大学物理角动量

③有心力对力心的力矩为零。
始终指向某一固定点的力叫有心力，该固定点为力心。
五、角动量守恒定律
law of conservetion of Angular momentum
由： M d L dt
若 M0
则有：
L 常 矢 量
若质点或质点系所受外力对某固定参照点的矩 的矢量和为零，则质点对该固定点的角动量守恒。
由于各三角形具有公共高线 OH ，
因此掠面速度相等:
dS
1 vt OH 2
1 vr sin
1 r 2
常量
dt
t
2
2wenku.baidu.com
式中
v sin
r
ω 相当于质点绕O点转动的角速度。
由上式可得： m vrsin 常 量
写成矢量式： r p r m v常量
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
②再来看有心力场的简单情形。
0
v
r0 r
v0
计算一下这个力的的功，可用动能定理
WEk
1mv2 2
解： 角动量守恒
v2
r1
且
近地点 v1 r1
远地点 v2 r2
v1
o
r2
则 mv2r2mv1r1
v2
r1 r2
v1
63701818.07 .8 3 k m /s
6370327
行星对椭圆轨道的另一焦点角动量是否守恒？
例题 ：
用绳系一小球使它在光滑的水平面上做匀速
率圆周运动，其半径为 r0 ，角速度为ω0 。 现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使半径
dt dt
dt
考查质点角动量 L r m v的变化率：
dLd（rmv）rd(m v)drm v
dt dt
dt dt
r F v m v rF
令
r F M─力矩
于是有 M d L dt
可见: 引起转动状态改变的原 因是由于力矩的作用
M dL dt
对此式分离变量积分
t
Mdt t0
LL0
比较
F dp dt
—角动量定理的微分形式
—角动量定理的积分形式
t
Fdt p p0
t0
与动量定理在形式、结构上一致。
在应用角动量定理时，一定要注意等式两边的 力矩和角动量必须都是对同一固定点。
四、力矩
M r F MrFsin
其中θ为 r 和 F的夹角
M rF sin
rF
M F rs in
掠面速度都相等，都相应存在一个守恒量，这就是 角动量。因此我们引入角动量的概念。
我们已经看到，角动量概念与线动量类似， 但它是描述质点绕某一固定参照点的转动状态的物 理量。
也有时称其为动量矩。
定义： 角动量
Lrm v (矢量)
L 的大小为 ：
Lrmvsin
θ为 r 和 m的v 夹角， L 的方向为 r 和 mv的右旋。
逐渐减小。(1)求当半径缩为 r 时的角速度。
(2)这一过程中绳子对木块的拉力所做的功。
v
解：以小孔 o 为原点 绳对小球的拉力为有心力，
m r o r0
其力矩为零。
则小球对o 点的角动量守恒。
初态 末态 角动量守恒 所以 或
m v0r0m r02 0
m vrm r2
m r2m r020
r0 2 r2
张力矩
M R T
M R sT i 90 n 0 θRT coθs Rmg 顺时针
对O点的合力矩为零，量 角守 动恒。
2 以C为参考点
重力矩：
M lm g
张力矩
Mlmsgin θ
M l T 0 夹:角 π
对C点 的 合 外 力 矩 不 角为 动零 量， 不 守 恒
例题 一颗地球卫星，近地点181km，速率 8.0km/s，远地点327km，求该点的卫星速率。
质点在向心力的作用下作匀速圆周运动
此时动量
pmv
因速度的方向一直在改变而不守恒，
但质点的位矢与动量的矢量积
rm v是一个常矢量
它的大小为 mvr， 方向始终垂直于纸面向外。 rm v就是质点的角动量，
因此角动量保持守恒。 显然，位矢 r 的掠面速度vr / 2在圆周上各点相等。
但在两种情况下，相对于某点 O的位矢的
L
0
r
mv
讨论
关于角动量
①角动量与位矢有关，
谈到角动量时必须指明是对哪一参照点而言。
②当质点作圆周运动时，θ= π / 2
角动量大小为：
Lmvrmr2
当质点作一般平面运动时， 角动量为：
i jk
L r p x y 0 (xpyypx)k px py 0
③在直角坐标系中，角动量在各坐标轴的分量为：
大学物理角动量
教学基本要求
一 理解质点对固定点的角动量、力 矩的概念。
二 理解角动量守恒定律及适应条件， 并能用该定律分析计算有关的问题。
5.1 质点的角动量定理
一、质点的角动量(Angular momentum of particl )
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的中心 运转的情况。例如，行星绕太阳的公转，人造卫星 绕地球转动，电子绕原子核转动以及刚体的转动等 等。
—角动量守恒定律
例如：质点在有心力作用下角动量守恒。
例 题 ： 质m量 的为 圆 锥 摆 摆 球υ， 运以 动速 时率 对O参 考 点 的 角 动恒 量？ 是C对 否 参守 考 点 的 角动量是否守恒？
l c
T
mR o υ
mg
解： 摆球受力如图
重1力矩以O为 M 参 R 考 点 m g
M Rmg 逆时针
i jk Lrp x y z
px py pz
Lx(ypzzpy) Ly(zpxxpz) Lz(xpyypx) ④角动量的单位为: kg ∙ m2/s
二、质点系对固定点的角动量
质点系的角动量是各个质点对同一固定参 照点的角动量的矢量和。
L Li i
三、角动量定理
类比质点的动量定理
dp d mv m d v F
r F
力对某一固定点
的力矩的大小等于此
力和力臂的乘积。
r
M
0r
F
r
F
F
讨论
关于力矩
①力矩的单位为： N∙m ②在直角坐标系中，力矩在各坐标轴的分量为：
i jk M r F x y z
Fx Fy Fz
M x yFz zF y
M y zFx xFz
M
z
xF y
yF x
上式也称为力对轴的力矩。
在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必适 用，这时若采用角动量概念讨论问题就比较方便。
角动量与动量一样，是一个重要概念。
引例 ①对于作匀速直线运动的质点，既可以用动量也
可用角动量的概念进行描述。
设质点沿 AB 作匀速直线运 动，在相等的时间间隔Δt 内，走 过的距离 ΔS = vΔt 都相等。
选择O 为原点，从O 到质点 处引位矢 r 。 r 在单位时间内扫 过的面积，称为掠面速度。