1 数学建模的概念和方法PPT课件
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• 一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到 乙顺水航行要30 小时，从乙到甲逆水航行要50 小 时，问船速、水速是多少？
解：设x为船速，y为水速，有
(x + y) 30 = 750
(x - y) 50 = 750 解之 x = 20 ，y = 5.
几个相关的概念
• 原型 : 人们在现实世界中关心、研究、或从事生 产、管理的实际对象.
教 师： 冯 弢 办公室： 机械楼 N202 Email :
1. 数学建模的概念和步骤
1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5 . 数学建模竞赛介绍
Hale Waihona Puke Baidu
1.1 数学建模的概念
• 数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去 解决实际问题.
• 3、地面相对平坦，椅子放在地面上总至少可 以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关 系的假设）
模型构成:
• 首先 用变量表示“椅子的位置”.
✓正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改 变，于是可以用旋转角度这一变量表示“椅子 的位置”.
图中A、B、C、D为椅子的
四只脚，坐标系原点选为椅 子中心，坐标轴选为其对角 C 线.
• 美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学 组队参加，因此，在某种意义上它已经是国际 赛事了.
数学建模竞赛宗旨
通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学 理论和方法、利用文献、计算机等工具分析 和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加 课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术 氛围，培养学生的创新思维，合作精神. 促 进学科交叉.
把椅子往不平的地面上一放，通常 只有三只脚着地，放不稳，然而只 需稍挪动几次，就 可以使四只脚同 时着地，放稳了. 使用数学的语言，解释这种现象！
模型假设:
• 1、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与 地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方 形 (对椅子的假设)
• 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不 出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面 可视为数学上的连续曲面 (对地面的假设)
现实对象信息
建模的目的
是解决实际
问题, 实践
验
是检验模型
证
好坏的唯一
标准
基于合理的假设 通过数学语言来 “描述实际现象” “近似实际问题”
现实对象的解答
解释
数学模型 求演 解绎
数学模型的解答
1.2 数学建模的步骤
• 另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只， 已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多少 只鸡和多少只兔？ 解：设笼中有鸡x只，有兔y只，有 x+y=8 2x + 4y = 22 解之 x = 5 ，y = 3.
1.5 数学建模竞赛介绍
• 1983年，美国一些有识之士探讨组织一项应 用数学方面的竞赛的可能性. 经过论证、争论、 争取资金等过程，1985年举行了美国第一届 大学生数学建模竞赛, 它由美国工业与应用数 学学会和美国运筹学学会联合主办.
• 从1985年起，每年举行一届，时间定为每年 的二月的某个星期五到星期一举行.
2）按时间变化对模型的影响分：
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分: 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等.
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分: 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等.
• 模型 : 为了某个特定的目的，将原型的某一部分 信息进行简化、提炼而构成的原型替代物.
• 模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思 维模型、数学模型等.
• 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成， 描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法
• 注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解.
现实对象与数学模型的关系
B A
D
模型构成:
• 其次 要用数学符号表示“椅脚着地”.
✓ 椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同， 所以这个距离是椅子位置变量 的函数.
• 虽然椅子有四只脚，因而 有四个不同的距离，但由
于正方形的对称性，只要 设两个距离就行了.
• 记 f()为A、C两脚与地
C
面的距离之和；
B A
• g()为B、D两脚与地面
将椅子旋转90°使得对角线AC与BD互换,
有 f(/2) =0， g(/2) >0,
因此 ， h(/2) <0
B
由于h()是闭区间[0, /2] C 上的连续函数，必存在
A
0 (0, /2), 使h(0)=0，
即存在0, 使f(0) = g(0)=0.
D
1.4 数学模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
B A
D
数学命题 (本问题的数学模型):
已知f()、 g()都是关于的非负连续函数,如 果对任意的，都有 f() g() = 0，且f(0) >0、 g(0) = 0 ，则存在0，使f(0) = g(0) = 0.
B
C
A
D
模型求解:
证明：令h() = f() - g(),
由 f(0)>0， g(0)=0 ，有h(0) >0.
5）按建模目的分:
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等.
6）按对模型结构的了解程度分:
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等.
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等.
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等.
数学建模的步骤：
• 根据问题的背景和建模的目的做出假设 • 用字母表示要求的未知量 • 根据已知的常识列出数学式或图形等 • 求出数学式子的解答 • 验证所得结果的正确性
数学建模的步骤：
模型准备 模型假设 模型构成
模型验证 模型分析 模型求解
模型应用
1.3 一个数学建模实例
椅子能在不平的地面上放稳吗？
D
的距离之和.
模型构成:
f()： A、C两脚与地面的距离之和； g()：B、D两脚与地面的距离之和.
• f()0、 g()0，都是的 连续函数 (由假设2)
• 对任意，有f()、 g()中 至少有一个为0 (由假设3)
• 不妨设当 = 0时，f()>0、
g()=0
C
• 故此本问题归为证明如下 数学命题：
解：设x为船速，y为水速，有
(x + y) 30 = 750
(x - y) 50 = 750 解之 x = 20 ，y = 5.
几个相关的概念
• 原型 : 人们在现实世界中关心、研究、或从事生 产、管理的实际对象.
教 师： 冯 弢 办公室： 机械楼 N202 Email :
1. 数学建模的概念和步骤
1.1. 数学建模的概念 1.2. 数学建模的步骤 1.3. 一个数学建模实例 1.4. 数学模型的分类 1.5 . 数学建模竞赛介绍
Hale Waihona Puke Baidu
1.1 数学建模的概念
• 数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去 解决实际问题.
• 3、地面相对平坦，椅子放在地面上总至少可 以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关 系的假设）
模型构成:
• 首先 用变量表示“椅子的位置”.
✓正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改 变，于是可以用旋转角度这一变量表示“椅子 的位置”.
图中A、B、C、D为椅子的
四只脚，坐标系原点选为椅 子中心，坐标轴选为其对角 C 线.
• 美国大学生数学建模竞赛欢迎其他国家的大学 组队参加，因此，在某种意义上它已经是国际 赛事了.
数学建模竞赛宗旨
通过数学建模竞赛活动，提高学生运用数学 理论和方法、利用文献、计算机等工具分析 和解决实际问题的能力，鼓励学生踊跃参加 课外科技活动，开拓知识面，丰富校园学术 氛围，培养学生的创新思维，合作精神. 促 进学科交叉.
把椅子往不平的地面上一放，通常 只有三只脚着地，放不稳，然而只 需稍挪动几次，就 可以使四只脚同 时着地，放稳了. 使用数学的语言，解释这种现象！
模型假设:
• 1、椅子有四条腿且四条腿一样长，椅子脚与 地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方 形 (对椅子的假设)
• 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不 出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面 可视为数学上的连续曲面 (对地面的假设)
现实对象信息
建模的目的
是解决实际
问题, 实践
验
是检验模型
证
好坏的唯一
标准
基于合理的假设 通过数学语言来 “描述实际现象” “近似实际问题”
现实对象的解答
解释
数学模型 求演 解绎
数学模型的解答
1.2 数学建模的步骤
• 另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只， 已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多少 只鸡和多少只兔？ 解：设笼中有鸡x只，有兔y只，有 x+y=8 2x + 4y = 22 解之 x = 5 ，y = 3.
1.5 数学建模竞赛介绍
• 1983年，美国一些有识之士探讨组织一项应 用数学方面的竞赛的可能性. 经过论证、争论、 争取资金等过程，1985年举行了美国第一届 大学生数学建模竞赛, 它由美国工业与应用数 学学会和美国运筹学学会联合主办.
• 从1985年起，每年举行一届，时间定为每年 的二月的某个星期五到星期一举行.
2）按时间变化对模型的影响分：
静态模型 动态模型
参数定常模型 参数时变模型
3）按模型的应用领域（或所属学科）分: 人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、 水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、 生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、 数量经济学模型、数学社会学模型等.
4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分: 初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、 图论模型、马氏链模型、运筹学模型等.
• 模型 : 为了某个特定的目的，将原型的某一部分 信息进行简化、提炼而构成的原型替代物.
• 模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思 维模型、数学模型等.
• 数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成， 描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法
• 注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解.
现实对象与数学模型的关系
B A
D
模型构成:
• 其次 要用数学符号表示“椅脚着地”.
✓ 椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离不同， 所以这个距离是椅子位置变量 的函数.
• 虽然椅子有四只脚，因而 有四个不同的距离，但由
于正方形的对称性，只要 设两个距离就行了.
• 记 f()为A、C两脚与地
C
面的距离之和；
B A
• g()为B、D两脚与地面
将椅子旋转90°使得对角线AC与BD互换,
有 f(/2) =0， g(/2) >0,
因此 ， h(/2) <0
B
由于h()是闭区间[0, /2] C 上的连续函数，必存在
A
0 (0, /2), 使h(0)=0，
即存在0, 使f(0) = g(0)=0.
D
1.4 数学模型的分类
1）按变量的性质分： 离散模型 确定性模型 线性模型 单变量模型 连续模型 随机性模型 非线性模型 多变量模型
B A
D
数学命题 (本问题的数学模型):
已知f()、 g()都是关于的非负连续函数,如 果对任意的，都有 f() g() = 0，且f(0) >0、 g(0) = 0 ，则存在0，使f(0) = g(0) = 0.
B
C
A
D
模型求解:
证明：令h() = f() - g(),
由 f(0)>0， g(0)=0 ，有h(0) >0.
5）按建模目的分:
描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、
决策模型、控制模型等.
6）按对模型结构的了解程度分:
白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问题，包括 力学、热学、电学等.
灰箱模型：其内在机理尚不十分清楚的现象和问题， 包括生态、气象、经济、交通等.
黑箱模型：其内在机理（数量关系）很不清楚的现 象，如生命科学、社会科学等.
数学建模的步骤：
• 根据问题的背景和建模的目的做出假设 • 用字母表示要求的未知量 • 根据已知的常识列出数学式或图形等 • 求出数学式子的解答 • 验证所得结果的正确性
数学建模的步骤：
模型准备 模型假设 模型构成
模型验证 模型分析 模型求解
模型应用
1.3 一个数学建模实例
椅子能在不平的地面上放稳吗？
D
的距离之和.
模型构成:
f()： A、C两脚与地面的距离之和； g()：B、D两脚与地面的距离之和.
• f()0、 g()0，都是的 连续函数 (由假设2)
• 对任意，有f()、 g()中 至少有一个为0 (由假设3)
• 不妨设当 = 0时，f()>0、
g()=0
C
• 故此本问题归为证明如下 数学命题：