成才之路数学选修2-1之1-1-1 (30)

2.3.3
一、选择题
1．如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别是e 1，e 2，e 3与e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )
A ．e 2<e 1<e 3<e 4
B ．e 2<e 1<e 4<e 3
C ．e 1<e 2<e 3<e 4
D ．e 1<e 2<e 4<e 3
[答案] A
[解析] 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大，开口越广阔．
2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )
A.x 23－y 2
4＝1 B.x 24－y 2
3＝1 C.x 25－y 2
2＝1
D.x 22－y 2
5
＝1 [答案] D
[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，依题意
c ＝7，
∴方程可化为x 2a 2－y 2
7－a 2＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
a 2－y 2
7－a 2＝1y ＝x －1.得， (7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2.
∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a
2＝－23，解得a 2＝2.
故所求双曲线方程为x 22－y 2
5
＝1，故选D.
3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )
[答案] C
[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2
b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但
B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；
C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.
4．(2010·潍坊模拟)双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾
斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )
A.6
B.3
C.2
D.33
[答案] B
[解析] 在直角△MF 1F 2中，∠F 1F 2M ＝90°，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，于是2c
|MF 1|
＝cos30°＝
32，|MF 2|2c ＝tan30°＝33，从而有|MF 1|＝433c ，|MF 2|＝233
c ，代入|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得233c ＝2a ，故e ＝c
a
＝3，故选B.
5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，
则双曲线离心率的取值范围为( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
[答案] B
[解析] 由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，
∴6a ≥2c ，c
a
≤3，故离心率的范围是(1,3]，选B.
6．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )
A.1e 21＋1
e 22＝4 B ．e 21＋e 2
2＝4
C.1e 21＋1
e 22＝2
D ．e 21＋e 22＝2
[答案] C
[解析] 设椭圆长半轴长为a ，双曲线实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧
|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①
||PF 1|－|PF 2
||＝2m ②
①2＋②2得：2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2得2＝1e 21＋1
e 22
，故选C.
7．(08·山东)设椭圆C 1的离心率为5
13，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到
椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )
A.x 242－y 2
32＝1 B.x 2132－y 2
52＝1 C.x 232－y 2
42＝1
D.x 2132－y 2
12
2＝1 [答案] A
[解析] 由已知得椭圆中a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，由此知道在双曲线中a ＝4，c ＝5，故双曲线中b ＝3，双曲线方程为x 242－y 2
3
2＝1.
8．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2
b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2
的值( )
A ．大于0且小于1
B ．大于1
C ．小于0
D ．等于0
[答案] C
[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a ＝lg a 4－b 4a 2<lg a 2
a 2＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.
9．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线
D ．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，
由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．
10．(2010·浙江理，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在
双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为( )
A ．3x ±4y ＝0
B ．3x ±5y ＝0
C ．4x ±3y ＝0
D ．5x ±4y ＝0
[答案] C [解析] 如图：
由条件|F 2A |＝2a ，|F 1F 2|＝2c
又知|PF 2|＝|F 1F 2|，知A 为PF 1中点，由a 2＋b 2＝c 2，有|PF 1|＝4b 由双曲线定义： |PF 1|－|PF 2|＝2a ，则4b －2c ＝2a
∴2b ＝c ＋a ，又有c 2＝a 2＋b 2，(2b －a )2＝a 2＋b 2， ∴4b 2－4ab ＋a 2＝a 2＋b 2 3b 2＝4ab ，∴b a ＝43
，
∴渐近线方程：y ＝±4
3x .故选C.
二、填空题
11．设中心在原点的椭圆与双曲线2x 2－2y 2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是________．
[答案] x 22
＋y 2
＝1
[解析] 双曲线为x 212－y 2
12
＝1.
∴双曲线的焦点为(1,0)和(－1,0)，离心率为 2.则椭圆的离心率为22，又e ＝c a ＝22
，c ＝1，
∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆的方程是x 22
＋y 2
＝1.
12．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N
两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于____________．
[答案] 2
[解析] 由题意得，a ＋c ＝b 2
a ，
即a 2＋ac ＝b 2，a 2＋ac ＝c 2－a 2， ∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0. 解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．
13．双曲线x 29－y 2
16＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P
到x 轴的距离为____________．
[答案] 3.2
[解析] 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n (m >n )，∴a ＝3，b ＝4，c ＝5.由双曲线的定义知，m －n ＝2a ＝6，
又PF 1⊥PF 2.
∴△PF 1F 2为直角三角形． 即m 2＋n 2＝(2c )2＝100.
由m －n ＝6，得m 2＋n 2－2mn ＝36， ∴2mn ＝m 2＋n 2－36＝64，mn ＝32. 设点P 到x 轴的距离为d ， S △PF 1F 2＝12d |F 1F 2|＝1
2|PF 1|·|PF 2|，
即12d ·2c ＝12mn .∴d ＝mn 2c ＝32
10＝3.2， 即点P 到x 轴的距离为3.2.
14．(2010·北京理，13)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦
点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．
[答案] (±4,0) y ＝±3x
[解析] 双曲线焦点即为椭圆焦点，不难算出为(±4,0)，又双曲线离心率为2，即c
a ＝2，
c ＝4，故a ＝2，b ＝23，渐近线为y ＝±b
a
x ＝±3x .
三、解答题
15．求以椭圆x 225＋y 2
9＝1的长轴端点为焦点，且经过点P (42，3)的双曲线的标准方程．
[解析] 椭圆x 225＋y 2
9＝1长轴的顶点为A 1(－5,0)，A 2(5,0)，则双曲线的焦点为F 1(－5,0)，
F 2(5,0)，由双曲线的定义知，
|PF 1|－|PF 2|
＝(42＋5)2＋(3－0)2－(42－5)2＋(3－0)2 ＝(52＋4)2－(52－4)2＝8， 即2a ＝8，a ＝4，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9. 所以双曲线的方程为x 216－y 2
9
＝1.
16．直线l 被双曲线x 23－y 2
2＝1截得弦长为4，其斜率为2，求直线l 在y 轴上的截距．
[解析] 设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ，x 23－y 22＝1，得10x 2＋12mx ＋3(m 2＋2)＝0. 设直线l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由韦达定理，得x 1＋x 2＝－65m ，x 1x 2＝3
10(m 2＋2)．
又y 1＝2x 1＋m ，y 2＝2x 2＋m ， ∴y 1－y 2＝2(x 1－x 2)，
∴|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝5(x 1－x 2)2 ＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝5[3625m 2－4×3
10(m 2＋2)]
∵|AB |＝4，∴
365
m 2
－6(m 2＋2)＝16. ∴3m 2＝70，m ＝±
2103
. 17．设P 点是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上除顶点外的任意一 点，F 1，F 2分别为左、右焦点，c
为半焦距，△PF 1F 2的内切圆与边F 1F 2切于点M ，求|F 1M |·|F 2M |之值．
[解析] 如图所示．P 是双曲线上任一点(顶点除外)，由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，
根据切线定理，可得|F 1M |－|F 2M |＝|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 又|F 1M |＋|F 2M |＝2c ，
∴当P 在双曲线左支上时，|F 1M |＝c －a ，|F 2M |＝c ＋a . 当P 在双曲线右支上时，|F 1M |＝c ＋a ，|F 2M |＝c －a . 故|F 1M |·|F 2M |＝c 2－a 2＝b 2.
18．已知直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1交于A 、B 两点． (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值，
(2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y ＝1
2x 对称？若存在，请求出a 的值；
若不存在，请说明理由．
[解析] (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1
3x 2－y 2＝1消去y 得，
(3－a 2)x 2－2ax －2＝0①
依题意⎩
⎪⎨⎪⎧
3－a 2
≠0
Δ>0
即－6<a <6且a ≠±3② 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x 1
＋x 2＝2a
3－a 2
③x 1x 2
＝－2
3－a 2
④
∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，但y 1y 2＝a 2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋1， 由③④知，x 1＋x 2＝
2a
3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2
. ∴(a 2＋1)·－23－a 2＋a ·2a
3－a 2＋1＝0.
解得a ＝±1且满足②.
(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y ＝12x 对称，则直线y ＝ax ＋1与y ＝1
2x 垂直，∴a ＝
－2.
直线l 的方程为y ＝－2x ＋1. 将a ＝－2代入③得x 1＋x 2＝4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y ＝－2×2＋1＝－3.
但AB 中点(2，－3)不在直线y ＝1
2x 上．
即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y ＝1
2
x 对称．。