初中数学完全平方公式PPT课件
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(1)a2
1
1a a2
4
，求
(2) a4
1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，求
x2+4y2-1的值
例2.已知b2=ac，求证： (a+b+c)(a-b+c)(a2-b2+c2)=a4+b4+c4
例3已知:若(z-x)2-4(x-y)(y-z) =0 求证: X-2y+z=0
简单应用
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
你能口答吗?
(1) (-3a+2b)2 ；
(2) (-4x- y)2 ;
完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
终极提高
例4.已知a+b=7，ab=12，
2、比较下列各式之间的关系： (1) (-a -b)2 与(a+b)2
相等 (2) (a - b)2 、 (b - a)2 、
(-b +a)2 与(-a +b)2 相等
3、填空：公 a2+2ab+ b2 =(a+b)2
式的逆向使用；a2－2ab+b2 =(a－b)2
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2+2x+1=( x+1)2 a2-4ab+4b2=( a-2b)2 x2-4x +4=( x-2 )2
解: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
利用完全平方公式计算：
1012= 8.92=
1992=
例3 计算：
(1)
2 3
a2
3 2
b3
2
解：原式=
3 2
b3
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
议一议
如何计算 (a+b+c)2
能力提高
5. x
1 x
m, 则x2
1 x2
Biblioteka Baidu
____;
x
1 x
m, 则x2
1 x2
__;
6.
x
2
y
2
x
2
y
2
_____;
7.已知a2
3a
1
0,
求：a
1 a
,
a2
1 a2
,
(a
1 a
)2
.
例4.已知a+b=7，ab=12，求
a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值
例5.已知 a
注意： 公式的逆用， 公式中各项 符号及系数。
学一学
例题解析 例2 （巧算）：计算：(1) 1022 ; (2) 1972 .
与 (x+1)(x2+mx+n)都相等, 求m.n
(2) 求使 (x2+px+8)(x2-3x+q)的积中 不含 x2与x3项 p、q的值
(3) 求证：x(x+a) =(x+a/2)2-a2/4
例5.计算
1997 19972 1998 1996
例6.已知x2-y2=8，x+y=4，求x与y的值 例7.化简(a+1)(a2+1)(a4+1)…(a2000+1)
2 3
a
2
2
9 b6 2a2b3 4 a4
4
9
(a-b)2 =(b-a)2
（2）（ - 3 x2y 1)2
2
4
解：原式= ( 3 x2y 1 )2
2
4
9 x4y2 3 x2y 1
4
4 16
(-a-b)2 =(a+b)2
你会了吗
1.(-x-y)2=
2.(-2a2+b)2=
完全平方公式：
例4. 运用乘法公式计算
(1) (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)
(2) (3a2+1/2b)(3a2-1/2b)(9a2-1/4b)2
(3). 1 y 2 1 x y 2 1 x2 2x2
2 2 2
练习
• (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)
拓展与迁移 (1) 若不论x取何值，多项式 x3-2x2- 4x-1
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
(a－b)２=a2－2ab+b2
平方差公式和完全平方公式统称为乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
它们有什么 区别？
(a－b)２=a2－2ab+b2
(3)
(
2 3
a2
+
3 2
b3)2
解：原式=
(
3 2
b3
2 3
a2)2
=(
3
b3
)2
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
算一算：
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2
求 a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值
例5:已知 a 1 1, a
求：a 2
1 a2
, a4
1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，
求x2+4y2-1的值
例7.已知 (a+b)2=4, (a-b)2=6, 求(1) a2+b2 (2) ab 的值
例8.已知a-b=2, ab=1, 求(a+b)2的值
(a-b)2 =(b-a)2 (-a-b)2 =(a+b)2
1.(-2x-y)2 =(2x+y)2
2.(-2a2+b)2 =(2a2 － b)2
3、公式的逆向使用； a2+2ab+ b2 =(a+b)2 a2－2ab+b2 =(a－b)2
4、解题时常用结论： (-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
解：原式= ( 3x2y + 1 )2 24
=
(
3
2 x2y)2+2×
3 2
x2y ×
1 4
1
+ 16
=
9 x4y2 + 4
3 4
x2y
+
1 16
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
要灵活运 用哦！
变式训练 比一比谁做的快？
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
-
3
2× b3
×
2
2
a2 + (
a2)2
2
2
3
3
=
9 4
b6
-
2
a2
b3+
4
9 a4
(-a+b)2 =(b-a)2 （口诀：首项为负换位置）
( 2
3
3
a2 + 2
b3)2 =
(
3 2
b3
-
2 3
a2)2
(4)(- 3 x2y - 1 )2 24
(-a-b)2 =(a+b)2 (口诀：两项为负都变正)
1
1a a2
4
，求
(2) a4
1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，求
x2+4y2-1的值
例2.已知b2=ac，求证： (a+b+c)(a-b+c)(a2-b2+c2)=a4+b4+c4
例3已知:若(z-x)2-4(x-y)(y-z) =0 求证: X-2y+z=0
简单应用
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
你能口答吗?
(1) (-3a+2b)2 ；
(2) (-4x- y)2 ;
完全平方公式 (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)2 = a2-2ab+b2
首平方， 尾平方， 2倍乘积在中央
终极提高
例4.已知a+b=7，ab=12，
2、比较下列各式之间的关系： (1) (-a -b)2 与(a+b)2
相等 (2) (a - b)2 、 (b - a)2 、
(-b +a)2 与(-a +b)2 相等
3、填空：公 a2+2ab+ b2 =(a+b)2
式的逆向使用；a2－2ab+b2 =(a－b)2
x2+2xy+y2=(x+y)2 x2+2x+1=( x+1)2 a2-4ab+4b2=( a-2b)2 x2-4x +4=( x-2 )2
解: (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2·(a+b)·c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
利用完全平方公式计算：
1012= 8.92=
1992=
例3 计算：
(1)
2 3
a2
3 2
b3
2
解：原式=
3 2
b3
完全平方公式 的图形理解
完全平方和公式：
b ab b²
(a+b)²
a a² ab
ab
(a b)2 a2+2ab+b2
完全平方公式 的图形理解
完全平方差公式：
b ab b²
a
a² ab
(a-b)²
ab
(a b)2 a2 ab ab b2
a2 2ab b2
议一议
如何计算 (a+b+c)2
能力提高
5. x
1 x
m, 则x2
1 x2
Biblioteka Baidu
____;
x
1 x
m, 则x2
1 x2
__;
6.
x
2
y
2
x
2
y
2
_____;
7.已知a2
3a
1
0,
求：a
1 a
,
a2
1 a2
,
(a
1 a
)2
.
例4.已知a+b=7，ab=12，求
a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值
例5.已知 a
注意： 公式的逆用， 公式中各项 符号及系数。
学一学
例题解析 例2 （巧算）：计算：(1) 1022 ; (2) 1972 .
与 (x+1)(x2+mx+n)都相等, 求m.n
(2) 求使 (x2+px+8)(x2-3x+q)的积中 不含 x2与x3项 p、q的值
(3) 求证：x(x+a) =(x+a/2)2-a2/4
例5.计算
1997 19972 1998 1996
例6.已知x2-y2=8，x+y=4，求x与y的值 例7.化简(a+1)(a2+1)(a4+1)…(a2000+1)
2 3
a
2
2
9 b6 2a2b3 4 a4
4
9
(a-b)2 =(b-a)2
（2）（ - 3 x2y 1)2
2
4
解：原式= ( 3 x2y 1 )2
2
4
9 x4y2 3 x2y 1
4
4 16
(-a-b)2 =(a+b)2
你会了吗
1.(-x-y)2=
2.(-2a2+b)2=
完全平方公式：
例4. 运用乘法公式计算
(1) (a+1)(a+3)(a+5)(a+7)
(2) (3a2+1/2b)(3a2-1/2b)(9a2-1/4b)2
(3). 1 y 2 1 x y 2 1 x2 2x2
2 2 2
练习
• (a+1)(a+2)(a+3)(a+4)
拓展与迁移 (1) 若不论x取何值，多项式 x3-2x2- 4x-1
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
(a－b)２=a2－2ab+b2
平方差公式和完全平方公式统称为乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a＋b)2=a2＋2ab+b2
它们有什么 区别？
(a－b)２=a2－2ab+b2
(3)
(
2 3
a2
+
3 2
b3)2
解：原式=
(
3 2
b3
2 3
a2)2
=(
3
b3
)2
复习提问：
1、多项式的乘法法则是什么？ 用一个多项式的每一项乘以另一个
多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b) (m+n) = am+an + bm+bn
算一算：
(a+b)2=(a+b) (a+b) = a2 +ab +ab +b2 = a2 +2ab+b2
(a-b)2 =(a-b) (a-b) = a2 - ab - ab +b2 = a2 - 2ab+b2
求 a2+b2 , a2-ab+b2 , (a-b)2 的值
例5:已知 a 1 1, a
求：a 2
1 a2
, a4
1 a4
例6.若x-2y=15，xy=-25，
求x2+4y2-1的值
例7.已知 (a+b)2=4, (a-b)2=6, 求(1) a2+b2 (2) ab 的值
例8.已知a-b=2, ab=1, 求(a+b)2的值
(a-b)2 =(b-a)2 (-a-b)2 =(a+b)2
1.(-2x-y)2 =(2x+y)2
2.(-2a2+b)2 =(2a2 － b)2
3、公式的逆向使用； a2+2ab+ b2 =(a+b)2 a2－2ab+b2 =(a－b)2
4、解题时常用结论： (-a-b)2 =(a+b)2 (a-b)2 =(b-a)2
解：原式= ( 3x2y + 1 )2 24
=
(
3
2 x2y)2+2×
3 2
x2y ×
1 4
1
+ 16
=
9 x4y2 + 4
3 4
x2y
+
1 16
(a+b)2 = a2+2ab+b2 (a–b)2 = a2 –2ab+b2
要灵活运 用哦！
变式训练 比一比谁做的快？
(1) (-a+3)2 ；
(2) (-m-n)2 ;
-
3
2× b3
×
2
2
a2 + (
a2)2
2
2
3
3
=
9 4
b6
-
2
a2
b3+
4
9 a4
(-a+b)2 =(b-a)2 （口诀：首项为负换位置）
( 2
3
3
a2 + 2
b3)2 =
(
3 2
b3
-
2 3
a2)2
(4)(- 3 x2y - 1 )2 24
(-a-b)2 =(a+b)2 (口诀：两项为负都变正)