第七章 数学建模 实践问题

第七章实践问题

本篇主要介绍数学建模实际问题，通过这些问题的实践，提高学生的数学建模水平。

第一节基础问题

1.广告的效用：某公司生产一种耐用消费品，产品一上市，该公司即开始做广告，一段时期的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有购买的百分比成正比，且估计得到此比例系数为0.5。

（1）试模拟求解该问题，即购买人口的百分比与（做广告）时间的关系；

（2）建立该问题的数学模型，并求其数值解与模拟结果作以比较；

（3）厂家问：要做多少次广告（设上述单位时间指广告次数），可使市场购买率达到80%？

2.要用40块方形瓷砖铺设如图16-17所示图形的地面,但当时商店只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块.一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面,结果弄来弄去始终无法完整铺好. 问题在于用20块长方形瓷砖正好铺成图16-17所示的地面的可能性是否存在?只有可能性存在才谈得上用什么方法铺的问题.

3．美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法，一直是把它们装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底。生态学家和科学家们表示担心，怕圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染。原子能委员会分辨说这是不可能的。为此工程师们进行了碰撞实验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底相撞时，圆桶就可能发生碰裂。这样为避免圆桶碰裂，需要计算一下圆桶沉到海底时速度是多少？这时已知圆桶重量为239.46kg，体积为0.2058m3，海水密度为1035.71 kg /m3。如果圆桶速度小于12.2m/s，就说明这种方法是安全可靠的，否则就要禁止用这种方法来处理放射性废料。假设水的阻力与速度大小成正比例，其正比例常数k=0.6。

4．根据某气田1957~1976年共20个年度的产气量数据（见下表），建立该气田的产量预测模型，并将预测值与实际值进行比较。

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计其频数，画出直方图，并与男大学生身高问题中的结果对照。

6．在及时接车问题中，若甲到站只等2min，不见乙即自行离开，则乙能接到甲的概率是多少？

7．在100个人的团体中，如果不考虑年龄的差异，研究是否有两个以上的人生日相同。假设每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么随机找n个人（不超过365人），求这n个人生日各不相同的概率是多少？从而求这n个人中至少有两人生日相同这一随机事件发生的概率是多少？

8．某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验，得到了氮（N）、磷（P）肥的施

示：对于磷肥，用分段线性拟合，并注意分界点的确定。）

9．在n个单位的团体中，经常涉及到代表名额分配问题，每个单位都希望自己的代表名额多一些，以便在委员会中能更好地反映自己单位的意图。试设计一种公平的代表名额分配方案，并针对下面三种情况就方案的公平与合理性进行说明。

（1）该团体有A、B、C三个单位，开始时A、B、C三个单位的人数分别是100、60、40，

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一年后三单位的人数是103、63、34。就20名代表和21名代表名额给出分配方案。（2）该团体有A、B、C、D、E五个单位，其人数分别为9061、7179、5259、3319、1182，给出26、27、28、29个代表名额的分配方案。

（3）该团体有A、B、C、D、E、F六个单位，其人数分别为9215、159、158、157、156、155，给出100名代表名额的分配方案。

10．一种肉食（捕食其它动物的）恐龙，成年恐龙平均长3米，髋高0.5米，重约45公斤。据估计，这种恐龙跑的非常快，速度可达60公里/小时，持续15秒。在以这种速度进行冲刺后，它要停下来在其肌肉中增加乳酸以恢复体力。

假设恐龙捕食一种称为太西龙属的双足食草动物，大小与所述恐龙差不多，可以50公里/小时的速度长时间奔跑。

（1）设恐龙是一只独居的猎食者，试设计一个单个恐龙潜近猎物并追捕单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。假设当恐龙潜近15米内时，太西龙属总能察觉到，根据栖息地及气候的条件不同，甚至在（多达50米）更大范围内觉察欲捕食者的存在。此外，由于恐龙的身体结构及体能，它在全速奔跑时的转弯半径是有限的，据估计，转弯半径大约是其髋高的三倍。另一方面，太西龙属却是极其灵活的，其转弯半径只有0.5米。

（2）更现实地假设恐龙是成对外出追猎，试设计一个新的关于成对恐龙潜近猎物并追猎单只太西龙属的策略，以及被追捕者逃避追捕策略的数学模型。利用（1）中给的假设和限制。

11.在确定以论文形式给出比赛优胜者时，常常要评阅大量的答卷，比如说有P=100份答卷。一个由J位评阅人组成的小组来完成评阅任务，基于比赛资金，对于能够聘请的评阅人数量和评阅时间的限制，如果P=100，通常J=8。理想的情况是每个评阅人看所有的答卷，并给出分数。为了减少所看答卷的数量，考虑如下的筛选模式：如果答卷是被排序的，则在每个评阅人给出的排序中排在最下面的30%答卷被筛除；如果答卷被打分（比如说从1分到10分），则某个截止分数线以下的答卷被筛除。这样，通过筛选的答卷重新放在一起返回给评阅小组，重复上述过程。人们关注的是，每个评阅人看的答卷总数要显著地小于P。评阅过程直到剩下W份答卷时停止。这些就是优胜者。当J=100时通常取W=3。

任务是利用排序、打分及其它方法的组合，确定一种筛选模式，按照这种模式，最后选中的W份答卷只能来自“最好的”2W份答卷（所谓“最好的”是指，人们假设存在着一种评阅人一致赞同的答卷的绝对排序）。例如，用给出的方法得到的最后3份答卷将全部包括在“最好的”6份答卷中。在所有满足上述要求的方法中，希望能给出使每个评阅人所看答卷份数最少的一种方法。

注意在打分时存在系统偏差的可能。例如，对于一批答卷，一位评阅人平均给70分，而另一位可能给80分。在给出的模式中如何调节尺度来适应竞赛参数（P，J）的变化？12．在一个食物、空间、水等资源有限的环境中考察天然存在的动物群体。试选择一种鱼类或哺乳动物以及一个你能获得适当数据的环境，并形成一个对该动物捕获量的最佳方案。

13．进饭店大堂吃饭，常见到四人桌只坐两人，并且还有人排队。这是因为另外的客人

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