22趣味的图论问题(1)

二、图的简单应用 例1：9个数学家在一次国际会议上相遇。发现他们中的任意 三个人，至少有两个人可以用同一种语言对话，并且每个人 至多掌握3种语言。证明在9个数学家中，至少有三个数学家， 他们聚在一起时可以用同一种语言交流。 证明：我们用v1、v2、……v9这9个点代表这9位数学家。由 初 于每个数学家至多掌握3种语言，因此至多有27种不同的语 等 言。如果两个数学家彼此之间能够用第r种语言交谈，我们 数 学 就在代表他们的两点之间连一条边，并且给这条边涂上第r 专 题 种颜色（r =1、2、……、27）。 研 这时，我们有以下几个事实： 究 （1）在连有边的两个点（代表两个数学家）之间，连接的边 数可能不止一条，但最多只有3条。即degvi≤3，1≤i≤9 （2）如果在点vi、vj之间连有一条着色为第r种的边，在点vj、 vk之间也连有一条着色为第r种的边，那么在点vi、vk之间就一 定连有一条着色为第r种的边。这条事实实际上是传递性。
初 等 数 学 专 题 研 究
三、哥尼斯堡七桥问题与一笔画 1736年瑞士数学家欧拉(Euler 1707——1783)发表了一篇论文， 解决了著名的“七桥问题”，通常认为这是图论的第一篇论文。 下面我们来谈谈七桥问题及一些相关的内容。 例3、帕瑞格尔河从北欧城市哥尼斯堡中心穿过，河中有两 个岛A与D，河上有两座桥连接这两个岛及河的两岸B、C 初 （如下图所示）
（3）在这个图中的任意三个点，至少连有连接其中两点的 一条边。即任意三点至少有一条边。 那么要证明的结论就是在由这9个点及所连接的带颜色的边 所组成的颜色图（至多有27种颜色）中，至少存在一个同 色的三角形。 根据前面的传递性，我们又只需证明至少存在一点，从它 引出的边中，至少有两条同色边即可。 下面使用反证法。
专 题 研 究
（2）如果v2v3v4的三条边不全部是蓝色，不妨设(v2，v3) 是红色，那么v1v2v3的三条边都是红色，那么这个三角形 符合题目要求。 在这两道例题中，我们应用了下面的一个原则——抽屉原则： 将m件物品按任何方式放入n(n＜m)个抽屉，则必至少有一 个抽屉里放有两件或两件以上的物品。 抽屉原则有两种最常见的形式 原则1 如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里，则至少有 一只抽屉要放进两个或更多个物体： 原则2 如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉，则至少有一 个抽屉至少放进m+1个或更多个物体
初 等 数 学 专 题 研 究
定理2：有限图连通G是一条链（即可以一笔画成）的充分必 要条件是G的奇顶点的个数等于0或2。并且当且仅当奇顶点 个数为0时，连通图G是一个圈（孤立点也可以看成圈）。
初
回到原来的图G, 因为G是连通图,所以每个Gi与至少有一 个公共点(i=1, 2, ……,k)，于是由下图所示：
学 专 题 研 究
为了解决这个问题，我们先做些准备工作。 1、顶点的奇偶性 在一个图中，一个顶点的次数如果是偶数，则称这个点为 偶顶点，否则就叫奇顶点。 对于顶点的奇偶性，我们有如下的定理：
定理1：对于任意的图G，奇顶点的个数一定是偶数。 证明：设次数为i的顶点有ni个，最大次数为k (0≤i≤k)。 那么一个图的各点次数总和为
等 数 学 专 题 研 究
问（1）一个旅行者能否经过每座桥恰好一次，既不重复也 不遗漏？（2）能否经过每座桥恰好一次并回到出发点？
我们用图论的方式把问题稍作改造： 我们把表示河岸及岛的A、B、C、 D四个位置用四个点A、B、C、D表 示；连接四个位置的七座桥用连接 这些点的边来表示，如右图所示。 那么现在的问题就成为通常所说的“一笔画”问题：能否不 初等 重复地一笔画出这个图？或一笔画出这个图并且回到出发点？ 数
题 研 究
推论1：如果图G有两个奇顶点，k个连通分支，那么图G 可以分解为k－1个圈和一个链。 证明略 定理3：如果连通图G有2k个奇顶点，那么图G可以用k笔 画成，并且至少要用k笔才能画成。
初 等 数 学 专 题 研 究
现在回到哥尼斯堡七桥问题上 见右图，这个图的四个定迪士尼都 是奇顶点，因此不可能一笔画成。 由定理3知，它至少需要两笔才能 画成 思考与练习 1、证明在简单图中，如果顶点数不小于2，那么至少 有两个顶点的次数是一样的。 2、图G有n个顶点，n+1条边，证明G至少有一个顶点 的次数不小于3. 3、17位学者，每位都给其余的人写了一封信，信的内容是 讨论三个论文题目中的任意一个，而且每两个人互相通信 所讨论的是同一个题目。证明至少有三位学者，他们互相 通信讨论的是同一个论文题目。
初 等 数 学 专 题 研 究
要注意的是，在图的定义中，顶点的位置以及边的曲直长短 都是无关紧要的，而且也没有假定这些点、边都要在一个平 面中（比如正多面体的顶点和棱也构成一个图），我们只关 心点点的多少以及这些边是连接哪些顶点的。 确切地说，如果两个图G与G’的顶点之间可以建立起一对 一的对应关系，并且当且仅当G的顶点vi与vj之间有k条边 相连时，G’的对应顶点v’i与v’j之间也有k条边相连，我们 就说G与G’同构。同构的两个图认为是没有区别的。
这样我们就得到互不相邻的三个点v1、v2、v3 ，即这三个点 之间没有边。这与前面得到的事实（3）矛盾。 例2 我们约定，两个人A、B如果A认识B也就意味着B也认识 A，我们称这两个人相识。证明任意6个人一定有这样三个人， 要么他们相互认识、要么他们相互不认识。 证明：作完全图k6，六个顶点代表六个人，如果某两人相识， 初 就将对应两点的连线涂上红色，否则就涂上蓝色。问题等价 等 数 于在这个两色完全图中证明存在一个同色三角形。 学 从顶点v1引出的边有五条，而颜色只有两种，因此其中至 少有三条边同色。 不失一般性，不妨设这三条边(v1，v2)，(v1, v3)，(v1, v4）都 涂上了红色（这三条边都是蓝色的证法与此完全相同）。 （1）如果v2v3v4的三条边都是蓝色，则这个三角形已经符 合题目要求；
等 数 学 专 题 研 究
定理2：有限图连通G是一条链（即可以一笔画成）的充分必 要条件是G的奇顶点的个数等于0或2。并且当且仅当奇顶点 个数为0时，连通图G是一个圈（孤立点也可以看成圈）。 证明：先证明必要性 如果连通图G是一条从v1到vr+1的链，那么，每个不同 于v1及vr+1的顶点都是偶顶点： 这是因为对于点vi( i= 2、3、……、r)来说，有一条进入vi的 边，就同时有一条从vi引出的边，而且进出的边不能重复已 经走过的边，所以与vi相邻的边总是成双的。 再由定理1知，图G的奇顶点个数只能是0或2. 当v1与vr+1重合（即此时该链是一个圈）时，图G没有奇 顶点。奇顶点个数为0
初 等 数 学 专 题 研 究
定理2：有限图连通G是一条链（即可以一笔画成）的充分必 要条件是G的奇顶点的个数等于0或2。并且当且仅当奇顶点 个数为0时，连通图G是一个圈（孤立点也可以看成圈）。 下面再证明充分性：我们对G的边数m用数学归纳法。 假设边数小于m时，定理成立。对于边数等于m的图G来说， 如果G有两个奇顶点v与v’，从v出发，沿G的边前进，每条边 至多经过一次，那么在到达任意一个不同于v’的顶点v”时，有 两种情形发生： （1）v”≠v，那么，由于v”是偶顶点，而每次到达v”时用掉 奇数条与v”相邻的边，所以还可以从v”继续前进； （2）v” = v，那么由于v是奇顶点，而每次到达v时用掉偶 数条与v相邻的边，所以也还可以从v”继续前进。 但图G的边数是有限的，不能无限走下去，最后一定会到达 顶点v’。这样就得到一条从v到v’的链.
趣味的图论问题（ 第二十二讲 趣味的图论问题（一） 一、基本概念
初 等
1、什么是图？
数 学
v2 v1 v3 v5 v4
v10 v8 v6
专
v9
题 研 究
v7
返回
趣味的图论问题 一、基本概念 1、什么是图？ 前面的图形就是图论中的研究对象——图。它有若干个不同 的点v1、v2、……，我们称之为顶点，或简称为点。这些顶 点中有一些是用直线段或曲线段连接的，我们称这些直线段 或曲线段为边。 上图中v1与v2之间有两条边，v2与v3之间有一条边，v2与v4 之间没有边，……等等。 上图中v1与v1本身也有边相连，这样的边叫环。 图
v2 v1 v3 v5 v4 v8 v6 v7
5
初 等 数 学
8
v10
v9
4 10 3 2 1
9
专 题 研 究
7Leabharlann Baidu
6
上面的两个图看上去很不一样，但它们却是同构的。
下面的五个图分别与五种正多面体的顶点与棱所构成的图同构
初 等 数 学 专 题 研
G1 G2 G3
究
G4
G5
如果对图G=(V, E)与G’=(V’, E’)有V’ V, E’ E，我们就说 图G’是图G的子图。 2、图的分类 如果一个图没有环，并且每两个顶点之间至多有一条边相 连，这样的图叫做简单图。 一个图的顶点数和边数都是有限的，这样的图叫做有限图， 否则叫做无限图。 除非特别说明，以后所指的图，都是指没有环的有限图。 3、相邻与次数 如果图G的两个顶点vi与vj之间有边相连，则称点vi与点vj是 相邻的，否则称为不相邻的。 如果点v是边e的一个端点，则称点v与边e是相邻的，或e是从 点v引出的边。 从点v引出的边的条数叫做该点的次数，记为degv 在图中，一点与其余的点都不相邻，这样的点叫做孤立点。
初 等 数 学 题 研 究
假设结论不成立，那么从任何一点所引出边的颜色都不相同。 学专 对于v1，由于degv1≤3， 所以至少有9－1－3 = 5个点与v1不相邻 不妨假设v2、v3、v4、v5、v6这5个点与v1不相邻。 又因为degv2≤3，所以在v3、v4、v5、v6这5个点中至少有一 点与v2不相邻，不妨设这个点为v3.
e1 e3 e4 e5 e2 e6
初 等 数 学 专 题 研 究
在链的定义中，并不要求顶点v1、v2、……、vr、 vr+1 互不相 同，如果出现在这条链中的顶点互不相同，这样的链叫做初级 链。一条链的首尾两个端点重合时，这样的初级链叫初级圈。
下面的图就是不连通的
初
这样一个图G能否“一笔画”等价于这个图是否是一个链 （不回到出发点）或一个圈（回到出发点） 3、“一笔画”问题的解决 定理2：有限图连通G是一条链（即可以一笔画成）的充分必 要条件是G的奇顶点的个数等于0或2。并且当且仅当奇顶点 个数为0时，连通图G是一个圈（孤立点也可以看成圈）。
0 n0 + 1 n1 + 2 n2 + + k nk
这个和是总边数m的两倍，因为连接顶点u、v边都被计算 了两次，一次是作为从v引出的，一次是作为从u引出的。 即 0 n + 1 n + 2 n + + k n = 2m
0 1 2 k
初 等 数 学 专 题 研 究
变形得：
1 n1 + 1 n3 + 1 n5 + = 2m 0 n0 2 n2 2 n3 4 n4 4 n5
等 数 学 专 题 研 究
定理2：有限图连通G是一条链（即可以一笔画成）的充分必 要条件是G的奇顶点的个数等于0或2。并且当且仅当奇顶点 个数为0时，连通图G是一个圈（孤立点也可以看成圈）。
初 等 数 学 专
G是一条从v到v’的链：即从v出发，每走到一个点vi时，就 沿Gi走一圈再回到vi，然后继续前进，如此可以一直走到v’。
上面的等式右边是一个偶数，左边是奇顶点的总个数， 所以奇顶点的个数为偶数。
2、图的连通性 在图G中，一个由不同的边组成的序列e1、e2、……、er，如 果其中ei是连接顶点vi与vi+1的边( i=1、2、3、……、r) 我们称这个序列为从v1到vr+1的链，数r叫做链长，顶点 v1 与vr+1叫做链的端点。 如果图G是简单图，这个链可以记为（e1、e2、……、er） 如右图，其中的边e1、e2、e3、e4、e5、e6 e e e e e e 就组成一个链。 如果一个链的两个端点vi与vi+1重 合，我们称这个链为一个圈。
初 等 数 学 专 题 研 究
在一个简单图中，如果任何两点都相邻，这样的简单图叫 做完全图。顶点数为n的完全图记为Kn
A D C v5 v4
B
v1 v2
v3
初 等 数 学 专 题 研 究
上面左边的是完全图K4，右边的不是完全图，因为v3、v5不 相邻。 任何一个简单图G都可以添加边成为完全图。从完全图Kn中 把属于G的边去掉后得到的图叫做图G的补图。记为G