比例解行程问题

比例解行程问题

模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题

【例 1】（难度等级※※※）上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小

明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？

【解析】画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。

注意：小明第2个4千米，也就是从A到B的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．

【巩固】（难度等级※※※）欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校，7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．

【解析】欢欢从出发到追上贝贝用了6分钟，她调头后速度提高到原来的2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为3 分钟，换衣服用时6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要10 分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4 分钟的路程，而这4 分钟的路程贝贝走了14 分钟，所以欢欢的6 分钟路程

贝贝要走14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了21 分钟，所以贝贝是7 点25 分出发的．

【例 2】难度等级※※※）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地

间的距离？

【解析】画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个

A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它

们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．

【巩固】（难度等级※※※）地铁有A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从A，

B 两站同时出发，他们第一次相遇时距A 站800 米，第二次相遇时距B 站500 米.问：两站

相距多远？

【解析】从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成3 个全长，一个全程中甲走1 段800 米，3 个全程甲走的路程为3 段800 米. 画图可知，由3 倍关系得到：A，B 两站的距离为800×3－500=1900 米

【巩固】（难度等级※※※）如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在A 点，乙在B 点同时出发反向而行，两人在C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知C 离A 有80 米，D 离 B 有60 米，求这个圆的周长.

【解析】根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了80×3=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少60 米，说明乙的路程比半周多60 米，那么圆形场地的半周长为240-60=180 米，周长为180×2=360 米.

【巩固】（难度等级※※※）甲、乙两车同时从A地出发，不停地往返行驶于A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中C 地．甲车的速度是乙车

速度的多少倍？

【解析】第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从C 地到B 地再到C 地，也就是2 个BC 段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以AC 的长等于2 倍BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了2 个AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为

2 AC : 2 BC 2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的2 倍．

【例 3】（难度等级※※※）每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早7 分钟与张大爷相遇．已

知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟40 米，那么这一天小刚比平时早

出门多少分钟？

【解析】比平时早7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷7 分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了（70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早出门770 ÷70 =11分钟．

模块二：时间相同速度比等于路程比

【例 4】（难度等级※※※）A、 B 两地相距7200 米，甲、乙分别从A， B 两地同时出发，结果在距 B 地2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的3倍，那么两人可提前10分钟相遇，

则甲的速度是每分钟行多少米？

【解析】第一种情况中相遇时乙走了2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为(7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高3倍后，两人速度比为2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了