经济应用模型综述

（2）富有弹性： 1
P
需求量变动的比率大于价格变动的比 率。需求量对于价格变动反应敏感。 例如奢侈品，需求曲线较平坦。
（3）单位弹性： 1
P
价格变动的比率 = 需求量变动的比率。 例如运输业、煤气等。
经济数学模型
Q Q Q
P
（4）完全有弹性：
在既定价格之下，需求量可以任意 变动（如银行以固定价格收购黄金）
边际利润 L' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单位
产品，总利润将改变 L' (x) 单位．
最大利润原理 L(x) R(x) C(x)
当边际收入等于边际成本且边际收入的变化率小于边 际成本的变化率时，利润最大。
条件：唯一驻点
4．边际需求
经济数学模型
需求函数 Qd ( p) （p为价格）的导数 '( p), 称
的相对改变量.
称比值
y y
为函 数 y 的相对改变量。当x 0时,两个相对改变量之
比的极限
y lim y x f (x). x0 x f (x)
x
称为函数
y
f
(x)
在点
x
处的弹性，记作
Ey , Ex
即
Ey x f (x) Ex f (x)
经济数学模型
弹性经济意义为：当自变量变化1%时，函数变化的百
边际分析法就是分析自变量变动1单位时，因变量 会变动多少的方法.
用数学方法描述边际概念
经济数学模型
设函数f(x)可导. 根据导数的定义，有 f (x) lim y . x0 x
当 | x | 很小时，有 f (x) y . x
于是 y f (x x) f (x) f (x)x.
特别地，当 x 1 时，有
经济数学模型
Q
P
（5）完全无弹性： 0
价格无论如何变动，需求量都不 会变动。（急救药、火葬场、糖尿 病人对胰岛素的需求）
Q
实例 弹性在航空公司中的应用 经济数学模型
美国航空公司认为，弄清乘客的需求弹性相当于每年可带来 数十亿美元的收益。理想的情况下，航空公司希望向商务人员 要求尽可能高的票价，而向闲适的游客提供足够低的票价以填 补飞机上的空座。这是航空公司为增加总收益，追求利润最大 化所希望采取的措施。为此他们要解决如何识别两种不同类型 的乘客问题。航空公司通过对不同乘客实行“价格歧视”的措 施解决了这个难题。航空公司通常会对事先计划并希望选择低 价时机的游客提供折扣。同时，航空公司也许会要求乘客等到 周六晚上以后才能拿到打折的机票，这一条规定使得急于回家 度周末的商务人员望而却步。另外最后的时刻通常不提供折扣， 因为商务往来事先并无计划，而是为了处理意外的危机——这 是另外一种缺乏弹性的情况。航空公司已经设计出极其复杂的 计算机程序来管理机票的销售，从而确保缺乏弹性的乘客无法 从折扣中获益。因此，尽管用有预算约束的旅客填补空位，他 们仍然有利可图。
经济数学模型
例 设生产某种产品的总成本为 C(x) 3001.1x, 总收益为R(x) 5x 0.003x2 , 试求：
（1）边际成本、边际收入和边际利润函数. （2）当产量为600及700个单位时的边际利润, 并
说பைடு நூலகம்其经济意义. （3）求利润最大的产量。
经济数学模型
解 （1） C' (x) (300 1.1x)' 1.1;
分数为
Ey Ex
%.
注意 弹性研究的是相对变化率．因此，弹性没有 量纲．
称
y / f (x0 ) [ f (x0 x) f (x0 )] / f (x0 )
x / x0
x / x0
为函数在区间(x0, x0 x)上的弧弹性。
2．需求价格弹性
经济数学模型
设需求函数为 Q Q( p)（p为价格），则需求价格弹性
y f '(x) 1 f '(x).
当自变量增加1单位时，函数的增量近似地等于其导数值.
定义 把函数 y f (x) 的导数 f ' (x) 称为边际函数
1．边际成本
经济数学模型
总成本函数 C C(x)（x为产量）的导数 C' (x),
称为产量为 x 单位时的边际成本．
边际成本 C' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品时总成本将改变 C' (x) 个单位．
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1 个单位,需求量将改变 ' ( p) 个单位．
5．边际供给 供给函数 Qs ( p（) p为价格）的导数 '( p), 称
为价格为p单位时的边际需求．
边际需求 '( p) 表示当价格为p时，价格再上涨1
个单位,需求量将改变 '( p) 个单位．
（3）令 L(x) 0, 得x 650. 这时，有
C(650) R(650) 1.1.
二、弹性分析
经济数学模型
1、弹性的概念 设函数 y f (x)可导，函数 f (x) 在点 x 处的
增量为 y f (x x) f (x), 自变量的增量为 x, 则比
值
x x
称为在点
x
处自变量
x
R' (x) (5x 0.003x2 )' 5 0.006x; L' (x) R' (x) C' (x) 3.9 0.006x.
（2）L' (600) 3.9 0.006 600 0.3.
L' (700) 3.9 0.006 700 0.3.
经济意义：当产量为600时，再增加单位产量会使利 润增加0.3,当产量为700时，再增加单位产量会使利 润减少0.3
经济数学模型
第一章 经济应用模型
经济数学模型
2.1 边际及弹性分析
一、边际的概念 在经济学中，如果一个经济指标 y是另一个经济指标
x 的函数y=f (x), 当自变量x在x0处有一个单位的改变量时
，所对应的函数y的改变量称为该函数所表示的经济指标 在x0处的边际量。
例如：生产要素(自变量)增加一单位，产量(因变量)的 增量为2个单位，因变量改变的2个单位就是边际产量.
为
= EQ p Q '( p).
Ep Q( p)
它表示在价格为p的水平上，当价格改变1%时，需求量 Ｑ变化的百分数．
根据需求弹性值的大小，需求价格弹性可以划分为
P
（1）缺乏弹性： 0 1
需求量变动的比率小于价格变动的 比率。需求量对于价格变动反应不敏 感。例如生活必需品（粮食、蔬菜）, 需求曲线陡峭。
2．边际收益
总收益函数 R R(x)（x为产量）的导数 R' (x), 称为产量为x单位时的边际收益．
边际收益 R' (x) 表示当产量为x时，再生产1个单 位产品，总收益将改变 R' (x) 个单位．
3．边际利润
经济数学模型
总利润函数 L L(x)（x为产量）的导数 L' (x), 称
为产量为x单位时的边际利润．