2020届数学好题精讲精练
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2020届数学好题精讲精练
1．〔本小题总分值14分〕
定义在R 上的函数()f x 满足： ①(1)2f =；②0()1x f x >>当时，；③对任意的
R y x ∈,，都有()()()f x y f x f y +=⋅.
〔Ⅰ〕求证：(0)1f =，且对任意0x <时，0()1f x <<； 〔Ⅱ〕求证：()f x 在R 上是单调递增函数；
〔Ⅲ〕求满足4)3(2
>-x x f 的所有x 的值．
证： 〔I 〕∵(1)2f =，且对任意的R y x ∈,，都有
∴ (10)(1)(0)f f f +=⋅ ，即2(0)2f =
∴ (0)1f = ………………………2分 又当0x <时，有0x ->，且()0x x +-=，()1f x -> ∴()()(())(0)1f x f x f x x f ⋅-=+-==，即1()()
f x f x =-
∴ 0()1f x << ………………………5分
〔Ⅱ〕任取，
，，则，且1)(0,12122121>-∴>-<∈x x f x x x x R x x …………6分 ∴)(])[()()(111212x f x x x f x f x f -+-=-2111()()()f x x f x f x =-⋅-
211[()1]()0f x x f x =--⋅>，即21()()f x f x > ……9分
因此，()f x 在R 上是单调递增函数． ……………………10分 〔Ⅲ〕∵(1)2f =，∴ (2)(11)(1)(1)4f f f f =+=⋅=
∴2(3)4(2)f x x f ->= ……………………11分
由〔Ⅱ〕知，()f x 在R 上是单调递增函数
∴232x x ->，解得， 12x << ……………………13分 ∴满足4)3(2>-x x f 的所有x 的取值为〔1，2〕． ……………………14分
2、〔本小题总分值16分〕
()||23f x x x a x =-+-
〔Ⅰ〕当4a =，25x ≤≤时，咨询x 分不取何值时，函数()f x 取得最大值和最小值，
并求出相应的最大值和最小值；
〔Ⅱ〕假设()f x 在R 上恒为增函数，试求a 的取值范畴;
〔Ⅲ〕常数4a =，数列{}n a 满足1()3
()n n n
f a a n N a +++=
∈,试探求1a 的值，使得数列{}()n a n N +∈成等差数列．
. 解：〔Ⅰ〕当4a =时，()|4|23f x x x x =-+- ………………………1分
〔1〕24x ≤<时，2
()(4)23(3)6f x x x x x =-+-=--+
当2x =时，min ()5f x =；当3x =时，max ()6f x = …………………2分 〔2〕当45x ≤≤时，2()(4)23(1)4f x x x x x =-+-=--
当4x =时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = ……………………4分 综上所述，当2x =或4时，min ()5f x =；当5x =时，max ()12f x = …… 5分
〔Ⅱ〕22222
22(2)()3,(2)3,24()(2)3,2(2)()3,24a a x x a
x a x x a f x x a x x a a a x x a
⎧-----≥⎪⎧+--≥⎪==⎨⎨-++-<++⎩⎪--+-<⎪⎩…7分 ()f x 在R 上恒为增函数的充要条件是2
2
22
a a a a -⎧≤⎪⎪⎨
+⎪≥⎪⎩，解得22a -≤≤ ………10分 〔Ⅲ〕*1()3
|4|2()n n n n
f a a a n N a ++=
=-+∈， ① 当4 当n=1时，621=+a a ；当n ≥2时，61=+-n n a a 〔2〕 〔1〕—〔2〕得，n ≥2时，110n n a a +--=，即 11n n a a +-= 又{}n a 为等差数列，∴ 3=n a )(*N n ∈ 现在13a = …………13分 ②当4n a ≥时12n n a a +=- ，即12n n a a +-=- ∴2d =- 假设2d =-时，那么12n n a a +=-〔3〕，将〔3〕代入〔1〕得4|4|n n a a -=-， 4n a ∴≥对一切*n N ∈都成立 另一方面，12(1)n a a n =--，4n a ≥当且仅当1 12 a n ≤ -时成立，矛盾 2d ∴=-不符合题意，舍去. ……………………15分 综合①②知，要使数列{}()n a n N + ∈成等差数列，那么13a = ………………16分 3．设函数),10(323 1)(223 R b a b x a ax x x f ∈<<+-+- =. 〔Ⅰ〕求函数f 〔x 〕的单调区间和极值； 〔Ⅱ〕假设对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′〔x 〕|≤a 恒成立，求a 的取值范畴. 解：〔Ⅰ〕2 234)(a ax x x f -+-=' 〔1分〕 令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为〔a ,3a 〕 令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为〔－∞，a 〕和〔3a ，+∞〕 〔4分〕 ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4 33 b a +- 当x=3a 时，)(x f 极小值=b. 〔6分〕 〔Ⅱ〕由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①〔7分〕 ∵02a . ∴]2,1[34)(2 2 ++-+-='a a a ax x x f 在上是减函数. 〔9分〕 ∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 因此，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于 .154 . 12,44≤≤⎩⎨