微分方程建模
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程方法建模概述及举例
微分方程方法建模概述及举例微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于各个领域，特别是自然科学和工程学科中的建模问题。
本文将概述微分方程方法建模的基本思路，并通过举例说明其在实际问题中的应用。
1.问题抽象化：首先需要将实际问题抽象成一个或一组微分方程。
通过观察问题的物理过程和规律，了解问题中的变量、因果关系以及其演化过程。
将这些信息用数学语言表示出来，通常是通过建立数学模型来描述问题。
2.建立微分方程：基于问题的抽象化模型，我们可以建立相应的微分方程。
根据物理规律和描述问题演化的数学关系，确定方程中的变量、常数和系数。
对于复杂问题，可能需要引入附加的假设和近似，以简化问题求解。
3.求解微分方程：通过求解微分方程，可以得到问题的数学解。
求解方法包括解析解和数值解两种。
解析解通常是通过变量分离、常数变易、积分变换等方法，求得方程的具体解析形式。
数值解则是通过数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，近似计算出微分方程的解。
4.模型验证和分析：将求得的数学解与实际问题进行比较和分析，验证模型的有效性和准确性。
通过对模型进行敏感性分析和参数优化，对模型进行改进和完善。
现在我们来通过两个实际问题的建模例子，进一步说明微分方程方法的应用。
1.指数增长模型问题：假设一个生物种群遵循指数增长规律，种群数量在一段时间内以固定比率增加。
已知在初始时刻，种群数量为100只，经过3个小时后，种群数量增加到了1000只。
求解该问题。
解答：我们可以建立如下的微分方程模型:dy/dt = k * y其中，y表示种群数量，t表示时间，k为增长率。
根据已知条件，当t=0时，y=100；当t=3时，y=1000。
将这些条件代入微分方程，就可以求解得到k的值。
然后再根据k的值，求解出种群数量y随时间t的变化。
2.弹簧振动模型问题：一个弹簧系统在无外力作用下，其振动满足以下微分方程：m* d^2y/dt^2 = -k * y，其中m为弹簧的质量，k为弹簧的劲度系数。
《微分方程数学建模》课件
实际问题的转化
了解如何将实际问题转化为数学模型， 培养建模思维。
边界条件的确定
掌握边界条件的重要性，学会确定合适 的边界条件来求解微分方程。
数学建模实例
弹性材料的振动问题
通过建立微分方程模型，分析弹 性材料的振动特性和共振现象。
传染病传播模型
运用微分方程建模技巧，研究传 染病在人群中的传播规律和防控 策略。
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微分方程数学建模简介
微分方程简述
了解微分方程的基本概念和定义，掌握它在数学建模中的核心作用。
微分方程的应用和意义
探索微分方程在科学、工程和社会问题中的广泛应用，体会它的重要性。
4 高阶线性微分方程
探讨高阶线性微分方程的常见形式和特殊解 法，拓宽解题思路。
5 常系数齐次线性微分方程
学习处理常系数齐次线性微分方程的技巧和 常见应用场景。
建立微分方程模型
1
变量的择和定义
2
学习选择和定义适当的变量来建立准确
和有效的微分方程模型。
3
模型的求解方法
4
了解常见微分方程模型的解法，探索解 析和数值解的求解技巧。
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网络资源
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城市汽车拥堵问题的建模
通过建立微分方程模型，解析城 市交通拥堵的成因和调控方案。
总结
1 微分方程数学建模的重要性
总结微分方程在解决实际问题中的重要作用和应用前景。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
一阶微分方程及其建模方法课件
微分方程的解为 ( y x)2 Cy( y 2x)3 .
3、一阶线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P( x) y Q( x) dx
当Q( x) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x) 0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2 , dx x sin t t 2 , 线性的;
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类2:
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0, y f ( x, y);
高阶(n)微分方程 F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
( x ux cos u)dx x cos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
微分方程的解为 sin y ln x C . x
例2
求解微分方程
x2
dx xy
y2
dy 2y2
. xy
解
dy dx
2y2 x2 xy
xy y2
g( y)dy f ( x)dx 可分离变量的微分方程.
例如 dy
4
2x2 y5
4
y 5dy
2 x2dx,
dx
解法 设函数g( y)和 f ( x)是连续的,
g( y)dy f ( x)dx
分离变量法
设函数G( y)和F ( x)是依次为g( y) 和 f ( x) 的原函
数, G( y) F ( x) C 为微分方程的解.
dx
dt
yy 2xy 3, y cos y 1, 非线性的.
随机微分方程建模及计算方法探究
随机微分方程建模及计算方法探究微分方程是数学中的一个重要分支，也是用于描述自然和社会现象中变化规律的数学工具。
随机微分方程是对微分方程进行扩展，考虑了随机变量的影响，使得模型更符合现实情况。
本文将介绍随机微分方程的基本概念和建模方法，并探究其计算方法。
首先，我们来了解一下随机微分方程的基本概念。
随机微分方程是一种包含随机变量的微分方程。
通常情况下，它可以表示为：dX(t) = f(X(t), t)dt + g(X(t), t)dW(t)其中，X(t)为随机过程，f(X(t), t)和g(X(t), t)为已知函数，dW(t)表示维纳过程（一种连续时间的随机过程）。
这个方程的意义是在给定初始条件X(t0)=X0的情况下，描述随机过程X(t)的变化规律。
接下来，我们将介绍随机微分方程的建模方法。
建模的关键是确定f(X(t), t)和g(X(t), t)函数的形式。
这一步通常需要根据具体问题的背景和需求进行选择。
一种常见的方法是利用统计数据分析来估计这两个函数，通过拟合实际观测值来确定参数。
另一种方法是利用经验公式或物理定律来确定函数的形式。
无论采用哪种方法，都需要综合考虑模型的可解性和适用性。
随机微分方程的计算方法包括数值解和解析解。
数值解是通过数值计算方法求取近似解，常用的方法有欧拉方法、改进的欧拉方法、隐式方法等。
这些方法的思想都是将微分方程离散化，得到差分方程，然后通过迭代计算逼近真实解。
数值解的优点是计算过程简单，并且可以适用于各种复杂模型。
然而，数值解也存在精度问题，需要适当选择步长和算法以减小误差。
解析解是通过数学方法求取精确解，通常需要利用一些特殊的函数或变换来求解。
然而，由于随机微分方程的复杂性，很多情况下无法得到解析解。
即使得到解析解，由于随机变量的存在，也很难直观地解释和应用。
因此，在实际应用中，数值解往往更为常用。
随机微分方程的计算方法的选择要根据具体问题的需求和背景来决定。
如果需要精确解或者对模型的解释性有要求，可以尝试解析解。
微分方程在数学建模中的应用
微分方程在数学建模中有广泛的应用，具体如下：
1.微分方程可以描述现实世界的变化，揭示实际事物内在的动态关
系。
2.微分方程可以建立纯数学（特别是几何）模型。
3.微分方程可以建立物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型。
4.微分方程可以建立航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型。
5.微分方程可以建立考古（鉴定文物年代）模型。
6.微分方程可以建立交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）
模型。
7.微分方程可以建立生态（人口、种群数量）模型。
8.微分方程可以建立环境（污染）模型。
9.微分方程可以建立资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运
输调度、工业生产管理）模型。
10.微分方程可以建立生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环
系统）模型。
11.微分方程可以建立医学（流行病、传染病问题）模型。
12.微分方程可以建立经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周
期性危机）模型。
13.微分方程可以建立战争（正规战、游击战）模型。
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程在生态系统建模中的应用
微分方程在生态系统建模中的应用生态系统是由各种生物和非生物组成的复杂系统，其中包含了许多相互作用的因素和过程。
研究生态系统的行为和动态变化是生态学的核心内容之一。
微分方程作为数学工具在生态系统的建模和分析中发挥了重要的作用。
本文将介绍微分方程在生态系统建模中的应用，并通过具体的案例来说明其实用性。
一、物种种群的动态模型生态系统中的物种种群数量随时间的推移会发生变化，这种变化可以用微分方程进行建模。
以单一种群为例，假设它的增长率与种群数量成正比，可以得到如下微分方程：$\frac{dN}{dt} = rN$其中，$N$表示种群数量，$t$表示时间，$r$表示增长率。
这个方程描述了种群数量随时间的变化规律。
解这个微分方程可以得到种群数量随时间的函数关系，进而可以预测未来的种群数量。
二、捕食者-猎物模型捕食者-猎物关系是生态系统中常见的相互作用方式之一。
通过微分方程可以建立捕食者和猎物之间数量的动态模型。
以Lotka-Volterra模型为例，捕食者种群数量的变化与猎物种群数量有关，可以得到如下微分方程组：$\frac{dN}{dt} = rN - \beta N P$$\frac{dP}{dt} = -\gamma P + \delta \beta N P$其中，$N$表示猎物种群数量，$P$表示捕食者种群数量，$r$表示猎物的增长率，$\beta$表示捕食者一次能够捕食的猎物数量，$\gamma$表示捕食者的死亡率，$\delta$表示每被捕食者提供给捕食者的营养价值。
这个方程组描述了捕食者和猎物之间的相互作用，可以通过解方程组来研究它们的数量随时间的变化规律。
三、环境因素的影响微分方程还可以用来描述环境因素对生态系统的影响。
以Malthus 模型为例，假设环境因素对物种种群数量的增长有限制作用，可以得到如下微分方程：$\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K})$其中，$N$表示种群数量，$t$表示时间，$r$表示种群的增长率，$K$表示环境的承载力，即生态系统所能支持的最大种群数量。
数学建模中的微分方程及其应用研究
数学建模中的微分方程及其应用研究随着科技的不断发展，数学建模已经成为了一个不可或缺的工具。
数学建模是指将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法来预测和解决问题。
微分方程是数学建模中的关键工具之一。
在本文中，我将介绍微分方程在数学建模中的重要性以及其应用研究。
一、微分方程的定义和分类微分方程是描述一个或多个未知函数及其导数之间关系的方程，通常用来描述自然现象。
微分方程可以分为常微分方程和偏微分方程两种。
常微分方程是指只涉及一个自变量的导数的方程，例如：$\frac{dy}{dx}= f(x,y)$偏微分方程是指涉及多个自变量的导数的方程，例如：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$二、微分方程在数学建模中的重要性微分方程在数学建模中有着广泛的应用。
它可以用来研究自然现象中的变化关系，例如物理学中的运动规律、化学中的反应过程，甚至是医学中的疾病治疗。
通过微分方程的求解，我们可以得到有关系统的重要信息，比如系统的稳定性、解的性质、系统的动态行为等等。
三、常微分方程在数学建模中的应用常微分方程是数学建模中最常见的工具之一。
在数学建模中，解决一个常微分方程通常需要以下步骤：1. 根据问题描述建立数学模型。
2. 对模型中的常微分方程进行求解。
3. 通过解析解或数值解来得到所需的结果。
以下是常微分方程在数学建模中的一些应用：1. 表示天体运动的牛顿运动定律。
牛顿运动定律可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -G\frac{Mm}{r^2}$其中，$m$ 是天体的质量，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是天体和太阳之间的距离，$G$ 是万有引力常数，$x$ 是天体相对太阳的位置。
通过求解这个方程，我们可以得到天体的运动轨迹。
2. 描述弹簧振动的简谐运动。
弹簧振动可以用一个常微分方程来描述：$m\frac{d^2x}{dt^2}= -kx$其中，$m$ 是弹簧质量，$k$ 是弹簧的弹性系数，$x$ 是弹簧相对平衡位置的偏移量。
微分方程模型
r0
r0
x(t ) x0
x(t ) 0
人口将始终保持不变！ 人口将按指数规律减少直 至绝灭！
2 T ln r
人口倍增时间
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测美国人口
Malthus模型预测的优缺点
优点 缺点 原因 短期预报比较 准确 不适合中长期预报 预报时假设人口增长率 r 为常数。没有考虑环 境对人口增长的制约作用。
机动
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结束
医学(流行病,传染病问题)模型,经济(商业销 售,财富分布,资本主义经济周期性危机)模 型,战争(正规战,游击战)模型等。 下面,我们给出如何利用方程知识建立 数学模型的几种方法。
机动
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结束
1.利用题目本身给出的或隐含的等量 关系建立微分方程模型。这就需要我们仔 细分析题目,明确题意,找出其中的等量关 系,建立数学模型。 2.从一些已知的基本定律或基本公式出 发建立微分方程模型.我们要熟悉一些常用 的基本定律,基本公式.例如力学中的牛顿第 二运动定律，电学中的基尔霍夫定律等.从 这些知识出发我们可以建立相应的微分方 程模型。
到t t时刻, 除去死亡的人外 , 活着的都变成了
r dr1 , r dr dr1 区间内的人, t t时刻年龄在
即p(r dr 1 , t dt) dr.这里dr 1 dt.
而在这段时间內死去的 人数为 r , t pr , t drdt, 它们之间的关系为 : pr , t dr pr dr 1 , t dt dr r , t p r , t drdt r , t pr , t drdt
数学建模中的微分方程求解
数学建模中的微分方程求解数学建模是将真实世界中的问题抽象成数学模型，利用数学方法求解并得出结论的过程。
微分方程作为数学建模中最常用的数学工具之一，广泛应用于物理、生物、工程等领域，成为数学建模不可或缺的一部分。
本文将着重介绍微分方程在数学建模中的求解方法以及常见的数学模型。
一、常见的微分方程求解方法(一) 分离变量法分离变量法是最基本的微分方程求解方法之一。
对于形如$ \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) $的一阶微分方程，我们可以将其分离为$ \frac{dy}{g(y)} = f(x) dx $，进而求解出$ y $的解析解。
例如，对于简单的一阶线性微分方程$ \frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x) $，我们可以将其写成$ \frac{dy}{dx} = -p(x)y + q(x) $，然后将$ y $和$ x $分隔开来，即$ \frac{dy}{-p(x)y+q(x)} = dx $，最后将分子和分母积分得到$ y $的解析解。
但是，在实际问题中的微分方程很难一步到位地完成分离变量，需要结合其他的方法。
(二) 特解法特解法是一种特殊的微分方程求解方法，它适用于某些特殊的微分方程。
特解法的思想是先猜出通解的一部分，然后再根据该猜测解答出剩余的部分，得到最终的通解。
例如，对于形如$ y'' + ay' + by = f(x) $的二阶非齐次微分方程，我们可以先猜测一个特解$ y_p $，然后再求出方程的通解$ y = y_c + y_p $，其中$ y_c $是齐次方程的通解。
特解法在实际问题中应用广泛，但对特定问题的适用性并不一定好。
(三) 变量代换法变量代换法是另一种常见的微分方程求解方法，它常用于解决高阶微分方程或无法通过分离变量法解决的微分方程。
变量代换法的思想是将微分方程通过变量代换转化为可分离变量或一阶线性微分方程的形式。
例如，对于形如$ y'' + py' + qy = 0 $的二阶齐次微分方程，我们可以通过变量代换$ z = y' $，将其转化为一阶线性微分方程。
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
常微分方程建模方法
常微分方程建模方法常微分方程建模方法可以分为定性分析和定量分析两个阶段。
定性分析是通过分析问题的物理背景和现象特征，确定微分方程的类型和形式。
而定量分析则是通过对微分方程进行求解，得到具体的解析解或数值解，来揭示问题的本质。
1.理解问题背景：了解问题的物理背景、现象特征、变量之间的关系等，分析问题的要素和限制条件。
2.建立数学模型：根据问题的特征和变量关系，建立微分方程模型。
通常可以利用物理定律、守恒定律、动力学方程等来描述问题的变化规律。
3.确定初始条件和边界条件：对于初值问题，需要确定初始条件；对于边值问题，需要确定边界条件。
这些条件是求解微分方程的前提。
4.分析微分方程：对建立的微分方程进行分析，研究方程的特性和性质。
可以利用变量分离、线性化、换元等方法来化简和求解方程。
5.求解微分方程：根据微分方程的类型和性质，选择合适的求解方法。
可以将高阶微分方程化简为一阶微分方程，然后利用解析解或数值解的方法求解。
6.模型验证和优化：对求解得到的解析解或数值解进行验证，检验模型的合理性和准确性。
如果模型不准确，需要进行调整和优化。
7.结果解释和应用：根据求解得到的结果，解释模型的含义和意义，并将模型应用到实际问题中，得出结论和预测。
常微分方程建模方法可以应用于各个领域，如物理学、生物学、工程学、经济学等。
例如，通过建立流体力学方程，可以研究流体的流动和扩散过程；通过建立生态学方程，可以研究生物种群的数量和分布变化；通过建立经济学方程，可以研究经济增长和波动。
总之，常微分方程建模方法是将实际问题抽象成数学模型的过程，通过求解微分方程来揭示问题的本质和规律。
建模过程需要充分理解问题的背景和特征，合理选择合适的数学工具和求解方法，最终得到有实际应用价值的结论和预测。
微分方程在建模中的应用
微分方程在建模中的应用
微分方程是数学中重要的一个分支，主要研究变化率与未知量之
间的关系，并且在各个领域都有着广泛的应用。
在工程、物理、金融
等领域，微分方程都是重要的建模工具。
本文将从应用情况、建模步
骤和应用案例三个方面，介绍微分方程在建模中的应用。
一、应用情况
建模中经常遇到的问题一般都与时间、位置、质量等变量有关，
而微分方程正是研究这些变量随时间和位置变化的函数关系的基本工具。
因此，在建模过程中，微分方程被广泛应用在模拟复杂现象、预
测未来演变趋势、决策策略优化等方面。
二、建模步骤
建模的第一步是寻找建模对象，即寻找与问题相关的变量，然后
确定它们之间的关系。
接着，根据问题的特点选择不同的微分方程类型，例如常微分方程、偏微分方程、随机微分方程等。
然后进行求解，得到模型中的参数或者预测模型的表现。
三、应用案例
以物理学中的自由落体为例，将小球的高度表示为时间的函数
$h(t)$，依据万有引力定律和牛顿力学，可以得到微分方程
$\frac{d^2h(t)}{dt^2}=-g$，其中$g$表示重力加速度。
通过求解该
方程，可以得到自由落体运动的轨迹和速度。
同样的，微分方程也可
以应用在pid控制系统中、燃料经济性优化等方面。
总之，微分方程是建模中常用的工具，在系统分析、预测、演化
等方面发挥了重要作用。
对于建模者而言，掌握微分方程的知识和技
能可以强化其分析问题的能力，并提高其在建模领域的竞争力。
精品课件资料数学建模第四章(1)(微分方程)
limW
t
(t
)
0．要导致死亡．
3. 只吃不活动也不行，因为这时b=0，W (t) W0 at, limW (t) . 说明要得肥胖症，很危险，也要导致
t
死亡（当然体重不会无限变大）．
4. 举重运动员控制体重数学问题：已知 W0，要
达到的值为 W1 ，其期限为t，求a，b的最佳组合，
使
W1
a b
即少吃，可以控制体重的增加（少吃热量大的食 物，如糖、冰淇淋等）
(2)增大 b C . 即增加运动量可减轻体重．
D
反之，通过增大 a 或减小b 可达增肥目的．即 “多吃少动，易肥胖”．
美国养牛场作法：安装电网，使牛不动，来增肥．
2. 只吃维持生命所需的那部分新陈代谢的热量是不
行的，因为A=B使得a=0，
V[x(t t) x(t)] (Km r)t
t t
Kx(s)ds
t
x(0) x0
于是，令 t 0 得
dx a bx, t 0 dt
x(0) x0
其中，a Km r ,b K 解为
V
V
x(t)
a b
(x0
a )ebt b
Km
r
x0
(Km
r)
Kt
eV
K
K
这就是t时刻空气中含CO2的百分比。 通常
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体 放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正 比于T与周围介质的温度差.
分析：假设房间足够大，放入温度较低或较 高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温 分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律是一个 相当好的近似．
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
微分方程的建模与求解方法
微分方程的建模与求解方法微分方程是数学中的重要概念，它描述了自然界和社会现象中许多变化的规律。
微分方程的建模与求解方法是应用数学的重要组成部分，它在工程、物理、生物等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍微分方程的建模过程以及常见的求解方法。
一、微分方程的建模过程微分方程的建模过程是将实际问题转化为数学模型的过程。
它包括以下几个步骤：1. 确定问题的变量和参数：在建模过程中，首先需要确定问题中涉及的变量和参数。
变量是问题中需要研究的物理量，参数是与变量相关的常数。
2. 建立数学模型：根据问题的特点和要求，选择合适的数学模型。
常见的数学模型包括常微分方程、偏微分方程、差分方程等。
3. 建立微分方程：根据问题的物理规律和数学模型，建立微分方程。
微分方程描述了变量之间的关系，它可以是一阶、二阶或更高阶的。
4. 添加初始条件和边界条件：为了求解微分方程，需要添加初始条件和边界条件。
初始条件是在某一时刻变量的已知值，边界条件是在空间范围内变量的已知值。
5. 求解微分方程：通过数学方法求解微分方程，得到问题的解析解或数值解。
常见的求解方法包括分离变量法、变换法、级数法、数值方法等。
二、微分方程的求解方法微分方程的求解方法有多种，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 分离变量法：适用于可分离变量的一阶微分方程。
通过将变量分离到方程两边，再进行积分，得到方程的解。
2. 变换法：适用于具有特殊形式的微分方程。
通过进行变换，将原方程转化为更简单的形式，再进行求解。
3. 级数法：适用于无法直接求解的微分方程。
通过将解表示为级数形式，再逐项求解，得到方程的解。
4. 数值方法：适用于无法求得解析解的微分方程。
通过数值计算的方法，近似求解微分方程，得到数值解。
5. 特殊函数法：适用于具有特殊函数解的微分方程。
通过利用特殊函数的性质，求解微分方程。
以上是常见的微分方程求解方法，不同的方法适用于不同类型的微分方程。
在实际问题中，常常需要结合多种方法进行求解，以获得更精确的结果。
微分方程建模
的数学模型为
vR g， r
（6.3）
取 R 6400km，r R 600km，代入上式，得 v 7.6km/s，
即要把卫星送入离地面 600km 高的轨道，火箭 的末速度最低应为 7.6km/s。
2 火箭推进力及升空速度
火箭的简单模型是由一台发动机和一个燃料仓组 成。燃料燃烧产生大量气体从火箭末端喷出，给火箭一 个向前的推力。火箭飞行要受地球引力、空气阻力、地 球自转与公转等的影响，使火箭升空后作曲线运动。为 使问题简化，假设
设地球半径为 R，质量为 M ；卫星轨道半径为r ，
卫星质量为 m 。
根据假设（2）和（3），卫星只受到地球的引力，
由牛顿万有引力定律可知其引力大小为
F
GMm r2
，
其中G 为引力常数。
（6.1）
为消去常数G ，把卫星放在地球表面，则由（6.1）
式得
mg
GMm R2
再代入（6.1）式，得
或 GM R2g，
由上式可得理想火箭的数学模型为
m(t) dv(t) (1 ) dm u，
dt
dt
及
解之得
v(0) 0，m(0) m0，
v(t) (1 )uln m0 .
m(t)
（6.10） （6.11）
由上式可知，当燃料耗尽，结构质量抛弃完时，便
只剩卫星质量m p，从而最终速度的数学模型为
（2）微元分析法与任意区域上取积分的方法 自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的 微元之间的关系式来表达的。对于这类问题，我们不能 直接列出自变量和未知函数及其变化率之间的关系式， 而是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自 变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取 极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取 积分的方法来建立微分方程。
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差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
引例1： Fibonacci 数列
问题 13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一 个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
2）. 家庭教育基金 从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女 将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向 银行存入x元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为r，试写出第 n年后教育基金总额的表达式. 预计当子女18岁入大学时所需的 费用为100000元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存 入多少元? 设n年后教育基金总额为an，每年向银行存入x元，依据复利 率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,…
可参照导数的四则运算法则学习
二 差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶
定义1
含有未知函数的差分 yn , 2 yn ,的函数方程 称为差分方程 .
形式：F (n, yn , yn , yn ,, yn ) 0
2 m
定义2：
含有未知函数两个或两 个以上时期的符号 yn , yn1 ,的方程，称为差分方程 .
引例2：日常的经济问题中的差分方程模型
1）. 银行存款与利率 假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, …, an,… 设r为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型 是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3,…
第九章 差分方程模型
第九章
差分方程模型
第一节 差分方程基本的基本概念与性质
第二节 市场经济中的蛛网模型
第三节 简单的鹿群增长模型
第四节 减肥计划——节食与运动
第五节 差分形式的阻滞增长模型
第六节 按年龄分组的种群增长
第一节 差分方程的概念及性质
一.差分的定义与运算法则 1.差分的定义
设函数y f ( x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个数 列: f (0)，f (1)， ，f (n)，f (n 1)， 将之简记为 y0，y1，y2， ，yn，yn 1 , 称函数的改变量 yn 1 yn为函数y的差分， 也称为一阶差分，记为 yn yn 1 yn .
形式：F (n, yn , yn1 ,, yn m ) 0 或G(n, yn , yn1 ,, ynk ) 0 (k 1)
方 程 中 未 知 数 下 标 的大 最值 与 最 小 值 的 差 称为差分方程的阶 .
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。 如yn5 4 yn3 3 yn2 2 0是三阶差分方程；
函数y f (n)的二阶差分为函数 y的一阶差分的 差分, 即 yn (yn ) ( yn 1 yn )
2
( yn 2 yn 1 ) ( yn 1 yn ) yn 2 2 yn 1 yn
同样可定义三阶、四阶 差分： yn ( yn ), yn ( yn )
yn yn 1 0，虽然含有三阶差分，
3
但实际上是二阶差分方 程，
由于该方程可以化为 yn3 3 yn 2 3 yn1 1 0因此它是二阶差分方程 ，
事实上，作变量代换 t n 1，即可写成 yt 2 3 yt 1 3 yt 1 0.
月份
幼兔 成兔
0
1 0
1
0 1
2
1 1
3
1 2
4
2 3
5
3 5
6
5 8
7
8 13
…
… …
总数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
1
2
3
5
8
13
21
…
将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
2.差分方程的解
如果函数y (n)代入差分方程后，方程 两 边恒等，则称此函数为 该差分方程的解 .
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
yn (n ) 2 2 0
例2 求y n! 的一阶差分，二阶差分 .
解
yn yn1 yn
(n 1)!n!
n n!
yn yn n n!
2
(n 1) (n 1)!n n! (n n 1) n!
2
2. 差分的四则运算法则
(1)(Cyn ) Cyn (C为常数)
(2)( yn zn ) yn zn
3 yn zn yn1zn znyn ynzn zn1yn
yn zn yn yn zn 4 z zn zn 1 n
3 2 4 3
高阶差分：二阶及二阶 以上的差分 .
2 2 2 3 2 ( n ), ( n ), ( n ). 例1 求
解
设y n2，则
yn (n2 ) (n 1)2 n2 2n 1
2 yn 2 (n 2 ) (2n 1)
3 3 2
2(n 1) 1 (2n 1) 2