卡尔曼滤波算法研究

2017年6月舰船电子对抗Jun. 2017第 40 卷第3 期SHIPBOARD ELECTRONIC COUNTERMEASURE Vol. 40 No. 3

-^尔曼滤波算法研究

毛秀华，吴健

(中国电子科技集团公司第五十一研究所，上海201802)

摘要：对卡尔曼滤波的起源和发展进行了简述，然后对标准卡尔曼滤波的定义和模型进行了回顾，重点对近似二阶

扩展卡尔曼滤波、扩维无迹卡尔曼滤波和自适应卡尔曼滤波等3种最新改进型的卡尔曼滤波算法进行了详细阐述，最后对这3种新改进型的卡尔曼滤波算法的优缺点进行了对比分析，对各自的适用领域和场景进行了说明。

关键词：卡尔曼滤波；近似二阶扩展卡尔曼滤波;无迹卡尔曼滤波；自适应卡尔曼滤波

中图分类号：TN713 文献标识码：A文章编号：CN32-1413(2017)03-0064-05 DOI：10. 16426/j. cnki. jcdzdk. 2017. 03. 015

Research into Kalman Filtering Algorithm

MAO Xiu-hua，WU Jian

(51st Research Institute of CETC,Shanghai 201802 ,China)

Abstract ：This paper expatiates the origin and development of Kalman filtering briefly, then reviews the definition and model of the standard Kalman filtering, focuses on expatiating three new im­proved Kalman fitering algorithms in detail ： approximate two order extended Kalman filtering, aug­mented unscented Kalman filtering, adaptive Kalman filtering, finally compares and analyzes the ad­vantages and disadvantages of three new improved Kalman filtering algorithm s, performs illumina­tion to respective application fields and scene.

Key words：Kalman filtering ；approximate two order extended Kalman filtering ；unscented Kalman filtering;adaptive Kalman filtering

o引百

卡尔曼滤波器最早要追寻到I960年卡尔曼先 生发表的关于利用递归算法来求解离散线性滤波器问题的学术论文------《A New Approach to Linear

Filtering and Prediction Problems》（线性滤波与预 测问题的新方法），在卡尔曼先生的这篇学术论文中 首次提出了针对维纳滤波器缺点的全新解决方案，这种方案就是时至今日被人们所熟知的卡尔曼滤波 方法。卡尔曼滤波方法功能非常强大，应用也十分 广泛，利用卡尔曼滤波方法不仅可以预测信号当前、过去的状态，还可以预测信号的下一步即将来的状 态，这种预测和估计可以在不知道系统确切模型的 条件下完成[1]。

最小均方误差被用来作为卡尔曼滤波器估计的准则，在完成对信号状态变量的估计时，信号与噪声 的状态空间模型是卡尔曼滤波算法首先使用的一个 模型，在进行状态变量的估计时，利用的是当前时刻 的估计值和当前时刻的观测值。

卡尔曼滤波算法在各行业中的应用已经有30 多年的历史了，实践证明卡尔曼滤波器在解决相关 问题时，它是最优的解决方案，有时甚至是效率最高 最可行的解决方案。卡尔曼滤波算法现在应用得十 分广泛，在电子、控制、导航、无线传感器网络等多个 领域均有应用，在雷达跟踪、无源定位跟踪、导弹追 踪等军事方面，卡尔曼滤波算法均有不错的应用并 取得了不俗的成绩。

文章首先对标准卡尔曼滤波的定义、数学模型 进行了简单介绍，然后重点对3种最新改进型的卡 尔曼滤波算法进行了阐述，对近似二阶扩展卡尔曼

收稿日期：2017 - 03 - 30

第3期毛秀华等；卡尔曼滤波算法研究65

滤波、扩维无迹卡尔曼滤波和自适应卡尔曼滤波这 3种算法的优缺点进行了分析和说明，对各自的应 用场景进行了阐述。

1标准卡尔曼滤波算法

为了说明卡尔曼滤波算法的基本原理，首先假 设物理系统的状态更新过程为一个离散时间的随机 过程。被控制对象的输人对物理系统的状态会产生 影响，噪声对物理系统的观测过程产生影响，假定物 理系统的状态是非直接可观测的。在以上假设前提 下，得到系统的状体方程和观测方程[2]:

[X k =0k,k-i X k-i+ W k,k-i U k-i r k,k-i f i k-i

\Lk =Bk Xk+GkUk+Ak

式中：足为状态向量；L t为观测向量；取,H为状态 转移矩阵；c/h为控制向量，一般不考虑；r u i、艮 为系数矩阵；为系统动态噪声向量；为观测 噪声向量，其随机模型为：

E(£2t)— 〇

E(A k)= 0 (2)

cov(£lk,£l,)=DQ(k)Sk j

cov(Ak：A,')= Dk(k)Sk j

cov(Qk,A,)= 0 (3)

E(X〇)=ixx(O)

m r(X Q)=D(X0)

cov(X〇,£2k)= 〇(4)

cov(X〇,A k)= 〇展卡尔曼滤波算法针对的是非线性系统，目前在非 线性系统估计方面已经有了十分广泛的应用。近似 二阶扩展卡尔曼滤波方法（A S-E K F)采用的框架是 线性最小方差框架，采用均值的二阶近似变换来获 取非线性系统的递推滤波框架。该滤波基于线性最 小方差递推框架，状态X的最小方差估计为[3]:

X =E(X/L)(10)式中:L为观测矩阵；假定状态X的估计值t是观 测矩阵L的线性函数，即：

1(L)=A L+b(11)得到最优估计和估计误差方差阵的递推方程分 别为：

EiXik+V/L^1) =EiXik+V/L ik+l),^)

(12) var(X(k +D/L/+1) =var(X(k +1)/L(k +1),

V)(13)在E K F中，假设非线性函数;y=/(X)在状态X 的最优估计（预测）值处线性化，即：

y^f(X) +D J(14)：y的均值、方差和协方差的近似估计：

y 〜f O O

P y y ^AX PXXAXT(15)

P X y ^P x x A X T

对均值进行二阶近似，而对方差和协方差进行 一阶近似，即可得：

卡尔曼滤波递推公式为：

X(k/k) = X(k/k - 1)+J t(L t -B t X(k/k - 1))

(5)

D(k/k)=(E-J k B k)D A k/k-l)(6) J k=D I(k/k-l')B T k(B k D I(k/k-i y)B j + DA(k)-l(7)

X(k/k-l)=O^XCk-l/k-Y)(8)

D-c{k\/k)=0k+i,kDx(Jz/k-|-

ft+i.t-DA ik^Tk+i.k(9) 2几种最新改进型的卡尔曼滤波算法

(1)近似二阶扩展卡尔曼滤波算法

从前面的介绍和阐述可知，标准卡尔曼滤波算 法主要针对的是线性系统，而在实际的工程运用中 需要解决的问题多数是非线性系统，这时候标准卡 尔曼滤波算法就失去了效能，在这种背景下20世纪 7〇年代扩展卡尔曼滤波算法（E K F)被提出来了，扩

^ ^f(X)+^U TPxxA)f(X n x--xx

^Pyy ^AxPxxAxT

P X y^P x x A X T

(16)

式中为梯度函数。

考虑如下带加性噪声的非线性离散系统：

x a+1) =f(x(k),k) +r(x(k),k)v(k)

(17) L(k+1) =h(X(k+1) ,^ +1) +W(.k+1)

(18)

将式（16)所使用的近似二阶方法代人式（12)和(13)，可得如下近似二阶卡尔曼滤波递推公式。

预测阶段：

X(k+l\k)=f(X(k),k) +

l/2((ATP(k))f(X,k)) |(X =X(k))(19) P{k1 |k}= 0k/k-iP(k)0j/k-i ~\~

r(x(k),k)Q(k)r T(x(k),k)(2〇)