《三角形的内切圆》专题练习

《三角形的内切圆》专题练习

一、选择题

1．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（）

A．130°B．60°C．70°D．80°

2．下列图形中一定有内切圆的四边形是（）

A．梯形B．菱形C．矩形D．平行四边形

3．如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，•连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（）A．45°B．55°C．65°D．70°

二、填空题

1．一个直角三角形的两条直角边长分别为6、8，则它的内切圆半径为。

2．一个等边三角形的边长为4，则它的内切圆半径为。

3．在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，则它的内切圆半径为。

4．顶角为120°的等腰三角形的腰长为4cm，则它的内切圆半径为。

三、解答下列各题

1．如图，⊙O分别切△ABC的三条边AB、BC、CA于点D、E、F、若AB＝7，AC＝5，BC＝6，求AD、BE、CF的长。

2．如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、AB 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，

⑴探求∠EDF 与∠A 的度数关系。

⑵连结EF ，△EDF 按角分类属于什么三角形。

⑶I 是△EDF 的内心还是外心？

3．如图，Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，圆O 与圆M 外切，圆O 与线段AC 、线段BC 、线段AB 相切于点E 、D 、F ，圆M

与线段AC 、线段BC 都相切，其中AB ＝5，BC ＝12。求：

（1）圆O 的半径r ；

（2）2

tan

C ； （3）2sin C ； （4）圆M 的半径M r 。

4．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。

5．已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8。

（Ⅰ）如图①，若半径为r1的⊙O1是Rt△ABC的内切圆，求r1；

（Ⅱ）如图②，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切，且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、AB相切，求r2；

（Ⅲ）如图③，当n大于2的正整数时，若半径r n的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙O n依次外切，且⊙O1与AC、BC相切，⊙O n与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、⊙O3、…、⊙O n-1均与AB边相切，求r n。

《三角形的内切圆》专题练习答案

一、选择题

1．D ； 2．B ； 3．B 。

二、填空题

1．2； 2．332； 3．3

4； 4．(634 )cm 。 三、解答下列各题

1．AD ＝3、BE ＝4、CF ＝2。

2．⑴∠EDF ＝90°－1∠A ；⑵△EDF 是锐角三角形；⑶I 是△EDF 的外心。

3．解：（1）如图1， ∵∠B ＝90°，c ＝5，a ＝12，

∴b ＝13。r ＝22

135122=-+=-+b c a 。 （2）在图2中，连接CO 、OD ，

∵圆O 内切于三角形ABC ，

∴CO 平分∠ACB ，∠CDO ＝90°。

512122tan =-==

∠CD r DCO 。 （3）26

261022sin 22=+==∠OC r DCO 。 （4）∵圆M 与圆O 、线段AC 、线段BC 都相切， 过点M 作MH ⊥OD ，如图3，

∴MH ∥CD ，

∴∠OMH ＝∠DCO 。

∴26

26sin sin =∠==∠DCO OM OH OMH ， ∴2626=+-M M r r r r ，即26

2622=+-M M r r ， 解得2526454-=

M r 。

4．

解：设圆的半径是r ，将两圆圆心与已知的点连接。

∴根据勾股定理求得AB ＝5，

∴斜边上的高是：3×4÷5＝2.4。 ∴4321252224.2223⨯⨯=⨯++⨯-++r r r r r r ∴75=r 。 5．解：（I ）∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8

1022=+=∴BC AC AB

如图，设圆O 1与Rt △ABC 的边AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F 连接111111CO BO AO F O E O D O 、、、、、

于是，AC F O BC E O AB D O ⊥⊥⊥111，，

111321211r r AC F O AC S C AO =⋅=⋅=

∆ 111321211r r BC E O BC S C BO =⋅=⋅=

∆ 111521211r r AB D O AB S B AO =⋅=⋅=

∆ 242

1=⋅=∆BC AC S ABC 又B AO C BO C AO ABC S S S S 111∆∆∆∆++=Θ

11154324r r r ++=∴

21=∴r

（II ）如图，连接212121O O CO CO BO AO 、、、、，则

222242132121r r BC S r r AC S C BO C AO =⋅==⋅=

∆∆ ∵等圆圆O 1、圆O 2外切

2212r O O =∴，且AB O O //21

过点C 作CM ⊥AB 于点M ，交21O O 于点N ，则

22524524r r CM CN AB BC AC CM -=-==⋅=

22215242121r r CN O O S O CO ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=

∴∆ 2222)5()102(2121r r r r S B O AO +=+=∴梯形

B O AO O CO

C BO C AO ABC S S S S S 212121梯形+++=∆∆∆∆Θ

222222)5(5244324r r r r r r ++⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++=∴ 解得7102=r

（III ）如图，连接n n n O O CO CO BO AO 111、、、、，则 n n C AO r r AC S 3211=⋅=

∆ n n c BO r r BC S n 42

1=⋅=∆ ∵等圆圆O 1、圆O 2、…、圆O n 依次外切，且均与AB 边相切。

∴n O O O 、、

、Λ21均在直线n O O 1上，且AB O O n //1