第四节 基本不等式

第四节基本不等式
一、基础知识批注——理解深一点
1
2．算术平均数与几何平均数
设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b
2，几何平均数为为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
3．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则
(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2
4(简记：和定积最大)．
和定积最大，积定和最小：两个正数的和为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小值.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a
b
≥2(a ，b ∈R ，且a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． 三、基础小题强化——功底牢一点
(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a ≥0，b ≥0时，
a ＋b
2
≥ab .( ) (2)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与
a ＋b
2
≥ab 成立的条件是相同的．( ) (3)x ＞0且y >0是x y ＋y
x ≥2的充要条件．( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
(二)选一选
1．设a >0，则9a ＋1
a 的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6
D ．7
解析：选C 因为a >0，所以9a ＋1
a ≥2 9a ×1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝1
3
时，
9a ＋1
a 取得最小值6.故选C.
2．若x >0，y >0，且2(x ＋y )＝36，则xy 的最大值为( ) A ．9 B ．18 C ．36
D ．81
解析：选A 由2(x ＋y )＝36，得x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y
2
＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．
3．“x >0”是“x ＋1
x ≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C 当x >0时，x ＋1
x ≥2
x ·1x ＝2( 当且仅当
⎭⎫x ＝1x 时，等号成立.因为x ，1
x
同号，所以若x ＋1x ≥2，则x >0，1x >0，所以“x >0”是“x ＋1
x
≥2”成立的充要条件，故选C.
(三)填一填
4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________． 解析：x 2＋2y 2＝x 2＋(2y )2≥2x (2y )＝22， 当且仅当x ＝2y 且xy ＝1时等号成立． 所以x 2＋2y 2的最小值为2 2. 答案：2 2
5．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m 2. 解析：设一边长为x m ，则另一边长可表示为(10－x )m ，
由题知0<x <10，则面积S ＝x (10－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋10－x 22
＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时等号成立，故当矩形的长与宽相等，且都为5 m 时面积取到最大值25 m 2.
答案：25
考点一 利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值的基本方法有拼凑法、常数代换法等.
[典例] (1)已知a >2，则a ＋3
a －2
的最小值是( ) A ．6 B ．2 C ．23＋2
D ．4
(2)设0<x <3
2，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________．
(3)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，则1x ＋1
y 的最小值为________．
(4)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值为________． [解析] (1)拼凑法
因为a >2，所以a －2>0，所以a ＋
3a －2＝(a －2)＋3a －2
＋2≥2 (a －2)·3
a －2
＋2＝23
＋2，当且仅当a －2＝
3
a －2
，即a ＝2＋3时取等号．故选C. (2)拼凑法
y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎡⎦⎤2x ＋(3－2x )22＝92，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝3
4时，
等号成立．
∵3
4∈⎝⎛⎭
⎫0，32， ∴函数y ＝4x (3－2x )⎝⎛⎭⎫0<x <32的最大值为9
2. (3)常数代换法
∵x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，
∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y
y ＝1＋2＋2y x ＋x y
≥3＋2 2y x ·x
y
＝3＋2 2. 当且仅当2y x ＝x y 且x ＋2y ＝1，即x ＝2－1，y ＝1－2
2时，取得等号．
∴1x ＋1
y 的最小值为3＋2 2. (4)拼凑法 因为x >0，y >0，
所以8＝x ＋2y ＋x ·2y ≤(x ＋2y )＋⎝⎛⎭⎫x ＋2y 22
， 令x ＋2y ＝t ，则
8≤t ＋t 2
4，即t 2＋4t －32≥0，
解得t ≥4或t ≤－8，
即x ＋2y ≥4或x ＋2y ≤－8(舍去)，
当且仅当x ＝2y ，即x ＝2，y ＝1时等号成立． [答案] (1)C (2)9
2
(3)3＋22 (4)4
[解题技法] 基本不等式求最值的2种常用方法
[题组训练]
1.(常数代换法)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1
ab 的最小值为( ) A ．2 B.12 C ．4
D.14
解析：选B 因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号)． 又因为2a ＋b ＝4，∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为1
2
.故选B.
2.(两次基本不等式)设x >0，y >0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40 B ．10 C ．4
D ．2
解析：选D 因为x ＋4y ＝40，且x >0，y >0，
所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy .(当且仅当x ＝4y 时取“＝”) 所以4xy ≤40.所以xy ≤100. 所以lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 所以lg x ＋lg y 的最大值为2. 3.(拼凑法)设a ＞b ＞0，则a 2＋1
ab ＋1
a (a －
b )的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：选D a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝(a 2－ab )＋1(a 2－ab )＋1ab
＋ab ≥2(a 2－ab )·1
(a 2－ab )
＋
2
1ab ×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab ＝ab ，即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 4.(常数代换法)已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 解析：由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1
y ＝1，
所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫
2x ＋1y ＝3＋2y x ＋x
y ≥3＋2 2. 当且仅当x ＝2y 时取等号． 答案：3＋2 2
考点二 基本不等式的实际应用
[典例] 某工厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝1
3x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，
C (x )＝51x ＋10 000
x －1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
[解] (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：
当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫13x 2＋10x －250＝－1
3x 2＋40x －250. 当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－⎝⎛⎭⎫51x ＋
10 000x －1 450－250＝1 200－⎝
⎛⎭⎫x ＋10 000x . 所以L (x )＝⎩⎨
⎧
－1
3x 2
＋40x －250，0<x <80，
1 200－⎝
⎛⎭⎫x ＋10 000x ，x ≥80.
(2)当0<x <80时，L (x )＝－1
3
(x －60)2＋950.
此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎫x ＋10 000
x ≤1 200－2 x ·10 000x
＝1 200－200＝1 000.
此时x ＝
10 000
x ，
即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元． 由于950<1 000，
所以当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．
[解题技法] 有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．
(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [题组训练]
1．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．
解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600
x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900
x
·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.
答案：30
2．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．
解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200
x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭
⎫x ＋225
x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225
x
(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．
答案：15 [课时跟踪检测]
1．(2019·长春调研)“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选D 当a >0，b >0时，a ＋b 2≥ab ，即ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，当a ＝b 时，ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22不成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的充分条件．当ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22
时，a ，b 可以异号，故a >0，b >0不一定成立，故“a >0，b >0”不是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的必要条件．故“a >0，b >0”是“ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22”的既不充分也不必要条件，故选D.
2．已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为1
2
D ．有最小值为1
2
解析：选C 因为x >0，y >0，x ＋2y ＝2， 所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤1
2，
当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝1
2
时，等号成立．
所以xy 有最大值，且最大值为1
2
.
3．若实数a ，b 满足1a ＋2
b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2
D ．4
解析：选C 因为1a ＋2
b ＝ab ，所以a >0，b >0， 由ab ＝1a ＋2
b
≥2
1a ·2b
＝2 2ab
， 所以ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)， 所以ab 的最小值为2 2.
4．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1
b ，则m ＋n 的最小值是
( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选B 由题意知ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1
b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号，故m ＋n 的最小值为4.
5．(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12
D ．16
解析：选B 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x ＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫4y ＋1x ＝4x y ＋y x ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当
4x y ＝y
x
，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 6．若正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，则xy 的最大值为( ) A.43 B.53 C.54
D ．2
解析：选D 30＝4x 2＋9y 2＋3xy ≥236x 2y 2＋3xy ， 即30≥15xy ，所以xy ≤2， 当且仅当4x 2＝9y 2，即x ＝3，y ＝23
3
时等号成立． 故xy 的最大值为2.
7．设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－3
2的最小值为( )
A ．0 B.1
2
C ．1
D.32
解析：选A y ＝x ＋
22x ＋1－32＝⎝⎛⎭
⎫x ＋12＋1x ＋
12
－2≥2
⎝⎛⎭⎫x ＋12·1x ＋
1
2
－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12
，即x ＝1
2时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.
8．已知x >1，y >1，且log 2x ，1
4，log 2y 成等比数列，则xy 有( )
A ．最小值 2
B ．最小值2
C ．最大值 2
D ．最大值2
解析：选A ∵x >1，y >1，∴log 2x >0，log 2y >0.又∵log 2x ，14，log 2y 成等比数列，∴
1
16＝log 2x ·log 2y ，∴由基本不等式，得log 2x ＋log 2y ≥2log 2x ·log 2y ＝1
2，当且仅当log 2x ＝log 2y
时取等号，故log 2(xy )≥1
2
，即xy ≥ 2.选A.
9．当3＜x ＜12时，函数y ＝
(x －3)(12－x )
x
的最大值为________．
解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36
x ＝－⎝⎛⎭
⎫x ＋36
x ＋15≤－2 x ·36
x
＋15＝3， 当且仅当x ＝36
x ，即x ＝6时，y max ＝3.
答案：3
10．(2018·南昌摸底调研)已知函数y ＝x ＋m
x －2
(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为________．
解析：∵x >2，m >0，∴y ＝x －2＋m
x －2
＋2≥2 (x －2)·m
x －2
＋2＝2m ＋2，当x ＝2
＋m 时取等号，又函数y ＝x ＋
m
x －2
(x >2)的最小值为6，∴2m ＋2＝6，解得m ＝4. 答案：4
11．(2018·天津高考)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18
b 的最小值为________．
解析：∵a －3b ＋6＝0，∴a －3b ＝－6. ∴2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－
3b
＝22a
－3b
＝22－6＝2×2－
3＝14
.
当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝1时等号成立．
答案：1
4
12．(2018·聊城一模)已知a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，则a ＋b 的最小值为________． 解析：由a >0，b >0,3a ＋b ＝2ab ，得
32b ＋1
2a
＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫32b ＋12a ＝2＋3a 2b ＋b
2a ≥2＋3，当且仅当b ＝3a 时等号成立，则a ＋b 的最小值为2＋ 3.
答案：2＋ 3
13．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度
x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎨⎧
1
75(x 2
－130x ＋4 900)，x ∈[50，80)，
12－x
60，x ∈[80，120].
(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？
(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？
解：(1)当x ∈[50,80)时，y ＝
175(x 2－130x ＋4 900)＝1
75
[(x －65)2＋675]， 所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为1
75×675＝9.
当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x
60
单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－120
60
＝10.
因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少．
(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120
x ， ①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝
⎛⎭⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭
⎫2 x ×4 900x －130＝16，
当且仅当x ＝4 900
x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；
②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x
－2为减函数， 所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.
因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．。