(完整版)自动控制原理胡寿松第四版课后答案解析

1－3
解：系统的工作原理为：当流出增加时，液位降低，浮球降落，控制器通过移动气动阀门的开度，流入量增加，液位开始上。

当流入量和流出量相等时达到平衡。

当流出量减小时，系统的变化过程则相反。

流出量
希望液位
图一
1－4
（1）非线性系统
（2）非线性时变系统
（3）线性定常系统
（4）线性定常系统
（5）线性时变系统
（6）线性定常系统
2 2-1 解：
显然，弹簧力为 kx (t ) ，根据牛顿第二运动定律有：
F (t ) − kx (t ) = m
移项整理，得机械系统的微分方程为：
d 2
x (t ) dt 2
m d x (t ) + kx (t )
= F (t ) dt
2
对上述方程中各项求拉氏变换得：
ms 2 X (s ) + kX (s ) =
F (s )
所以，机械系统的传递函数为：
G (s ) = X (s ) =
F (s )
1
ms 2
+
k
2-2 解一：
由图易得：
i 1 (t )R 1 = u 1 (t ) − u 2 (t ) u c (t ) + i 1 (t )R 2 = u 2 (t ) du c (t )
i 1 (t )
= C
dt 由上述方程组可得无源网络的运动方程为：
C ( R + R ) du 2 (t ) u (t ) = CR
du 1 (t ) u (t )
1 2 dt
+ 2
2 + 1 dt 对上述方程中各项求拉氏变换得：
C (R 1 + R 2 )sU 2 (s ) + U 2 (s ) = CR 2 sU 1 (s ) + U 1 (s )
所以，无源网络的传递函数为：
G (s ) = U 2 (s ) =
U 1 (s )
1 + sCR 2
1 + sC (R 1 +
R 2 ) 解二（运算阻抗法或复阻抗法）：
U (s ) 1 + R 2 1 + R Cs
2 = Cs =
2
U (s ) R + 1 + R 1 + ( R + R )Cs 1 1 2
1
Cs
2
2-5 解：按照上述方程的顺序，从输出量开始绘制系统的结构图，其绘制结果如下图所示：
依次消掉上述方程中的中间变量 X 1 , X 2 , X 3 , 可得系统传递函数为：
C (s ) = R (s )
G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4
(s )
1 + G
2 (s )G
3 (s )G 6 (s ) + G 3 (s )G
4 (s )G
5 (s ) + G 1 (s )G 2 (s )G 3 (s )G 4
(s )[G 7 (s ) − G 8 (s )]
2-6 解：
①将G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节和G1 (s) 与G1 (s) 组成的并联环节简化，
它们的
等效传递函数和简化结构图为：
G 12 (s) = G
1
(s) + G
2
(s)
G 34 (s) = G
3
(s) −
G
4
(s)
②将G12 (s), G34 (s) 组成的反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：
2-7 解：C(s)
=
R(s)
G
12
(s)
1 + G
12
(s)G
34
(s)
=
G
1
(s) + G
2
(s)
1 +[G
1
(s) + G
2
(s)][G
3
(s) −G
4
(s)]
由上图可列方程组：
[E(s)G
1 (s) −C(s)H
2
(s)]G
2
(s) = C(s)
R(s) −H
1(s)
C
(s)
G
2
(s)
= E(s)
联列上述两个方程，消掉E (s) ，得传递函数为：
C(s)
= R(s)
G
1
(s)G
2
(s)
1 + H
1
(s)G
1
(s) + H
2
(s)G
2
(s)
联列上述两个方程，消掉C (s) ，得传递函数为：
E(s)
= R(s)
1 + H
2
(s)G
2
(s)
1 + H
1
(s)G
1
(s) + H
2
(s)G
2
(s)
1 2
2 2
3 2-8 解：
将①反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为： 0.4
G (s ) =
2s + 1 =
1 +
0.4 * 0.5 2s + 1
5+ 3
将②反馈回路简化，其等效传递函数和简化图为：
1 G (s ) = s + 0.3s + 1 = 5s + 3 2
1 + 0.4 5s + 4.5s + 5.9s + 3.4
(s + 0.3s + 1)(5
s + 3)
将③反馈回路简化便求得系统的闭环传递函数为：
0.7 * (5s +
3)
Θ
o (s)
= 5
s 3 + 4.5s 2 + 5.9s + 3.4
=3.5s + 2.1
Θ
i (s) 1 +
0.7 * Ks(5s +
3)
5s
3
+ (4.5 +
3.5K )s 2
+ (5.9 + 2.1K )s +
3.4
2 5s
3-3 解：该二阶系统的最大超调量：
σ
p =e−ζ
π/
1−ζ
2
*100%
当σ
p
= 5% 时，可解上述方程得：
ζ=
0.69当σ
p
= 5% 时，该二阶系统的过渡时间为：
t
s
≈3
ζ
w
n
所以，该二阶系统的无阻尼自振角频率w n 3-4 解：≈
3
ζ
t
s
=
3
0.69*
2
= 2.17
由上图可得系统的传递函数：
10 * (1 + Ks)
C (s)
= R(s)
s(s + 2)
1 +
10 * (1 +
Ks)
s(s + 2)
==
10 * (Ks +1)
s + 2 * (1 +5K )s +10
所以w n =10 ，ζw
n
=1 +5K
⑴若
ζ
= 0.5 时，K ≈0.116
所以K ≈0.116
时，ζ
= 0.5
⑵系统单位阶跃响应的超调量和过渡过程时间分别为：
σ p = e
−ζπ / 1−ζ
2
*100% = e
−0.5*3.14 /
1−0.52
*100% ≈ 16.3%
t s =
3 ζ
w n
= 3 0.5 *
≈ 1.9
10
⑶ 加入 (1 + Ks ) 相当于加入了一个比例微分环节，将使系统的阻尼比增大，可以有效
地减小原系统的阶跃响应的超调量；同时由于微分的作用，使系统阶跃响应的速度（即变
w 2
1
2
p
化率）提高了，从而缩短了过渡时间：总之，加入 (1 + Ks ) 后，系统响应性能得到改善。

3-5 解：
由上图可得该控制系统的传递函数：
C (s ) =
10K 1
R (s )
二阶系统的标准形式为：
C (s ) R (s )
s 2
+ (10τ + 1)s + 10K
w 2
=
n
s 2 + 2ζw s + w
2 n n
所以
n
=
10K 1
2ζw n = 10τ
+ 1
由
σ = e
−ζπ / π
1−ζ 2
*100%
t p =
w n 1 − ζ 2
σ p =
9.5%
t p =
0.5
可得
ζ = 0.6
w
n
= 10K 1
ζ = 0.6
w n = 7.85
由
和
2ζw n = 10τ + 1
w n =
7.85
可得：
K 1 = 6.16
τ = 0.84
t s ≈ 3 ζ
w n
= 0.64
3-6 解：⑴ 列出劳斯表为：
因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。

⑵ 列出劳斯表为：
因为劳斯表首列系数全大于零，所以系统稳定。

⑶ 列出劳斯表为：
因为劳斯表首列系数符号变号 2 次，所以系统不稳定。

3-7 解：系统的闭环系统传递函数：
K (s +1)
C (s ) =
R (s )
=
s (2s +1)(Ts +1)
=
1 +
K (s +1) s (2s +1)(Ts +1)
K (s +1)
K (s +1)
s (2s +1)(Ts +1) + K (s +1)
2Ts 3 + (T + 2)s 2 + (K +1)s + K
列出劳斯表为：
s 3 2T K +1
s 2 T + 2 K
s 1
(K +1)(T + 2) − 2KT T + 2
s 0 K
2 3 2 3 2
3 T > 0 ，T + 2 > 0 ，
(K + 1)(T + 2) − 2KT T + 2 > 0 ， K > 0
T > 0 K > 0 ， (K + 1)(T + 2) − 2KT > 0
(K +1)(T + 2) − 2KT = (T + 2) + KT + 2K − 2KT = (T + 2) − KT + 2K = (T + 2) − K (T − 2) > 0 K (T − 2) < (T + 2)
3-9 解：
由上图可得闭环系统传递函数：
C (s ) =
KK 2 K 3
R (s ) (1 + KK K a )s 2
− KK K bs − KK K
代入已知数据，得二阶系统特征方程：
(1 + 0.1K )s 2 − 0.1Ks −
K = 0
列出劳斯表为：
s 2 1 + 0.1K − K s 1 − 0.1K s 0 − K
可见，只要放大器 −10 < K < 0 ，系统就是稳定的。

3-12 解：系统的稳态误差为：
e ss = lim e (t ) = lim sE (s ) =
lim
s
R (s )
t →∞
s →0
s →0 1 + G 0 (s )
⑴ G 0 (s )
=
1
0 s
(
.
1
s
+
1
)
(
.
5
s
+
1
)
系统的静态位置误差系数：
K = lim G (s ) = lim 10
= ∞
p s →0 0 s →0 s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
系统的静态速度误差系数：
K = lim sG (s ) =
lim 10s
= 10
v
s →0
s →0
s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
系统的静态加速度误差系数：
K = lim s 2
G (s ) = lim
10s 2
= 0
a
s →0
s →0
s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
当 r (t ) = 1(t ) 时， R (s ) = 1
s
e ss
= lim
s
* 1 = 0
当 r (t ) = 4t 时，
R (s ) =
s →0 10 s 1 +
s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
4
s 2
e = lim
s
*
4 = 0.4
ss s →0
s 2
当 r (t ) = t 2
时，
R (s ) = 1 +
10
s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
2
s 3
e ss
= lim s →0
1 +
s
*
2
= ∞
10 s 3
s (0.1s + 1)(0.5s + 1)
当 r (t ) = 1(t ) + 4t + t 2
时， R (s ) =
1
+ 4
+ 2
s s 2 s 3
3-14 解：
e ss = 0 + 0.4 + ∞ = ∞
由于单位斜坡输入下系统稳态误差为常值=2，所以系统为 I 型系统
设开环传递函数 G(s)
=
K
s(s 2 + as +
b)
⇒
K
= 0.5 b
闭环传递函数 φ(s) = G(s) =
K
1 + G(s) s 3 + as
2 + bs + K
Q s = −1 ±j 是系统闭环极点，因此
⎪⎪⎪⎪
s3 +as2 +bs +K =(s +c)(s2 +2s +2) =s3 +(2 +c)s2 +(2c +2)s + 2c
⎧K =0.5b
⎧K = 2c
⎧
b = 2
c +2
⇒⎧⎧a = 2 +c ⎧K = 2⎧a =3 ⎧
b = 4⎧⎧
c =1
所以G(s) =
2。

s(s2 +3s +4)
4-1
(a)
(b)
j ω
×
0 ×
(c)
(d)
4-2
j ω
]
×× p 1 σ p 2 0
p 1 = 0, p 2 = 0, p 3 = −1
1. 实轴上的根轨迹(−∞, −1) (0, 0)
1
=±
2. n − m = 3
3 条根轨迹趋向无穷远处的渐近线相角为
ϕ 180°(2q + 1)
= ±
60°,180°
a 3
(q = 0,1)
渐近线与实轴的交点为
n
m
∑ p
i
− ∑ z i
i =1
j =1
0 − 0 −1 1 σ a =
3. 系统的特征方程为
n −
m
= = − 3 3
1+G (s ) = 1 +
K = 0 s 2
(s +1)
即
K = − s 2 (s +1) = −s 3 − s 2
dK
= − 3s 2 − 2s
= 0
ds
s (3s + 2) = 0
根 s 1 = 0
（舍去）
s 2 = −0.667
4. 令 s = j ω
代入特征方程 1+G (s ) = 1
+
K
= 0 s 2
(s +1)
s 2 (s +1) + K =0
( j ω )2 ( j ω +1) + K =0
−ω 2 ( j ω +1) + K =0
K − ω 2 − j ω =0
⎧K − ω 2 =0 ⎧
⎧ω = 0
ω=0 （舍去）
与虚轴没有交点，即只有根轨迹上的起点，也即开环极点
p 1,2 =
在虚轴上。

2
5-1
G(s)
=
5
0.25s
+1
G( jω)
=
5
0.25jω
+1
A(ω
=
ϕ(ω) =−arctan(0.25ω)
输入r(t) =5 cos(4t −30°) =5
sin(4t +60°)
ω=4
A(4)
=
5
+1
=
2
ϕ(4) =−arctan(0.25 * 4) = −45°
系统的稳态输出为
c(t) = A(4)*5cos[4t −30°+ϕ(4)]
=*5cos(4t −30°−45°)
=17.68cos(4t −75°)=17.68sin(4t +15°)
sin α=cos(90°−α) =cos(α−90°) =cos(α+270°)
5-3
或者，
c(t) = A(4)*5sin[4t +60°+ϕ(4)]
=*5sin(4t +60°−45°)
=17.68sin(4t +15°)
1 1
（2）G(s)
=
(1+s)(1+
2s)
G( jω)
=
(1+ jω)(1+ j 2ω)
A(ω)
=
1
ω2 )
ϕ(ω) =−arctan ω−arctan 2ω
ϕ(ω) =−arctan ω−arctan 2ω=−90°arctan ω+arctan 2ω=90°ω=1/(2
ω)
ω2 =
1/ 2
A(ω
=
==0.47
3
与虚轴的交点为（0，-j0.47）
(ω)
1
（3）G(s)
=
1
s(1 +s)(1 +
2s)
G( jω)
=
1
jω(1 + jω)(1 +
j2ω)
A(ω 1
ω2 )
ϕ(ω) =−90°−arctan ω−arctan 2ω
ϕ(ω) = −90°−arctan ω−arctan 2ω=−180°arctan ω+arctan 2ω=90°
ω=1/(2
ω)
ω2 =
1/ 2
A(ω)
=
1
*1/ 2)
=
2
=0.67
3与实轴的交点为（-0.67，-j0）
ω
)
（4）G(s)
=
1
s2 (1+s)(1+
2s)
G( jω)
=
1
( jω)2 (1+ jω)(1+
j 2ω)
A(ω 1
ω2 )
ϕ(ω) = −180°−arctan ω−arctan 2ω
ϕ(ω) = −180°−arctan ω−arctan 2ω=−270°arctan ω+arctan 2ω=90°
ω=1/(2
ω)
ω2 =
1/ 2
A(ω
=3
= 0.94 与虚轴的交点为（0，j0.94）
ω=0.707
ω=0
)
2
5-4
（2）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 0
（3）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 1
（4）ω1 = 0.5 ，ω2 = 1 ， k = 1 ，υ = 2
5-6
G (s ) =
1 s −1
是一个非最小相位系统
3
G ( j ω ) =
1
= 1
1 − j ω )
1
e j ( −180
o
+arctg ω )
j ω −1 1 + ω
2
2
G (s ) =
1 s +1
是一个最小相位系统
G ( j ω ) =
1
=
1
− j ω
1
− jarctg ω
j ω +1 1 + ω
2
1 + ω
2
5-8(a)
ω = 0
−
ω = ∞
-1
X (ω )
ω = 0
+
系统开环传递函数有一极点在 s 平面的原点处，因此乃氏回线中半径为无穷小量ε 的半圆弧 对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧：
ω ：0− → 0+ ；θ ：－90°→ 0°→ ＋90°； ϕ(ω) ：＋90°→ 0°→ －90° N=P-Z ， Z=P-N=0-(-2)=2 闭环系统有 2 个极点在右半平面，所以闭环系统不稳定 （b ）
jY (ω )
ω = 0
ω = 0
ω = ∞
-1
X (ω )
4
系统开环传递函数有 2 个极点在 s 平面的原点处，因此乃氏回线中半径为无穷小量ε 的半圆
弧对应的映射曲线是一个半径为无穷大的圆弧：
ω ：0− → 0+ ；θ ：－90°→ 0°→ ＋90°； ϕ(ω) ：＋180°→ 0°→ －180° N=P-Z ， Z=P-N=0-0=0 闭环系统有 0 个极点在右半平面，所以闭环系统稳定
5-10
K K 2.28K （1） G (s )H (s ) = = Ts +1
1 2.28
s +1 =
s + 2.28
0°
G s H s = K
1
= K 1
=
2.28K （2） ( )( )
ϕ (ω )(°)
s Ts
+1
s 1 2.28
s +1 s (s + 2.28)
−90°
K τ s +1 1
K 0.5 s +1
4K (s + 0.5)
（3） G (s )H (s ) = = s Ts +1 s 1
=
s (s + 2) 2
2
2
s +1
2
b
0 0.5
1
2
-40dB /dec
5
20 lg 1 = a −20 lg K + 20 lg 1 = 40 lg 1
−20 lg K = 20 lg 1
0.5 20 lg(K )−1 = 20 lg 2
0.5 0.5
K = 1/ 2 = 0.5
0.5
G (s )H (s ) = 4K (s + 0.5) =
2(s + 0.5)
s 2 (s + 2)
s 2 (s + 2)
−90°
5-11
ω = 0
−
jY (ω)
ω = +∞ 0 ω = −∞
(-1,j 0)
X (
ω
ω = 0+
G (s )H (s ) =
K
s (s +1)(3s +1) ⇒ G ( j ω )H ( j
ω ) = K j ω ( j ω +1)(3 j
ω +1)
ϕ(ω ) = −90° − arctan ω − arctan 3ω = −180°
arctan ω + arctan
3ω = 90°
ω = 1/(3
ω) ω 2
= 1/ 3
A (ω ) =
K
1 /3 (1 +1 / 3)(1 + 9 *1/ 3)
=
3
K =
1 4
K c = 4/3 = 1.33
6
n n
6-2 (1)
6 ω 2
G (s ) = = n
s (s 2 + 4s + 6)
s (s 2 + 2ξω s + ω 2
)
ω 2 = 6 ω =2.45, 2ξω =4
ξ = 4
= 0.816 n n n
2ωn
6
K = 1
所以，ωc = 1 20lgK = 0
⎧ 2ξω / ω ϕ (ω ) = −90° − arctg c n ⎧ ⎧ 2 * 0.816 *1/ 2.45 ⎧
= −90° − arctg
c ⎧ 1 − ω 2 / ω
2 ⎧ ⎧ 1 −1/ 2.452 ⎧ ⎧
c
n
⎧
⎧
⎧
= −90° − arctg ⎧ 2 * 0.816 *1 / 2.45 ⎧ = −90° − arctg ⎧ 0.666 ⎧
= −90° − arctg 0.7995
⎧ 1 −1 / 2.452
⎧ ⎧ 0.833 ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ = −90° − 38.64° = −128.64°
γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° −128.64° = 51.36°
50403020100-10--30-40
(2)
ω1 = 1,
ω2 =1/0.2=5
⎧ 2ξω / ω ϕ (ω ) = −90° − arctg c n ⎧ ⎧ ω ⎧
⎧ ω ⎧ + arctg c − arctg
c c ⎧ 1 − ω 2 / ω 2 ⎧ ⎧ ω
⎧ ⎧ ω ⎧ ⎧ c n ⎧
⎧ 1 ⎧ ⎧ 2 ⎧
1 5 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= −128.64° + arctg ⎧ 1 ⎧ − arctg ⎧ 1 ⎧
= −128.64° + 45° −11.31° = −94.95° ⎧ ⎧ ⎧ ⎧
γ = 180° + ϕ (ωc ) = 180° − 94.95° = 85.05°
1
50
40
30
20
10
-10
-20
-
-40
6-5 (1)
G(s) =
10
s(0.5s +1)(0.1s
+1)
ω=1, 20 lg K =20lg10=20dB ω
1
=1/ 0.5
= 2,
ω
2
=1 / 0.1 =10
ω
1
=
2
时，L(ω1 ) = 20 −20(lg 2 −lg1) = 20lg10 −20 lg 2 = 20lg5 =14dB
ω
2
=
10
时，L(ω2 ) =14 −40(lg10 −lg 2) = −13.96dB
所以，ω1 <ωc <ω2
L(ω
1 ) = 40(lg ω
c
−lg 2) = 40(lg ω
c
/ 2) =14dB
ω
c
= 4.48
ϕ(ω
c
) = −90°−arctg 0.5ω
c
−arctg 0.1ω
c
=−90°−arctg 2.24 −arctg 0.448
=−90°−65.94°−24.13°=−180.07°
γ=180°+ϕ(ω
c
) =180°−180.07°= −0.07°
L (ω)(dB)
50 40 30 20 100
-
1
-
20
-30
-40
0.1
-20dB
/dec
1 2
-40dB /de c
ω
c
10
-60dB /dec
ω
100
2
(2)
G(s)G
c
(s) =
10(0.33s +1) s(0.5s +1)(0.1s +1)(0.033s +1)
ω=1, 20 lg K =20lg10=20dB
ω
1
=1 / 0.5 = 2,ω
2
=1/ 0.33
=3,
ω
3
=1 / 0.1
=10,
ω
4
=1/ 0.033 =30
ω
2
= 3时，L(ω1 ) −L(ω2 ) = 40(lg ω2 −lg ω1 ) 14 −L(ω2 ) = 40(lg 4.35 −lg 2)
L(ω
2
) = 7dB
L(ω
3 =10) −L(ω
2
=3) = −20(lg ω
3
−lg ω
2
) = −3.37dB
所以ω2 <ωc 2 <ω3
L(ω
2 ) = 20(lg ω
c 2
−lg ω
2
) = 20(lg ω
c 2
/ 3) =7dB
ω
c 2
=6.72
ϕ(ω
c
) = −90°−arctg 0.5ω
c 2
−arctg 0.1ω
c 2
+arctg 0.33ω
c 2
−
arctg 0.033ω
c 2
= −90°−arctg 3.36 −arctg 0.672 +arctg 2.22 −arctg 0.222
50
40
20
10
-
-20
-30
-40
-60dB/dec
校正环节为相位超前校正，校正后系统的相角裕量增加，系统又不稳定变为稳定，且有一定的稳定裕度，降低系统响应的超调量；剪切频率增加，系统快速性提高；但是高频段增益提
完美WORD格式
高，系统抑制噪声能力下降。

3 专业整理知识分享。