“abc猜想”讲义(24)

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x2 y2
那么 lim [kε·(x·y)÷z2]=0;说明 kε·x·y>z2 不可能恒成立。所以假 zxy
定不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有正整数解不能成立。 ③r>n,r>m,n=m,不妨设不定方程 xk3 + yh3 = zt3 有正整数解,那么总可以
设 t3=3s3+v3,v3=0 或 1 或 2。因为 k3>2,h3>2,t3>2,t3>k3,t3>h3,k3=h3; 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知,x< zs3 ,y< zs3 。然而在假定的情
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形下,不定方程 xk3 + yh3 = zt3 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两
两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 , 则 有 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )1+ε> zt3 。然而 kεrad( xk3 · yh3 · zt3 )≤kε·x· y·z<
以设 t2=3s2+v2,v2=0 或 1 或 2。因为 k2>2,h2>2,t2>2,t2≥k2,t2≥h2,k2≠h2; 由第二十三讲中的引理 6.1 和引理 6.2 可知,x< zs2 ,y< zs2 。然而在假定的情 形下,不定方程 xk2 + yh2 = zt2 必定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两 两 互 质 。 根 据 第 七 讲 中 的 定 理 4.1 和 推 论 4.1 以 及 abc 定 理 可 知 , 则 有 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )1+ε > zt2 。 然 而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 ) ≤ kε·x·y·z < kε· z2s2 1 ;由 abc 定理可知,那么则有 kε· z2s2 1 > z3s2 v2 ,即 kε> zs2 v2-1 。因为 kε为常数,当 s2>1 或 v2>1 时,不定方程 xk2+yh2=zt2 的正整数解有无穷多组,显 然 zs2 v2-1 的值无确定性,这样就与 kε> zs2 v2-1 产生矛盾。当 s2=1 和 v2≥1 时,不 定方程 xk2 + yh2 = zt2 的正整数解有无穷多组,显然 zs2v2-1 的值无确定性,这样就与 kε> zs2v2-1 产生矛盾。 当 s2=1,v2=0 时,不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有无穷多组正整 数解,并且任一组正整数解均两两互质。这种情形下,z>x,z>y,设 z=x2·x+u3(x >u3),z=y2·y+u4(y>u4),然而 kεrad( xk2 · yh2 · zt2 )≤kε·x·y·z;由 abc 定 理 可 知 , kε·x·y·z > z3 。 对 kε·x·y÷z2 求 极 限 , 因 [kε· ( x·y ) ÷z2]={kε·(x·y)÷[(x2·x+u3)(y2·y+u4)]},那么[kε·(x·y)÷z2] ≤{kε·(x·y)÷[(x2·x)·(y2·y)]}=kε÷(x2·y2)。而 lim [kε÷(x2·y2)]=0,
“abc 猜想”讲义(24)
第二十四讲 利用“abc 定理”证明“ 比尔猜想”
主讲 王若仲
这一讲讲解如何利用“abc 定理”怎样证明“ 比尔猜想”。 七 解析“比尔猜想”[1] “比尔猜想”:对于不定方程 xn+ym=zr,n>2,m>2,r>2,nэN,mэN,rэN。 (1)当 n=m=r 时,不定方程 xn+ym=zr 无正整数解;(2)当 n,m,r 不全相等时, 不定方程 xn+ym=zr 无两两互质的正整数解;(3)当 n,m,r 不全相等时,不定 方程 xn+ym=zr 有正整数解的必要条件:x 和 y 以及 z 均至少含有一个相同的质因 数。 证明:对于不定方程 xn+ym=zr,n>2,m>2,r>2,nэN,mэN,rэN。(1)当 n=m=r 时,不定方程 xn+ym=zr 无正整数解;这种情形其实就是费尔马大定理,故 (1)的情形成立。 (2)当 n,m,r 不全相等时,假定不定方程 xn+ym=zr 有两两互质的正整数 解,那么则有下列情形: ①r≤n,r≤m,n≠m,不妨设不定方程 xk1 + yh1 = zt1 有正整数解,k1>2,h1 >2,t1>2,t1≤k1,t1≤h1,k1≠h1。显然 x<z,y<z,那么不定方程 xk1 + yh1 = zt1 必 定有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两两互质。根据第七讲定理 4.1 和推论 4.1 以及 abc 定理可知,则有 kεrad( xk1 · yh1 · zt1 )1+ε> zt1 。然而 kεrad( xk1 · yh1 · zt1 )≤kε·x·y·z<kε·z3;那么则有 kε·z3> zt1 ,即 kε> zt1-3 。 因为 kε为常数,当 t1>3 时,不定方程 xk1 + yh1 = zt1 的正整数解有无穷多组,显然 zt1-3 的值无确定性,这样就与 kε> zt1-3 产生矛盾。当 t1=3 时,不定方程 xk1 + yh1 ==z3 有无穷多组正整数解,并且任一组正整数解均两两互质。这种情形下,z>x,z >y,设 z=x1·x+u1(x>u1),z=y1·y+u2(y>u2),然而 kεrad( xk1 · yh1 ·z3)≤ kε·x·y·z;由 abc 定理可知,kε·x·y·z>z3。对 kε·x·y÷z2 求极限,因 [kε·(x·y)÷z2]={kε·(x·y)÷[(x1·x+u1)(y1 ·y+u2)]},那么[kε·((x1·x)·(y1·y)]}=kε÷(x1·y1)。而 lim [kε÷ x1 y1
(x1·y1)]=0,那么 lim [kε·(x·y)÷z2]=0;说明 kε·x·y>z2 不可能 zxy
恒成立。所以假定不定方程 xk1 + yh1 = zt1 有正整数解不能成立。 ②r≥n,r≥m,n≠m,不妨设不定方程 xk2 + yh2 = zt2 有正整数解,那么总可
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