理论力学简明教程第二版课后答案

第零章 数学准备

一 泰勒展开式

1 二项式的展开

()()()()()m 23m m-1m m-1m-2

f x 1x 1mx+x x 23=+=+++K ！

！

2 一般函数的展开

()()()()()()()()230000000f x f x f x

f x f x x-x x-x x-x 123!

''''''=++++K ！

！

特别:00x =时,

()()()()()23

f 0f 0f 0f x f 0123!

x x x ''''''=++++K

！！

3 二元函数的展开(x=y=0处)

()()00f f f x y f 0x+y x y ⎛⎫∂∂=++ ⎪∂∂⎝⎭，22222

000221f f f x 2xy+y 2x x y y ⎛⎫∂∂∂++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭

K ！

评注：以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线

性问题的转化。在理论力问题的简单处理中，一般只需近似到三阶以内。

二 常微分方程

1 一阶非齐次常微分方程： ()()x x y+P y=Q

通解：()()()P x dx P x dx y e c Q x e dx -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪

⎝⎭

⎰ 注：()()(),P x dx

P x dx Q x e dx ⎰

±⎰⎰积分时不带任意常数，()x Q 可为

常数。

2 一个特殊二阶微分方程

2y A y B =-+&

& 通解：()02B

y=Kcos Ax+A

θ+

注：0,K θ为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程

()x y ay by f ++=&&&

通解：*y y y =+；y 为对应齐次方程的特解，*y 为非齐次方程的一个特解。

非齐次方程的一个特解 （1） 对应齐次方程

0y ay by ++=&&&

设x y e λ=得特征方程2a b 0λλ++=。解出特解为1λ，2λ。 *若12R λλ≠∈则1

x 1y e λ=，2

x 2y e λ=；12

x x 12y c e c e λλ=+

*若12R λλ=∈则1

x 1y e λ=，1

x 2y xe λ=； 1

x 12y e (c xc )λ=+

*若12i λαβ=±则%x 1y e cos x αβ=，%x 2y e

sin x αβ=；x 12y e (c cos x c sin x)αββ=+

（2） 若()2000x f a x b x c =++为二次多项式

*b 0≠时，可设*2y Ax Bx C =++ *b 0≠时，可设*32y Ax Bx Cx D =+++

注：以上1c ,2c ,A,B,C,D 均为常数，由初始条件决定。

三 矢量

1 矢量的标积

x x y y z z A B=B A=A B cos =A B +A B +A B θ••r r

r r

注：常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积

n x

y z x

y

z i

j k A B=-(B A)=A B sin e =A A A B B B θ⎛⎫ ⎪⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭

r r r r r r r r x y z y z x x z x y y x (A B A B )i (A B A B )j (A B A B )k =-+-+-r r r

四 矩阵

此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。

111122133211222233311322333a x a x a x 0a x a x a x 0a x a x a x 0++=⎧⎪

++=⎨⎪++=⎩ 令11

121321

222331

32

33a a a D a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

*D=0时，方程组有非零解 *D ≠0时，方程只有零解

第一章 牛顿力学的基本定律

万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起，三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色，微积分更是风光占尽。

【要点分析与总结】 1 质点运动的描述

（1） 直线坐标系

r xi yj zk

r xi yj zk a r xi yj zk

υυ=++==++===++r r r r

r r r r r &&&&&r r r r r r &&&&&&&&& （2） 平面极坐标系

r r 2r r re re r e a (r r )e (r 2r )e θθ

υθθθθ==+=-++r r

r r r &&r r r &&&&&&& （3） 自然坐标系

t 2t n

e v a e e υυυρ

==+r

r

r

r r & （4） 柱坐标系

2t n

z v a e e e e ze ρθυρ

υρρθ=+=++r r r

&r

r

r r

&&&

〈析〉 上述矢量顺序分别为：r k t n b z i,j,k;e ,e ,e ;e ,e ,e ;e ,e ,e .θρθr r r r r r r r r r r r

矢量微分：r k r k r k k k de e e e dt de e e e dt de e e 0dt

θ

θθθθθθθ=⨯==⨯=-=⨯=r

r r r &&r

r r r &&r

r r &

（其它各矢量微分与此方法相同） 微分时一定要注意矢量顺序

2 牛顿定律

惯性定律的矢量表述

22d r ma m F dt

==r

r

r