北师大版九年级上册图形的相似

图形的相似专题一、 选择题 1.如图，正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，若，则下列结论正确的是( ) A. B. C.D.2.（2014·南京中考）若△ABC ∽△A ′B ′C ′,相似比为1∶2,则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积的比为（ ） A. 1∶2 B. 2∶1 C. 1∶4D. 4∶13.已知四条线段是成比例线段，即dcb a =，下列说法错误的是（ ）A ．B. b a d b c a =++C.d b c b d a -=- D ．2222d c b a = 4.已知：在△ABC 中，BC =10，BC 边上的高h =5，点E 在边AB 上，过点E 作EF ∥BC ，交AC 边于点F ，点D 为BC 边上一点，连接DE ，DF ，设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为（ ）5.若875cb a ==，且，则的值是（ ）A.14B.42C.7D.314 6.如图，已知//，//，分别交于点，则图中共有相似三角形（ ）A.4对B.5对C. 6对D.7对7.如图，在△中，∠的垂直平分线交的延长线于点，则的长为（ ）A. B. C.D.8.下列四第1题图FGHMNA B CDE组图形中，不是相似图形的是（ ）9.已知两个相似多边形的面积比是9︰16，其中较小多边形的周长为36 cm ，则较大多边形的周长为( )A.48 cmB.54 cmC.56 cmD.64 cm10.（2013·陕西中考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装裱手工画.下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形和矩形花边，其中每个图案花边的宽度都相同，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的 是（ ）二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ,23DE BC =,△ADE 的面积为8，则△ABC 的面积 . 12.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为_______，面积为________．13.将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ．14.若0234x y z ==≠，则23x y z+= .15.如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得AB =1.2 m ，BP =1.8 m ，PD =12 m ，那么该古城墙的高度是_____.16.已知五边形∽五边形A′B′C′D′E′，∠A=120°，∠B′=130°,∠C=105°,∠D′=85°,则∠E= .17.如图，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，∠AED=∠C,AB=6,AD=4,AC=5,则_______．18.如图，△三个顶点的坐标分别为，以原点为位似中心，将△缩小，位似比为，则线段的中点变换后对应点的坐标为_________.三、解答题19.如图，在边长为1个长度单位的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC∆（顶点是网格线的交点）.（1）将ABC∆向上平移3个单位得到111A B C∆，请画出111A B C∆；（2）请画出一个格点222A B C∆，使222A B C∆∽ABC∆，且相似比不为1.20.已知：如图，在△中，∥，点在边上，与相交于点，且∠．求证：（1）△∽△；（2）B CAD EFG第20题图21.（8分）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：ABE DEF△∽△；（2）若正方形的边长为4，求的长．22.（7分）如图，在6×8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点. X K b1.C m（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为12；（2）连接（1）中的AA′,求四边形AA′C′C的周长（结果保留根号）.23.（8分）已知：如图所示，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于点F，EG⊥AD于点G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．24.（8分）已知：如图，是上一点，∥，，分别交于点，∠1=∠2，探索线段之间的关系，并说明理由.A E DFB C G第21题图图形的相似专题参考答案1. B 解析：由正五边形是由正五边形经过位似变换得到的，知，所以选项B 正确.2.C 解析：根据相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质直接得出结果△ABC 与 △A ′B ′C ′的面积的比为1∶4.故选C.3.C 解析：由比例的基本性质知A 、B 、D 项都正确，C 项不正确.4.D 解析：由EF ∥BC 得到△AEF ∽△ABC ,所以EF h x BC h -=，即5105EF x-=，解得EF =10-2x ,则S =()2110252x x x x -=-+，即S 与x 的函数解析式25S x x=-+是二次函数,其中x 的取值范围是0<x <5,因此，只有选项D 符合题意. 5.D 解析：设x c b a ===875，则所以所以314. 6.C 解析：△∽△∽△∽△.7. B 解析：在△中，∠由勾股定理得因为所以25.又因为所以 △∽△所以BC BD AB BE =，所以625=⋅=BC AB BD BE ，所以673625=-.X|k | B| 1 . c |O |m 8.D 解析：根据相似图形的定义知，A 、B 、C 项都为相似图形，D 项中一个是等边三角形，一个是直角三角形，不是相似图形. 9. A 解析：两个相似多边形的面积比是9︰16，则相似比为3︰4，所以两图形的周长比为3︰4，即36︰48，故选A. 10.D 解析：选项A 中，将里面的三角形任意一条边向两边延长与外面三角形的两边相交，利用平行线的性质可以得到内、外两三角形两个角对应相等，因此两三角形相似；B 中，由于任意两个等边三角形相似，因此B 中两三角形相似；同理C 中两正方形相似；D 中内、外两矩形对应边不成比例，故两矩形不相似.11.18 解析：∵ DE ∥BC ,∴ △ABC ∽△ADE ，∴.94)(2==∆∆BC DE S S ABC ADE ∵ △ADE 的面积为8，∴,948=∆ABC S 解得ABC S ∆=18.12.90，270 解析：设另一三角形的其他两边长为由题意得，所以 又因为所以此三角形是直角三角形，所以周长为13.127或2 解析：设，由折叠的性质知，当△∽△时，CF B CB B 'F A =，∴ 443x x-=，解得127. 当△∽△时,CF B CA B 'F A =，∴ 433x x -=，解得.∴ 的长度是127或2. 14. 413解析：设234x y z k ===，则，，，∴ 23x y z +=491344k k k +=.15.8 解析：由反射角等于入射角知∠∠，所以△ ∽△所以DP CDBP AB =，所以128.12.1CD =，所以CD=8 m.16. 解析：因为五边形∽五边形所以.又因为五边形的内角和为所以. 17. 解析：在△和△中，∵, ,∴ △∽△. ∴∴ ∴.18.或解析：∵ （2，2），（6，4），∴ AC 中点坐标为（4，3）.又以原点为位似中心，将△缩小，位似比为，∴ 线段的中点变换后对应点的坐标为或.19.解：（1）作出如图所示. （2）本题是开放题，答案不唯一，只要222A B C ∆满足条件即可.第19题答图20.证明：（1）∵ ，∴ ∠．∵∥，∴，．111A B C ∆∴ ． ∵，∴ △∽△． （2）由△∽△，得EFDEDE DB =，∴ ． 由△∽△，得．∵ ∠∠，∴ △∽△．∴ DFDEDE DG =． ∴ ． ∴ EF DB DF DG ⋅=⋅． 21.（1）证明：在正方形中，︒=∠=∠90D A ，. ∵ ∴，∴DFAEDE AB =，∴ ABE DEF △∽△. （2）解：∵∴ 522422=+=BE .X|k | B| 1 . c| O |m又由（1）得，︒=∠+∠=∠+∠90DEF AEB ABE AEB ，∴ ︒=∠90BEG .由∥，得EBG AEB ∠=∠，∴ △∽△，∴ BGBE BE AE =，∴ . 22. 解：（1）如图. （2）四边形的周长=4+62.23.分析：通过观察可以知道四边形是正方形，的值与的值相等，从而可以求出的长；根据相似多边形的面积比等于相似比的平方可以求出四边形的面积.解:已知正方形ABCD ，且EF ⊥AB ，EG ⊥AD ,∴ EF ∥CB ，EG ∥DC .∴ 四边形AFEG 是平行四边形. ∵ ∠1=∠2=45°,∴ . 又∵ ∠，∴ 四边形AFEG 是正方形， ∴ 正方形ABCD ∽正方形AFEG ，∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =AB 2∶AF 2（相似多边形的面积比等于相似比的平方）. 在△ABC 中，EF ∥CB ,∴ AE ∶EC =AF ∶FB =2∶1. 又,∴ .∴ S 正方形ABCD ∶S 正方形AFEG =36∶16，∴ 36161636AFEG S ⨯==正方形.24.解：. 理由如下： ∵ ∠∠，∴ . 又∵ ∴ △∽△EF DB DE ⋅=2DF DG DE ⋅=2DEF ABE ∠=∠102==AE BE BG∴BFFGEF BF，即.。