成才之路数学选修2-1之1-1-1 (30)

2.3.3

一、选择题

1．如图，椭圆C 1，C 2与双曲线C 3，C 4的离心率分别是e 1，e 2，e 3与e 4，则e 1，e 2，e 3，e 4的大小关系是( )

A ．e 2

B ．e 2

C ．e 1

D ．e 1

[答案] A

[解析] 椭圆离心率越大越扁，双曲线离心率越大，开口越广阔．

2．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为－2

3

，则此双曲线的方程是( )

A.x 23－y 2

4＝1 B.x 24－y 2

3＝1 C.x 25－y 2

2＝1

D.x 22－y 2

5

＝1 [答案] D

[解析] 设双曲线方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)，依题意

c ＝7，

∴方程可化为x 2a 2－y 2

7－a 2＝1.

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

a 2－y 2

7－a 2＝1y ＝x －1.得， (7－2a 2)x 2＋2a 2x －8a 2＋a 4＝0.

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 27－2a 2.

∵x 1＋x 22＝－23，∴－a 27－2a

2＝－23，解得a 2＝2.

故所求双曲线方程为x 22－y 2

5

＝1，故选D.

3．若ab ≠0，则ax －y ＋b ＝0和bx 2＋ay 2＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( )

[答案] C

[解析] 方程可化为y ＝ax ＋b 和x 2a ＋y 2

b ＝1.从B ，D 中的两椭圆看a ，b ∈(0，＋∞)，但

B 中直线有a <0，b <0矛盾，应排除；D 中直线有a <0，b >0矛盾，应排除；再看A 中双曲线的a <0，b >0，但直线有a >0，b >0，也矛盾，应排除；

C 中双曲线的a >0，b <0和直线中a ，b 一致．应选C.

4．(2010·潍坊模拟)双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾

斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( )

A.6

B.3

C.2

D.33

[答案] B

[解析] 在直角△MF 1F 2中，∠F 1F 2M ＝90°，∠MF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ，于是2c

|MF 1|

＝cos30°＝

32，|MF 2|2c ＝tan30°＝33，从而有|MF 1|＝433c ，|MF 2|＝233

c ，代入|MF 1|－|MF 2|＝2a ，得233c ＝2a ，故e ＝c

a

＝3，故选B.

5．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，

则双曲线离心率的取值范围为( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．(3，＋∞)

D ．[3，＋∞)

[答案] B

[解析] 由双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝2|PF 2|＝4a ，∵|PF 1|＋|PF 2|≥|F 1F 2|，

∴6a ≥2c ，c

a

≤3，故离心率的范围是(1,3]，选B.

6．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有( )

A.1e 21＋1

e 22＝4 B ．e 21＋e 2

2＝4

C.1e 21＋1

e 22＝2

D ．e 21＋e 22＝2

[答案] C

[解析] 设椭圆长半轴长为a ，双曲线实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧

|PF 1|＋|PF 2|＝2a ①

||PF 1|－|PF 2

||＝2m ②

①2＋②2得：2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2， 又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2， 两边同除以2c 2得2＝1e 21＋1

e 22

，故选C.

7．(08·山东)设椭圆C 1的离心率为5

13，焦点在x 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到

椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为( )

A.x 242－y 2

32＝1 B.x 2132－y 2

52＝1 C.x 232－y 2

42＝1

D.x 2132－y 2

12

2＝1 [答案] A

[解析] 由已知得椭圆中a ＝13，c ＝5，曲线C 2为双曲线，由此知道在双曲线中a ＝4，c ＝5，故双曲线中b ＝3，双曲线方程为x 242－y 2

3

2＝1.

8．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2

b 2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2

的值( )

A ．大于0且小于1

B ．大于1

C ．小于0

D ．等于0

[答案] C

[解析] ∵lg e 1＋lg e 2＝lg a 2－b 2a ＋lg a 2＋b 2a ＝lg a 4－b 4a 2

a 2＝0，∴lg e 1＋lg e 2<0.

9．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．双曲线的一支 B ．圆 C ．抛物线

D ．双曲线

[答案] A

[解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，

由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2， ∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，