x)
（10）因式分解的方法： •提公因式法
•十字相乘法 •待定系数法 •运用公式法 •双十字相乘法 •添项、拆项、配方法 •换元法 •分组分解法
4
3 x
y
3
3 3 x y
（2）乘法公式： 完全平方公式：(a b)2 a2 2ab b2
(a b) a 2ab b
2 2
2
2 2 ( a b )( a b ) a b 平方差公式：
立方和（差）公式： (a b)(a ab b ) a b
a c ad b d bc
a a n b b
n
n
（2）分式化简、求值的常用方法有： 设参法：主要用于连比式或连等式 拆项法（裂项法） 因式分解法 通分法：分组通分、逐项通分、 换元法 整体代入法 取倒法 公式法 代换法
3、二次根式的知识点
（1）当 a 0 时，称 a 为二次根式，显然 a 0 。
a b (a b) 2ab ，
2 2 2
( a b) 2 ( a 2 b 2 ) ( a 2 b 2 ) ( a b) 2 ab 2 2 ． ( a b) 2 ( a b ) 2 ， 4
பைடு நூலகம்

a b c (a b c) 2(ab bc ac)

a c b c a b c c 0 ；
a
n
a a 0 。
n
（4）设 a,b,c,d,m 有理数，且 m 不是完全平方数，则 当且仅当 a c，b d 时， a b m c d m 。
(5)若a b c 0，则a 0, b 0
（6）二次根式的求值
基本思路：先将二次根式化为最简根式
再作加减乘除运算
特殊的方法、技巧：换元法、拆项法、因式 分解法、运用乘法公式、分母有理化。
（二）例题分析 1、公式法求值
代数式的变形化简，离不开各种公式、各种运算法则及它 们的变形用法。
例 若m m1 , n n1 , 且m n, 求m n 的值。