传递函数矩阵分析

R(s)为单模阵， R 1 (s) 存在， 又因为： D(s),N(s)右互质 因此
R 1 (s) ： 上式左乘
R 1 (s) U11 (s) D(s)+ R 1 (s) U 12 (s) N(s)=I
X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I
“ ” X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I D(s)和 N(s)右互质。 令 ： R(s) 是 gcrd ， 则 D(s) D(s)R(s), N (s) N (s)R(s) ， 代 入
多项式阵的一般性质 1． 线性相关与无关 称 p 个多项式 q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性相关，当且仅当存 在一组不全为 0 的多项式 1 (s) p (s) 使
1 (s)q1 (s) 2 (s)q2 (s) p (s)q p (s) 0 成立。
1
V11 ( s ) V12 ( s ) ( s) = V ( s) V ( s) 22 21
②
1 由式①左乘 U (s) ：
D(s) N ( s)
V11 ( s ) V12 ( s ) V ( s ) V ( s ) 22 21
R (s ) V11 ( s ) R ( s ) 0 = V ( s ) R( s ) 21
r
使 i (s) 0 的点称 G(s)的传递零点， i (s) 0 得点称 G(s) 使 的传递极点。 见书 469-472 页。
§ 互质性 2 一、最大公因式
D( s )为p p阵 常设： N ( s)为q p阵
1． 若
N ( s ) N ( s )R ( s ) R(s) 称 右 公 因 式 ； 若 D ( s ) D ( s )R ( s )
D( s) 经初等变换 R( s) D(s) R(s) 方法：将 N ( s) 0 ，即 U(s) N (s) 0 ， U(s)为单模阵。
定理 6-2：对给定 p×p 和 q×p 多项式阵 D(s),N(s),若可找到 （p+q）×（p+q）单模阵 U(s)，使成立：
N ( s ) L( s) N ( s ) D ( s ) L( s ) D ( s ) L(s)称左公因式；
2． 最大公因式： gcrd（右）（1）R(s)是 N(s),D(s)的公因式； ： （ 2 ） N(s),D(s) 任 何 其 他 公 因 式 R1(s) 满 足 ： R(s)=W(s)R1(s)； gcld（左） ：是 gcrd 的对偶。 3． gcrd 的构造
( s) 1 ( s ) r ( s) r ( s) V(s)G(s)U(s)=M(s)= 0
1 方法：G(s)= d ( s ) N(s),（d(s)为最小公分母）
1 ( s ) r ( s) 0
算法（化 Q(s)为 QH (s) 的方法为初等变换） ： 见书 394 页 H 矩阵的特点： （1）前 r 行为非零行，后（q-r）行为零行； （2）每行最左边元素为首一多项式； （3）矩阵为梯形结构； （4） i ,ki (s) (i 1,2r ) 在所处列次数最高；
2． Smith 标准形（对角型） 任意 Q(s)经初等变换可化为 Smith 标准形。 设：q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r，r min(q,p)，如果可 找 到 相 应 维 数 的 单 模 阵 {V(s),U(s)}, 使 得
特点： （1） i (s) 为不恒等于零的首一多项式； （2）deg i (s) deg i1 (s) ; （3）V(s),U(s)不唯一，但 i (s) 唯一的经过一系列初等变 换得到，即对给定 Q(s)，Smith 形唯一； （4）Q(s)与 Qs (s) 的秩相同；
3． Mcmillan 标准形（对角型传递函数阵） G(s)为 q×p 传递函数阵，rankG(s)=r min(q,p), 则一定存在单模阵 V(s),U(s)，使
若仅当 1 (s) p (s) 0 上式成立，则称
q1 (s), q2 (s) q p (s) 线性无关。
2． 秩 对 Q(s)为 q p 阵，rankQ(s)=r, 即 Q(s)有 r 个列（行）向 量线性无关，或说至少存在一个 r r 阵的子式不恒等于 0。 3． 奇异性 detQ(s)不恒等于 0，则非奇异，否则奇异。
1 1 T2= 1 1
3．对任何一行（列）乘以 (s ) 加到另一行（列）上，相当 于左（右）乘下述阵：
1 1 (s) 1 T3= 1
③
因此： N (s) V21 (s) R(s) R(s)是右公因式。
D(s) V11 ( s) R( s)
(b)再证任何 R1(s)均为 R(s)的右乘因子： 若 R1(s)也是右因子，则 D(s)=D1(s)R1(s),N(s)=N1(s)R1(s) 由式①右边得：
U 11 ( s) D(s) U12 (s) N (s) R(s)
所以 Q(s)是单模阵。
定理 6-1：方阵 矩阵。
Q 1 (s) 也是一个多项式 Q(s)为单模阵，当且仅当
1 证：” ”： Q(s)为单模矩阵 Q (s) 为多项式；
∵Q(s)为单模矩阵， ∴detQ(s)=c，故
1 Q (s) =adjQ(s)/detQ(s)= c
1
adjห้องสมุดไป่ตู้(s)
二、单模矩阵 一般地称，detQ(s)是 s 的函数。 定义 6-1：若 detQ(s)=常数（不恒为 0） ，或不是 s 的多 项式，称 Q(s)为单模矩阵。 例 Q(s)=
s 1 s 2 s 3 s 4
, detQ(s)=(s+1)(s+4)-(s+2)(s+3)=-2
第6章 频域模型理论 基础
§ 多项式阵 1 一、多项式
D(s) d n s n d n1s n1 d1s d 0
多项式加减乘仍为多项式， 多项式除可能不是多项式， 多项式的集合不能构成一个域。 多项式的阶次 degD(s)=n,即为最高项的次数， d n =1 称为首一多项式。
1 1 = d ( s ) [U(s)N(s)V(s)]= d ( s )
1 ( s ) d ( s) r ( s) d (s) =
1 (s) 1 ( s ) 0 =
D( s) U 11 ( s) U 12 ( s) D( s) R( s) U ( s) U ( s) U ( s) N ( s) 0 N ( s) 21 22
①
则 p×p 多项式 R(s)为 D(s),N(s)的一个 gcrd。 证：(a)证 R(s)是右公因式： 设 V(s)= U
1 1 0 1 1 0 1 1
T1=
Nr(s)=T1N(s) 若 i,j 两列互换，相当于对 N(s)右乘 T1。
2． 对任一行（列）乘以不为 0 的数，相当于左乘（行 变换）或右乘（列变换）下阵：
D( s ) 非奇异的条件：rank N (s) =p；列满秩；
（4） gcrd 的 R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s)，其中 X(s),Y(s) 分别是 p×p 和 q×q 多项式阵， 由式⑤可知 X(s)= U 11 (s) ,Y(s)= U12 (s) 。
二、互质性判别 右互质： D(s),N(s)多项式阵的 R(s)为单模阵， 若 称两矩阵右 互质。 定理 6-3（判断右互质定理） ：D(s)和 N(s)右互质当且仅当存 在 X(s),Y(s)使贝佐特（Bezout）等式：X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I 成立。 证： D(s),N(s)右互质 上式成立。 由 gcrd 性质（4） ：R(s)= U 11 (s) D(s)+ U12 (s) N(s)

r (s) r (s)
0
特性： 1、对给定 G(s)，M(s)是唯一的，但{U(s),V(s)}不唯一；
i ( s) (s) 2、若 G(s)为方阵，则 detG(s)= i ( s ) = ( s) i 1
r
i i 1 r i i 1
0 1 ( s ) (s ) = r ( s ) 0 U(s)Q(s)V(s)= 0 0 0
其中{ i (s) }是 i 1,2,r 1 的非零首一多项式 且满足整 除性 i (s) | i1 (s) ， 。则称 (s ) 为多项式矩阵 Q(s)的史密斯 形。 （例子见书中 418 页）
T1,T2,T3 均为初等矩阵。 结论：任何一个 p 维单模阵 M(s)必可表示为有限个 p 维初等 矩阵的乘积。
四、标准型（规范型） 任何多项式阵 Q(s)经初等变换可化为标准型。 1． Hermite 型（上三角型） 设： q×p 的多项式 Q(s)的秩为 r， min(q,p)， Hermite 阵： r 则
Q 1 (s) 也为多项式 ∵adjQ(s)为多项式，∴
1 “ ”： Q (s) 为多项式 Q(s)为单模矩阵；
Q 1 (s) =b(s)，而 Q(s) Q 1 (s) =I 令 detQ(s)=a(s),det
det Q(s) Q 1 (s) =detQ(s)det Q (s) =a(s)b(s)=1 ∵ a(s),b(s)均独立于非零的常数才成立，
0 0 1,k1 ( s) 1,k2 ( s) 2,k 2 ( s ) QH ( S ) 0 0 0 0 1,k3 ( s) 1,kr ( s) 2 , k3 ( s ) 2 , k r ( s ) 3, k 3 ( s ) 3, k r ( s ) r ,kr ( s ) 0 0
1
∴detQ(s)=常数 Q(s)为单模矩阵。
其它性质： （1）Q(s)为单模阵 Q(s)非奇异； （2）同维单模阵相乘必为单模阵；
Q 1 (s) 位单模阵； （3）Q(s)为单模阵
三、初等变换 对一个多项式 N(s) 1． 矩阵中任意两行互换， 两行互换， i,j 相当于对 N(s) 左乘下述阵：
④ ⑤ ⑥
将④代入⑤：
R(s) U11 (s) D1(s) U12 (s) N1(s)R1(s) W (s) R1(s)
因此 R1(s)为 R(s)的右乘因子。
4． gcrd 的性质： （1） gcrd 的非唯一性； （2） gcrd 的非奇异性唯一，单模性唯一； （3） gcrd