经济应用模型综述
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（3）令 L(x) 0, 得x 650. 这时，有
C(650) R(650) 1.1.
二、弹性分析
经济数学模型
1、弹性的概念 设函数 y f (x)可导，函数 f (x) 在点 x 处的
增量为 y f (x x) f (x), 自变量的增量为 x, 则比值Fra bibliotekx x
称为在点
x
处自变量
x
经济数学模型
例 设生产某种产品的总成本为 C(x) 3001.1x, 总收益为R(x) 5x 0.003x2 , 试求：
（1）边际成本、边际收入和边际利润函数. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并
说明其经济意义. （3）求利润最大的产量。
经济数学模型
解 （1） C' (x) (300 1.1x)' 1.1;
经济数学模型
Q
P
（5）完全无弹性： 0
价格无论如何变动，需求量都不 会变动。（急救药、火葬场、糖尿 病人对胰岛素的需求）
Q
实例 弹性在航空公司中的应用 经济数学模型
美国航空公司认为，弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来 数十亿美元的收益。理想的情况下，航空公司希望向商务人员 要求尽可能高的票价，而向闲适的游客提供足够低的票价以填 补飞机上的空座。这是航空公司为增加总收益，追求利润最大 化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型 的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行“价格歧视”的措 施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低 价时机的游客提供折扣。同时，航空公司也许会要求乘客等到 周六晚上以后才能拿到打折的机票，这一条规定使得急于回家 度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣， 因为商务往来事先并无计划，而是为了处理意外的危机——这 是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的 计算机程序来管理机票的销售，从而确保缺乏弹性的乘客无法 从折扣中获益。因此，尽管用有预算约束的旅客填补空位，他 们仍然有利可图。
边际利润 L' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单位
产品，总利润将改变 L' (x) 单位．
最大利润原理 L(x) R(x) C(x)
当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边 际成本的变化率时，利润最大。
条件：唯一驻点
4．边际需求
经济数学模型
需求函数 Qd ( p) （p为价格）的导数 '( p), 称
分数为
Ey Ex
%.
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 量纲．
称
y / f (x0 ) [ f (x0 x) f (x0 )] / f (x0 )
x / x0
x / x0
为函数在区间(x0, x0 x)上的弧弹性。
2．需求价格弹性
经济数学模型
设需求函数为 Q Q( p)（p为价格），则需求价格弹性
（2）富有弹性： 1
P
需求量变动的比率大于价格变动的比 率。需求量对于价格变动反应敏感。 例如奢侈品，需求曲线较平坦。
（3）单位弹性： 1
P
价格变动的比率 = 需求量变动的比率。 例如运输业、煤气等。
经济数学模型
Q Q Q
P
（4）完全有弹性：
在既定价格之下，需求量可以任意 变动（如银行以固定价格收购黄金）
y f '(x) 1 f '(x).
当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.
定义 把函数 y f (x) 的导数 f ' (x) 称为边际函数
1．边际成本
经济数学模型
总成本函数 C C(x)（x为产量）的导数 C' (x),
称为产量为 x 单位时的边际成本．
边际成本 C' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品时总成本将改变 C' (x) 个单位．
的相对改变量.
称比值
y y
为函 数 y 的相对改变量。当x 0时,两个相对改变量之
比的极限
y lim y x f (x). x0 x f (x)
x
称为函数
y
f
(x)
在点
x
处的弹性，记作
Ey , Ex
即
Ey x f (x) Ex f (x)
经济数学模型
弹性经济意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百
2．边际收益
总收益函数 R R(x)（x为产量）的导数 R' (x), 称为产量为x单位时的边际收益．
边际收益 R' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' (x) 个单位．
3．边际利润
经济数学模型
总利润函数 L L(x)（x为产量）的导数 L' (x), 称
为产量为x单位时的边际利润．
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 ' ( p) 个单位．
5．边际供给 供给函数 Qs ( p（) p为价格）的导数 '( p), 称
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1
个单位,需求量将改变 '( p) 个单位．
为
= EQ p Q '( p).
Ep Q( p)
它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 Ｑ变化的百分数．
根据需求弹性值的大小，需求价格弹性可以划分为
P
（1）缺乏弹性： 0 1
需求量变动的比率小于价格变动的 比率。需求量对于价格变动反应不敏 感。例如生活必需品（粮食、蔬菜）, 需求曲线陡峭。
R' (x) (5x 0.003x2 )' 5 0.006x; L' (x) R' (x) C' (x) 3.9 0.006x.
（2）L' (600) 3.9 0.006 600 0.3.
L' (700) 3.9 0.006 700 0.3.
经济意义：当产量为600时，再增加单位产量会使利 润增加0.3,当产量为700时，再增加单位产量会使利 润减少0.3
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量 会变动多少的方法.
用数学方法描述边际概念
经济数学模型
设函数f(x)可导. 根据导数的定义，有 f (x) lim y . x0 x
当 | x | 很小时，有 f (x) y . x
于是 y f (x x) f (x) f (x)x.
特别地，当 x 1 时，有
经济数学模型
第一章 经济应用模型
经济数学模型
2.1 边际及弹性分析
一、边际的概念 在经济学中，如果一个经济指标 y是另一个经济指标
x 的函数y=f (x), 当自变量x在x0处有一个单位的改变量时
，所对应的函数y的改变量称为该函数所表示的经济指标 在x0处的边际量。
例如：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的 增量为2个单位，因变量改变的2个单位就是边际产量.
C(650) R(650) 1.1.
二、弹性分析
经济数学模型
1、弹性的概念 设函数 y f (x)可导，函数 f (x) 在点 x 处的
增量为 y f (x x) f (x), 自变量的增量为 x, 则比值Fra bibliotekx x
称为在点
x
处自变量
x
经济数学模型
例 设生产某种产品的总成本为 C(x) 3001.1x, 总收益为R(x) 5x 0.003x2 , 试求：
（1）边际成本、边际收入和边际利润函数. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并
说明其经济意义. （3）求利润最大的产量。
经济数学模型
解 （1） C' (x) (300 1.1x)' 1.1;
经济数学模型
Q
P
（5）完全无弹性： 0
价格无论如何变动，需求量都不 会变动。（急救药、火葬场、糖尿 病人对胰岛素的需求）
Q
实例 弹性在航空公司中的应用 经济数学模型
美国航空公司认为，弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来 数十亿美元的收益。理想的情况下，航空公司希望向商务人员 要求尽可能高的票价，而向闲适的游客提供足够低的票价以填 补飞机上的空座。这是航空公司为增加总收益，追求利润最大 化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型 的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行“价格歧视”的措 施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低 价时机的游客提供折扣。同时，航空公司也许会要求乘客等到 周六晚上以后才能拿到打折的机票，这一条规定使得急于回家 度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣， 因为商务往来事先并无计划，而是为了处理意外的危机——这 是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的 计算机程序来管理机票的销售，从而确保缺乏弹性的乘客无法 从折扣中获益。因此，尽管用有预算约束的旅客填补空位，他 们仍然有利可图。
边际利润 L' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单位
产品，总利润将改变 L' (x) 单位．
最大利润原理 L(x) R(x) C(x)
当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边 际成本的变化率时，利润最大。
条件：唯一驻点
4．边际需求
经济数学模型
需求函数 Qd ( p) （p为价格）的导数 '( p), 称
分数为
Ey Ex
%.
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 量纲．
称
y / f (x0 ) [ f (x0 x) f (x0 )] / f (x0 )
x / x0
x / x0
为函数在区间(x0, x0 x)上的弧弹性。
2．需求价格弹性
经济数学模型
设需求函数为 Q Q( p)（p为价格），则需求价格弹性
（2）富有弹性： 1
P
需求量变动的比率大于价格变动的比 率。需求量对于价格变动反应敏感。 例如奢侈品，需求曲线较平坦。
（3）单位弹性： 1
P
价格变动的比率 = 需求量变动的比率。 例如运输业、煤气等。
经济数学模型
Q Q Q
P
（4）完全有弹性：
在既定价格之下，需求量可以任意 变动（如银行以固定价格收购黄金）
y f '(x) 1 f '(x).
当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.
定义 把函数 y f (x) 的导数 f ' (x) 称为边际函数
1．边际成本
经济数学模型
总成本函数 C C(x)（x为产量）的导数 C' (x),
称为产量为 x 单位时的边际成本．
边际成本 C' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品时总成本将改变 C' (x) 个单位．
的相对改变量.
称比值
y y
为函 数 y 的相对改变量。当x 0时,两个相对改变量之
比的极限
y lim y x f (x). x0 x f (x)
x
称为函数
y
f
(x)
在点
x
处的弹性，记作
Ey , Ex
即
Ey x f (x) Ex f (x)
经济数学模型
弹性经济意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百
2．边际收益
总收益函数 R R(x)（x为产量）的导数 R' (x), 称为产量为x单位时的边际收益．
边际收益 R' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' (x) 个单位．
3．边际利润
经济数学模型
总利润函数 L L(x)（x为产量）的导数 L' (x), 称
为产量为x单位时的边际利润．
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 ' ( p) 个单位．
5．边际供给 供给函数 Qs ( p（) p为价格）的导数 '( p), 称
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1
个单位,需求量将改变 '( p) 个单位．
为
= EQ p Q '( p).
Ep Q( p)
它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 Ｑ变化的百分数．
根据需求弹性值的大小，需求价格弹性可以划分为
P
（1）缺乏弹性： 0 1
需求量变动的比率小于价格变动的 比率。需求量对于价格变动反应不敏 感。例如生活必需品（粮食、蔬菜）, 需求曲线陡峭。
R' (x) (5x 0.003x2 )' 5 0.006x; L' (x) R' (x) C' (x) 3.9 0.006x.
（2）L' (600) 3.9 0.006 600 0.3.
L' (700) 3.9 0.006 700 0.3.
经济意义：当产量为600时，再增加单位产量会使利 润增加0.3,当产量为700时，再增加单位产量会使利 润减少0.3
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量 会变动多少的方法.
用数学方法描述边际概念
经济数学模型
设函数f(x)可导. 根据导数的定义，有 f (x) lim y . x0 x
当 | x | 很小时，有 f (x) y . x
于是 y f (x x) f (x) f (x)x.
特别地，当 x 1 时，有
经济数学模型
第一章 经济应用模型
经济数学模型
2.1 边际及弹性分析
一、边际的概念 在经济学中，如果一个经济指标 y是另一个经济指标
x 的函数y=f (x), 当自变量x在x0处有一个单位的改变量时
，所对应的函数y的改变量称为该函数所表示的经济指标 在x0处的边际量。
例如：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的 增量为2个单位，因变量改变的2个单位就是边际产量.