考点42 变量间的相关关系-高考全攻略之数学(文)考点一遍过

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变量的相关性

（1）会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. （2）了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程. 回归分析

了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

1．相关关系

当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，则这两个变量之间的关系叫做相关关系．即相关关系是一种非确定性关系．

当一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，则这两个变量正相关； 当一个变量的值由小变大时，而另一个变量的值由大变小，则这两个变量负相关. 【注意】相关关系与函数关系的异同点： 共同点：二者都是指两个变量间的关系．

不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系；而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，可能是伴随关系． 2．散点图

将样本中的n 个数据点()(1,)2i i x y i n ,,,描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．

具有正相关关系的两个变量的散点图如图1，具有负相关关系的两个变量的散点图如图2. 3．回归分析

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，则这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．学&

回归直线对应的方程叫做回归直线方程(简称回归方程)． 4．回归方程的求解

（1）求回归方程的方法是最小二乘法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小．

若变量x 与y 具有线性相关关系，有n 个样本数据()(1,)2i i x y i n =,,,，则回归方程ˆˆˆy bx a =+中

1

1

2

2

2

1

1

()()()

ˆn n

i

i

i i

i i n

n

i

i

i i x x y y x y nx y

b

x x x

nx ====---==

--∑∑∑∑，ˆˆa y bx

=-. 其中1211,n

n

i i x x x x n n

x =+++==

∑211

1n

n

i i y y n n

y y y =+++==∑，

(,)x y 称为样本点的中心．

（2）线性回归模型y bx a e =++，其中e 称为随机误差，自变量x 称为解释变量，因变量y 称为预报变量．

【注意】①回归直线ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(,)x y ，这个结论既是检验所求回归直线方程是否准

确的依据，也是求参数的一个依据．

②利用回归直线方程不但可以预测在x 取某一个值时，y 的估计值，同时也能知道x 每增加1个单位，ˆy

的变化量．

③在回归直线方程中，ˆb既表示直线的斜率，又表示自变量x的取值每增加一个单位时，函数y的改变

量．

5．相关系数

（1）样本相关系数r的计算公式

我们可以利用相关系数来定量地衡量两个变量之间的线性相关关系，计算公式

为

n

x y

r=.

（2）样本相关系数r的性质

①||1

r≤；

②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；

③|r|越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；

④|r|越接近于0，表明两个变量的线性相关性越弱.

6．非线性回归分析

对某些特殊的非线性关系，可以通过变量转换，把非线性回归问题转化成线性回归问题，然后用线性回归的方法进行研究．@网

在大量的实际问题中，所研究的两个变量不一定都呈线性相关关系，当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决．

7．刻画回归效果的方式

残差图

ˆ

i

e称为相应于点(,)

i i

x y的

残差，ˆ

i

e=ˆ

i i

y y

-

残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，

说明选用的模型比较合适，其中这样的带状

区域的宽度越窄，说明模型拟合精确度越高

.

残差平方和2

1

ˆ

()

n

i i

i

y y

=

-

∑残差平方和越小，模型的拟合效果越好

考向一相关关系的判断

判定两个变量正、负相关性的方法：

(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关；

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关；

(3)线性回归方程中：ˆ0

b>时，正相关；ˆ0

b<时，负相关．

典例1给出下列有关线性回归分析的四个命题：

①线性回归直线未必过样本数据点的中心(,)

x y；

②回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线；

③当相关系数0

r>时，两个变量正相关；

④如果两个变量的相关性越强，则相关系数r就越接近于1.

其中真命题的个数为

A．1B．2

C．3D．4

【答案】A