时频分析方法综述

几种时频分析方法简介

1． 傅里叶变换（Fourier Transform ）

1

2/201

22/0()()()()1()()()(::::)N j nk N ft N ft j nk N n H T h kT e H f h t e d DFT FT IFT IDFT t NT k h t H f e dt h nT H e N NT ππππ--∞

--∞∞--∞⎫=⎫⎪=⋅⎪⎪−−−−−−−→⎬⎬⎪⎪=⋅=⎭⎪⎭

∑⎰⎰∑离散化(离散取样)

周期化（时频域截断） 2． 小波变换（Wavelet Transform ）

a. 由傅里叶变换到窗口傅里叶变换（Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/）

从傅里叶变换的定义可知，时域函数h(t)的傅里叶变换H(f )只能反映其在整个实轴的性态，不能反映h （t ）在特定时间区段内的频率变化情况。如果要考察h(t)在特定时域区间（比如：t ∈[a,b]）内的频率成分，很直观的做法是将h(t)在区间t ∈[a,b]与函数

[][]

11,t ,()0,t ,a b t a b χ⎧∈⎪=⎨

∈⎪⎩，然后考察1()()h t t χ傅里叶变换。但是由于1()t χ在t= a,b 处突然截断，导致中1()()h t t χ出现了原来h （t ）中不存在的不连续，这样会使得1()()h t t χ的傅里叶变化中附件新的高频成分。为克服这一缺点，D.Gabor 在1944年引入了“窗口”

傅里叶变换的概念，他的做法是，取一个光滑的函数g(t),称为窗口函数，它在有限的区间外等于0或者很快地趋于0，然后将窗口函数与h(t)相乘得到的短时时域函数进行FT 变换以考察h(t)在特定时域内的频域情况。

22(,)()()()()(,)ft f ft f STFT ISTF G f h t g t e dt

h t df g t G f e d T ππτττττ+∞

--∞

+∞+∞

-∞

-∞

=-=-⎰⎰⎰

：：

图：STFT 示意图

STFT 算例

cos(210) 0s t 5s cos(225) 5s t 10s (t)=cos(250) 10s t 15s cos(2100) 15s t 20s

t t x t t ππππ≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩

图：四个余弦分量的STFT

b. 窗口傅里叶变换（Gabor ）到小波变换（Wavelet Transform ）

图：小波变换

定义满足条件：

()()()()2

=ˆ=00ˆ0t dt t dt f df f

ψψψψ

+∞

-∞

+∞

<+∞-∞

+∞-∞

⎰<+∞−−−−−−→⇔⎰

⎰假定：

的平方可积函数ψ(t)(即ψ(t)∈L 2（—∞，+∞）)为——基本小波或小波母函数。

Haar 小波函数

db3小波函数

db4小波函数

db5小波函数

mexh 小波函数 图：几种常用的小波函数

令

()ab t b t a ψ-⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，a 、b 为实数，且a ≠0， 称ψab 为由母函数生成的有赖于参数a,b 的连续小波函数。设f(t)∈L 2（—∞，+∞），定义其小波变换为：

(

)(),,f ab t b W a b f f t dt a ψψ+∞

-∞

-⎛⎫==

⎪⎝⎭

⎰

与Fourier 类似，小波变化也具有反演公式：

()()()

2

1

,f ab dadb

f t W a b t C a

ψ

ψ+∞+∞

-∞

-∞

=

⎰⎰

， 以及Parseval 等式：

()(

)

()

()2

22

2

,,,,1,.f g f dadb

W a b W a b C f g a

dadb

W a b f t dt C a ψψ

+∞+∞

-∞

-∞+∞

+∞+∞-∞

-∞

-∞==⎰⎰

⎰⎰

⎰ 小波变换虽然具有频率愈高相应时间或空间分辨率愈高的优点，但其在频率域上的分辨率

却相应降低。这是小波变换的弱点，使它只能部分地克服Fourier 变换的局限性。小波包变换将在一定程度上弥补小波变换的这一缺陷。

图：FT变换、STFT变换及Wavelet Analysis比较

图：Wavelet应用1——探测数据突变点

图：Wavelet应用1——探测数据突变点（树状显示）

图：Wavelet应用2——探测数据整体变化趋势

图：Wavelet应用2——探测数据中的频率成分

图：Wavelet应用3——压缩数据

图：Wavelet 应用3——压缩数据

3． 希尔伯特—黄变换（Hilbert-Huang Transform ）

3.1希尔伯特与瞬时频率（Hilbert Transform and instantaneous frequency ） 对于任意一个时间序列X(t)，它的希尔伯特变换具有如下形式：

-1

()

(t)=

,-X Y P d t ττπ

τ

∞

∞

⎰

其中，P ——积分的柯西主值；

希尔伯特变换对于任何属于L p 空间中的函数都存立，即上式中X(t)∈L p （—∞，+∞）。 通过上述定义，X(t)和Y(t)成为一组复共轭对，同时能够构造一个实部和虚部分为X(t)和Y(t)的解析信号(Analytic Signal)Z(t)，Z(t)表示为：

()()

(t)=(t)(t)=a ,i t Z X iY t e

θ+

其中，

()()1/222

(t)a =(t)+(t),arctan .X(t)Y t X Y t θ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭

理论上讲有无数种方式去定义虚部，但是希尔伯特变换是唯一能够得到解析信号结果的方法。

X(t)的Hilbert 变换实质上是将X(t)与函数1/t 在时域上做卷积，这就决定了通过X(t)的Hilbert 变换能够考察其局部特性。得到X(t)的瞬时相位函数后，其瞬时频率为：

()()

(t).d w t dt

θ=