拉姆齐模型中的动态最优方法
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2003 年
增 刊
FI NANCE &ECONOMICS
《财经科学 》
May. 2003
Supplement
【研究生论坛】
拉 姆 齐模型 中 的动态 最 优方法
李海明
成都 610074 ] [西南财经大学
③ ④
- n = p > 0 , 可 见最
优人均 消费 是最 优人均 资本的 增函 数 。当 c 3 下降时 , k 3 也 会下降 。因为这时将有更多的人口 来分经 济的 “蛋 糕” 。当 时 间贴现率ρ 上升 , f′ (k 3 ) =ρ+ n 也 上升 。由于边 际产 量是 递减的 , 故 k 3 下降 , 从而 c 3 下降 。由于ρ代表因放 弃当前 消费而导致的效用损失率 , 故ρ越大 , 人们越不愿放弃当前消 费 , 从而现期消费增 加 , 而 储 蓄从 而资 本 积累 减少 , 这样 未 来的均衡值 k 3 与 c 3 会下降 。 最后 , 我们来看式 ⑥ (横 截条件) lim λ t kt = 0 告 诉了 我们
t →∞
dt ] =λ t [ n - f′ dt
⑤
lim λ t kt = 0 (横截条件)
⑥ λ d t ρ =u ′ ( ct ) e - t dt d λ , 对 t 求 微分 得 t u″ dt
现在我们来求均衡条件与均衡解 。 将式 ② 代入式 ⑤, 消 去共态 变量λ t 得 :
[ n - f′( kt ) ] 。由式 ② ′ ( ct ) e - ρt 知λ t = u ( ct )
(ct ) 是递减的 , 即 u′ (ct ) < 0 , 这 正是 式 ③ 所 表达 的含 义 。 - nk
而且 , 我们也知道参数 n 与 (的变化如何影响均衡解的 。若人 口增长 率 n 上升 , 则明显地 c 3 会下 降 。对 c 3 = f (kt )
dc 3 3 求关 于 k 的微分 , 有 : = f′ ( k 3 ) dk 3
ρ 数 U (ct ) e - t , 而不是象一 般最 优化 理论 中的 拉格 朗日 乘子 ∞ -ρ t。 λ 项一样进入原始 目标函数 。 ∫ 0 u (c t ) e t 乘 的对 象是状
对 ct 求关于 t 的 微分 : 条件
dkt dct = 0 可知 = 0 。由式 ⑦ 得 : cσ t t [f′( k t) dt dt - 1 (n +ρ )。 ] f′ (kt ) = n +ρ] k 3 = f′
故
1 dk K ′ = + nkt 。这样人口增长率就通过微分过程进入了 模 N dt dkt dk + nkt ] = yt - ct - nkt dt dt
型 。以上结果代入式 ① 得:
yt = ct +
技术进步与无资 本折 旧 ; 劳 动力 等于 人口 数 , 具有 稳定 人口 增长率 n; 产出 Y 分作储 蓄 S 与消费 C , 但 储蓄可以顺利地转 化为投资 I , 从而加到资本存 量上 。所 有变量都 是时间 的函数
①
其中 yt 、kt 、ct 分别是产 出 、资本 与消费的 人均值 。由于
kt = K dKt dkt dNt t , 故 Kt = kt Nt , 从而 K ′ = = Nt + kt , 进而得 Nt dt dt dt
dkt dNt / dt dNt / dt 1 K ′ = + kt , 我们 发现 = n (人 口 增长 率) , N dt Nt Nt
目标问题是一个 最优 规划 。经济 计划 者的 任务 是使 当前
一代人与未 来 所有 代人 的 社会 效 用现 值 最 大化 : max ∫ 0 ( Ct ) e
-ρ t
∞
U
dt
ρt
参数ρ> 0 为时间贴现率 , 表示因 放弃当 前消费而 导致的 效用损失率 , 它是 一种主 观贴 现率 。e 实际上 是 一种复 利 贴 现方法 , 表示家庭 对消 费效用 的 时间偏 好 , 时 间越 近效 用越
综上可知均衡解为 :
c 3 = F (kt ) k 3 =f
′ - 1
态变量 kt 的运动方程 : 条件是 :
dkt = yt - ct - nkt 。 dt
- nk 3
( n +ρ )
⑧
现在的目标是让 汉密 尔顿 函数 值最 大化 。最大 值原 理的 9H = 0 (控制变量一阶条件) ] λ = u′ (c e -ρt ② ) t 9c λ本质上是一个拉格朗日乘子 , 从而 应该具有影 子价格的 概念 。 92 H < 0 (控制变量二阶条件) ] u″ (ct ) < 0 9c2
( 一) 假设 : 经济中有两种 投入要 素资本 K 与 劳动 N ; 无
αK 函数是一次齐次的 : F ( Nt ) t ,α
) 。令α= K ′ 1 , 可得 : N K Y t yt = =F ( , 1) Nt Nt
= f ( kt )
=
Ct + K ′ 1 = ct + K ′ Nt Nt
从
Smith 研究一国国民财富 增长的 源泉以 来 , 经济增 长问
Байду номын сангаас
题就成为经济 学 中一个 古 老而时 新 的论题 ; 迄今 为止
已提出了众 多 理论 模型 , 拉 姆齐 模 型是 其 中一 个 经 典模 型 。 它的形成 , 拉姆 齐 (Ramsey , 1928) 作了 开拓 性 贡献 , 并 为 卡斯 (Ca ss , 1965) 和库 普 曼 斯 ( Koopmans , 1965 ) 等 继承 与发展 。该模型从 典型 家庭消 费 的效用 函 数出发 , 利用 变分 法或动态最优法 来探讨 消费 者福利 与经 济增 长的 关系 , 并从 中找到了一条趋 于稳态 均衡 点的动 态最 优增 长路 径 。国 内这 方面的文献不多 , 在教 科书中 的 讨论要 么 过于简 略 , 要 么显 得冗长 。在本文主要 集中 讨论 动态最 优方 法这 一技 术工 具在 这一模型中的使 用 , 力图 用较 浅显的 语言 将拉 姆齐 的主 要思 想表达出来 。因此 , 阅读本文只需 一般的 微积分 知识就 够了 。 在论文之末 , 对拉姆齐模型与索洛模型作了对比分析 。 二 、拉姆齐模型的假设与目标问题
dkt 9H dkt = λ (状态变量 kt 的运动方程) ] = yt - ct - nkt dt 9 dt d λ t 9H = (共 态 变 量λ t 的 运 动 方程 ) dt 9k ( kt ) ]
t →∞
均衡状态下 , 人均资本 kt 与人 均消 费 ct 都达到了最大值 。 这可由式 ③ 加以验 证 。对 于效 用函 数 , 我 们假定 边 际效用 u′
= U ( Ct ) , 它有如下特性 : U′( C) ( 二) 目标问题 > 0 , U″( C) < 0。
s1t 1ct = yt - nkt k ( 0) = k0
dkt dkt Ζ = yt - ct - nkt dt dt
该动态最优控制问题中状态变量为 kt , 控制变量为 ct 。如 上构建的 模 型 , 以 代表 性家 庭 实 现长 期 效用 最 大化 为 目 标 , 这就涉及最优消费与投资的 选择 。在拉 姆齐 (Ramse y , 1928) 的经典 论文 中 , 是采 用变分 法来 求解 的 , 而 且是 对总 量进 行 分析 ; 卡 斯 ( Ca ss , 1965 ) 和 库 普 曼 斯 ( K oopma ns , 1965 ) 则对之作了改 进 。这里 我们 介绍动 态最 优控 制方 法对 本问 题 的求解 。注意 , 重要的 不是 均 衡解 的结 果 , 而 是 求解 均衡 的 方法与过程 , 因为前者会随约束条件的变化而千差万别 。
什么 。 在经济增 长理 论中 , 横 截条 件又 被称 作非 蓬齐 对策 条 件 ( non - Pozi - game - condition) , 它是 针对蓬 齐对 策制定 的 跨时最优增长路径的限 制条件 。查 尔斯 (蓬 齐是 1920 年代 连 锁信游戏的发 明者 并靠之 发了 大财 , 但 最终 因负 债过 度而 以 欺诈罪入狱进 而死 于贫困 。这种蓬 齐对 策的 实质 是用 新债 抵 旧债 , 通过高额 负债 方式致 富 。经 济学 家为 避免 具有 投机 心 理的家庭或政 府走 入这条 靠借 贷求发 展的 歧途 , 提出 了非 蓬 齐对策条件 。 ρ ρ 由于λ ′ ct ) e - t , 横截 条件 化作 : lim u′ ( ct ) e - t kt = t =u
汉密尔顿函数中符号 ( > 0 被称为共态变量 , 它同 状态变 量 kt 紧密联系 : 度量的是 kt 的影子 价值 。它类 似于一 般最 优 化理论中的拉格朗日乘子 , 但如同 c 与 y 一样 , (在 不同时刻 有不同取值 , 从而不再是一个常数 : λ=λ (t ) 。 汉密尔顿函数的 构造 特点就 是共 态变 量 ( 项进 入被 积函
0 。若 lim u′ (c) e -ρt kt = 0 , 这意味着 t →∞人均消费的 边际效
1 12
2003 年
增 刊
FI NANCE &ECONOMICS
dK t / dt (资本增长率) Kt
《财经科学 》
May. 2003
Supplement
三 、问题求解 要求得最大解须 应用 最大 值原 理与 汉密 尔顿 函数 。构造 的汉密尔顿函数为 :
定义 1 1 产出 是 资本 与劳 动 的函 数 , 即 Y t = F ( K t , Nt ) 。 按照标准假设 , YK、Y N> 0 , Y K K 、Y NN < 0 ; 生产函数 规模报 酬 不变 。 定义 2 1 消费的结果 是产生 社会效 用 U , 它 代表了 社会因 为消费而得到的社会福利 。即社会效用 U 是消费 C 的 函数 : U
H = u (ct ) e -ρt +λ t (yt - c t - nkt )
=0Ζ
=
dNt / dt (人 口增 长率 = n) 。这样 Nt
便会产生一条 均衡 增长路 径 。我们 需要 寻找 这条 均衡 增长 路 径。 同样按照式 ④,
nkt (f (kt ) - nkt 。 dct dkt dkt = f′ (kt ) - n , 代 入均衡 dt dt dt - n - ρ] = 0 dct = 0 将 导致 : yt - ct - nkt = 0 ] ct = yt dt
t →∞
dct - ρ e t -ρ u′( ct ) e -ρt , 从而可得 : dt dct dct -ρt t t u″( ct ) = u″ (ct ) e -ρ u′ (ct ) e - ρ = u′ (ct ) e - ρ dt dt [ n - f′ (kt ) ] ct u″(ct ) dct / dt 整理得 : = n +ρ- f′ (ct ) u ′ (c t ) ct ct u″ (ct ) ct 其中 = = u″ (ct ) 实 际 上 是边 际 效 用 u′ u′ (ct ) u′(ct ) ( ct ) 关于 消费 ct 的 弹性 。它 反映了 效用函数 的弯曲 程度 。令
1。
这就是模型的约束条件 。它表明人均产量 yt 会作三部 分 : 一是人均消费 ct , 二是为所有人口分摊的资本增量即资本的深 化 , 三是为新增人口平均配备的资本量 nkt 即 资本 的广 化 。 把社会效用视作人 均 消费的 函 数 , 我们 可以 完整 地得 到 一个动态最优控制模型 :
ρ max ∫∞0 u ( ct ) e - t dt
一 、引 言
重要 。 现在来看此最优规 划的 约束条 件 。产出 Y 是 储蓄 S 与 消 费 C 之和 , 且 St = It =
dK = k′ 。因此有 : Yt = F ( Kt , Nt ) = Ct dt + St = Ct + I ′ 。由于生 产函数 规模 报酬不 变 , 即 生产 t = Ct + K =α F (K F ( Ct + t , Nt ) =α
增 刊
FI NANCE &ECONOMICS
《财经科学 》
May. 2003
Supplement
【研究生论坛】
拉 姆 齐模型 中 的动态 最 优方法
李海明
成都 610074 ] [西南财经大学
③ ④
- n = p > 0 , 可 见最
优人均 消费 是最 优人均 资本的 增函 数 。当 c 3 下降时 , k 3 也 会下降 。因为这时将有更多的人口 来分经 济的 “蛋 糕” 。当 时 间贴现率ρ 上升 , f′ (k 3 ) =ρ+ n 也 上升 。由于边 际产 量是 递减的 , 故 k 3 下降 , 从而 c 3 下降 。由于ρ代表因放 弃当前 消费而导致的效用损失率 , 故ρ越大 , 人们越不愿放弃当前消 费 , 从而现期消费增 加 , 而 储 蓄从 而资 本 积累 减少 , 这样 未 来的均衡值 k 3 与 c 3 会下降 。 最后 , 我们来看式 ⑥ (横 截条件) lim λ t kt = 0 告 诉了 我们
t →∞
dt ] =λ t [ n - f′ dt
⑤
lim λ t kt = 0 (横截条件)
⑥ λ d t ρ =u ′ ( ct ) e - t dt d λ , 对 t 求 微分 得 t u″ dt
现在我们来求均衡条件与均衡解 。 将式 ② 代入式 ⑤, 消 去共态 变量λ t 得 :
[ n - f′( kt ) ] 。由式 ② ′ ( ct ) e - ρt 知λ t = u ( ct )
(ct ) 是递减的 , 即 u′ (ct ) < 0 , 这 正是 式 ③ 所 表达 的含 义 。 - nk
而且 , 我们也知道参数 n 与 (的变化如何影响均衡解的 。若人 口增长 率 n 上升 , 则明显地 c 3 会下 降 。对 c 3 = f (kt )
dc 3 3 求关 于 k 的微分 , 有 : = f′ ( k 3 ) dk 3
ρ 数 U (ct ) e - t , 而不是象一 般最 优化 理论 中的 拉格 朗日 乘子 ∞ -ρ t。 λ 项一样进入原始 目标函数 。 ∫ 0 u (c t ) e t 乘 的对 象是状
对 ct 求关于 t 的 微分 : 条件
dkt dct = 0 可知 = 0 。由式 ⑦ 得 : cσ t t [f′( k t) dt dt - 1 (n +ρ )。 ] f′ (kt ) = n +ρ] k 3 = f′
故
1 dk K ′ = + nkt 。这样人口增长率就通过微分过程进入了 模 N dt dkt dk + nkt ] = yt - ct - nkt dt dt
型 。以上结果代入式 ① 得:
yt = ct +
技术进步与无资 本折 旧 ; 劳 动力 等于 人口 数 , 具有 稳定 人口 增长率 n; 产出 Y 分作储 蓄 S 与消费 C , 但 储蓄可以顺利地转 化为投资 I , 从而加到资本存 量上 。所 有变量都 是时间 的函数
①
其中 yt 、kt 、ct 分别是产 出 、资本 与消费的 人均值 。由于
kt = K dKt dkt dNt t , 故 Kt = kt Nt , 从而 K ′ = = Nt + kt , 进而得 Nt dt dt dt
dkt dNt / dt dNt / dt 1 K ′ = + kt , 我们 发现 = n (人 口 增长 率) , N dt Nt Nt
目标问题是一个 最优 规划 。经济 计划 者的 任务 是使 当前
一代人与未 来 所有 代人 的 社会 效 用现 值 最 大化 : max ∫ 0 ( Ct ) e
-ρ t
∞
U
dt
ρt
参数ρ> 0 为时间贴现率 , 表示因 放弃当 前消费而 导致的 效用损失率 , 它是 一种主 观贴 现率 。e 实际上 是 一种复 利 贴 现方法 , 表示家庭 对消 费效用 的 时间偏 好 , 时 间越 近效 用越
综上可知均衡解为 :
c 3 = F (kt ) k 3 =f
′ - 1
态变量 kt 的运动方程 : 条件是 :
dkt = yt - ct - nkt 。 dt
- nk 3
( n +ρ )
⑧
现在的目标是让 汉密 尔顿 函数 值最 大化 。最大 值原 理的 9H = 0 (控制变量一阶条件) ] λ = u′ (c e -ρt ② ) t 9c λ本质上是一个拉格朗日乘子 , 从而 应该具有影 子价格的 概念 。 92 H < 0 (控制变量二阶条件) ] u″ (ct ) < 0 9c2
( 一) 假设 : 经济中有两种 投入要 素资本 K 与 劳动 N ; 无
αK 函数是一次齐次的 : F ( Nt ) t ,α
) 。令α= K ′ 1 , 可得 : N K Y t yt = =F ( , 1) Nt Nt
= f ( kt )
=
Ct + K ′ 1 = ct + K ′ Nt Nt
从
Smith 研究一国国民财富 增长的 源泉以 来 , 经济增 长问
Байду номын сангаас
题就成为经济 学 中一个 古 老而时 新 的论题 ; 迄今 为止
已提出了众 多 理论 模型 , 拉 姆齐 模 型是 其 中一 个 经 典模 型 。 它的形成 , 拉姆 齐 (Ramsey , 1928) 作了 开拓 性 贡献 , 并 为 卡斯 (Ca ss , 1965) 和库 普 曼 斯 ( Koopmans , 1965 ) 等 继承 与发展 。该模型从 典型 家庭消 费 的效用 函 数出发 , 利用 变分 法或动态最优法 来探讨 消费 者福利 与经 济增 长的 关系 , 并从 中找到了一条趋 于稳态 均衡 点的动 态最 优增 长路 径 。国 内这 方面的文献不多 , 在教 科书中 的 讨论要 么 过于简 略 , 要 么显 得冗长 。在本文主要 集中 讨论 动态最 优方 法这 一技 术工 具在 这一模型中的使 用 , 力图 用较 浅显的 语言 将拉 姆齐 的主 要思 想表达出来 。因此 , 阅读本文只需 一般的 微积分 知识就 够了 。 在论文之末 , 对拉姆齐模型与索洛模型作了对比分析 。 二 、拉姆齐模型的假设与目标问题
dkt 9H dkt = λ (状态变量 kt 的运动方程) ] = yt - ct - nkt dt 9 dt d λ t 9H = (共 态 变 量λ t 的 运 动 方程 ) dt 9k ( kt ) ]
t →∞
均衡状态下 , 人均资本 kt 与人 均消 费 ct 都达到了最大值 。 这可由式 ③ 加以验 证 。对 于效 用函 数 , 我 们假定 边 际效用 u′
= U ( Ct ) , 它有如下特性 : U′( C) ( 二) 目标问题 > 0 , U″( C) < 0。
s1t 1ct = yt - nkt k ( 0) = k0
dkt dkt Ζ = yt - ct - nkt dt dt
该动态最优控制问题中状态变量为 kt , 控制变量为 ct 。如 上构建的 模 型 , 以 代表 性家 庭 实 现长 期 效用 最 大化 为 目 标 , 这就涉及最优消费与投资的 选择 。在拉 姆齐 (Ramse y , 1928) 的经典 论文 中 , 是采 用变分 法来 求解 的 , 而 且是 对总 量进 行 分析 ; 卡 斯 ( Ca ss , 1965 ) 和 库 普 曼 斯 ( K oopma ns , 1965 ) 则对之作了改 进 。这里 我们 介绍动 态最 优控 制方 法对 本问 题 的求解 。注意 , 重要的 不是 均 衡解 的结 果 , 而 是 求解 均衡 的 方法与过程 , 因为前者会随约束条件的变化而千差万别 。
什么 。 在经济增 长理 论中 , 横 截条 件又 被称 作非 蓬齐 对策 条 件 ( non - Pozi - game - condition) , 它是 针对蓬 齐对 策制定 的 跨时最优增长路径的限 制条件 。查 尔斯 (蓬 齐是 1920 年代 连 锁信游戏的发 明者 并靠之 发了 大财 , 但 最终 因负 债过 度而 以 欺诈罪入狱进 而死 于贫困 。这种蓬 齐对 策的 实质 是用 新债 抵 旧债 , 通过高额 负债 方式致 富 。经 济学 家为 避免 具有 投机 心 理的家庭或政 府走 入这条 靠借 贷求发 展的 歧途 , 提出 了非 蓬 齐对策条件 。 ρ ρ 由于λ ′ ct ) e - t , 横截 条件 化作 : lim u′ ( ct ) e - t kt = t =u
汉密尔顿函数中符号 ( > 0 被称为共态变量 , 它同 状态变 量 kt 紧密联系 : 度量的是 kt 的影子 价值 。它类 似于一 般最 优 化理论中的拉格朗日乘子 , 但如同 c 与 y 一样 , (在 不同时刻 有不同取值 , 从而不再是一个常数 : λ=λ (t ) 。 汉密尔顿函数的 构造 特点就 是共 态变 量 ( 项进 入被 积函
0 。若 lim u′ (c) e -ρt kt = 0 , 这意味着 t →∞人均消费的 边际效
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2003 年
增 刊
FI NANCE &ECONOMICS
dK t / dt (资本增长率) Kt
《财经科学 》
May. 2003
Supplement
三 、问题求解 要求得最大解须 应用 最大 值原 理与 汉密 尔顿 函数 。构造 的汉密尔顿函数为 :
定义 1 1 产出 是 资本 与劳 动 的函 数 , 即 Y t = F ( K t , Nt ) 。 按照标准假设 , YK、Y N> 0 , Y K K 、Y NN < 0 ; 生产函数 规模报 酬 不变 。 定义 2 1 消费的结果 是产生 社会效 用 U , 它 代表了 社会因 为消费而得到的社会福利 。即社会效用 U 是消费 C 的 函数 : U
H = u (ct ) e -ρt +λ t (yt - c t - nkt )
=0Ζ
=
dNt / dt (人 口增 长率 = n) 。这样 Nt
便会产生一条 均衡 增长路 径 。我们 需要 寻找 这条 均衡 增长 路 径。 同样按照式 ④,
nkt (f (kt ) - nkt 。 dct dkt dkt = f′ (kt ) - n , 代 入均衡 dt dt dt - n - ρ] = 0 dct = 0 将 导致 : yt - ct - nkt = 0 ] ct = yt dt
t →∞
dct - ρ e t -ρ u′( ct ) e -ρt , 从而可得 : dt dct dct -ρt t t u″( ct ) = u″ (ct ) e -ρ u′ (ct ) e - ρ = u′ (ct ) e - ρ dt dt [ n - f′ (kt ) ] ct u″(ct ) dct / dt 整理得 : = n +ρ- f′ (ct ) u ′ (c t ) ct ct u″ (ct ) ct 其中 = = u″ (ct ) 实 际 上 是边 际 效 用 u′ u′ (ct ) u′(ct ) ( ct ) 关于 消费 ct 的 弹性 。它 反映了 效用函数 的弯曲 程度 。令
1。
这就是模型的约束条件 。它表明人均产量 yt 会作三部 分 : 一是人均消费 ct , 二是为所有人口分摊的资本增量即资本的深 化 , 三是为新增人口平均配备的资本量 nkt 即 资本 的广 化 。 把社会效用视作人 均 消费的 函 数 , 我们 可以 完整 地得 到 一个动态最优控制模型 :
ρ max ∫∞0 u ( ct ) e - t dt
一 、引 言
重要 。 现在来看此最优规 划的 约束条 件 。产出 Y 是 储蓄 S 与 消 费 C 之和 , 且 St = It =
dK = k′ 。因此有 : Yt = F ( Kt , Nt ) = Ct dt + St = Ct + I ′ 。由于生 产函数 规模 报酬不 变 , 即 生产 t = Ct + K =α F (K F ( Ct + t , Nt ) =α