立体几何折叠问题大题选(难度中上)

1．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝8，BC＝6，AB＝2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF平面EFDC．（Ⅰ）当，是否在折叠后的AD上存在一点，且，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅱ）设BE＝x，问当x为何值时，三棱锥A CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

2．如图1，A，D分别是矩形A1BCD1上的点，AB＝2AA1＝2AD＝2，DC＝2DD1，把四边形A1ADD1沿AD折叠，使其与平面ABCD垂直，如图2所示，连接A1B，D1C得几何体ABA1DCD1.

(1)当点E在棱AB上移动时，证明：D1E⊥A1D；

(2)在棱AB上是否存在点E，使二面角D1ECD的平面角为？若存在，求出AE的长；

若不存在，请说明理由．

3．如图，已知四棱锥S－A BCD是由直角梯形沿着CD折叠而成,其中SD≥DA≥AB≥BC≥l，AS∥BC，A⊥AD，且二面角S－CD－A的大小为120o．

（Ⅰ）求证：平面ASD⊥平面ABCD；

（Ⅱ）设侧棱SC和底面ABCD所成角为，求的正弦值．

4．如图1所示，在边长为24的正方形中，点在边上，且，，作分别交于点，作分别交于点，

将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.

（1）求证：平面；

（2）求多面体的体积.

5．如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，，作//，分别交，于点，，作//，分别交，于点，，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱．

（1）求证：平面；

（2）若点E为四边形BCQP内一动点,且二面角E-AP-Q的余弦值为,求|BE|的最小值.

6．已知平面五边形关于直线对称（如图（1）），，

，将此图形沿折叠成直二面角，连接、得到几何体（如图（2））

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面的所成角的正切值.

7．已知中，角，，所对的边分别为，，，若

，．

（1）判断的形状；

（2）在的边，上分别取，两点，使沿线段折叠三角形时，顶点正好落在边上的点处，设，当最小时，求的值．

8．如图1，四边形中，，，将四边形沿着折叠，得到图2所示的三棱锥，其中．

（1）证明：平面平面；

（2）若为中点，求二面角的余弦值．

9．如图，是等边三角形，，，将沿折叠到的位置，使得．

(1)求证：；

(2)若，分别是,的中点，求二面角的余弦值．

10．一张半径为4的圆形纸片的圆心为，是圆内一个定点，且，是圆上一个动点，把纸片折叠使得与重合，然后抹平纸片，折痕为，设与半径

的交点为，当在圆上运动时，则点的轨迹为曲线，以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图.

（1）求曲线的方程；

（2）曲线与轴的交点为，（在左侧），与轴不重合的动直线过点且与交于、两点（其中在轴上方），设直线、交于点，求证：动点恒在定直线上，并求的方程.

11．图甲是一个几何体的表面展开图，图乙是棱长为的正方体。

（Ⅰ）若沿图甲中的虚线将四个三角形折叠起来，使点、、、重合，则可以

围成怎样的几何体？请求出此几何体的体积；

（Ⅱ）需要多少个（I）的几何体才能拼成一个图乙中的正方体？请按图乙中所标字母写出这几个几何体的名称；

（Ⅲ）在图乙中，点为棱上的动点，试判断与平面是否垂直，并说明

理由。

12．如图1，在边长为的正方形中，,且,且，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成图所示的三棱柱，在图中.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在底边上有一点，使得平面，求的值.