第三章 轴线拉压变形
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材料力学第3章 轴向拉压变形
Fy 0 :FN1 sin 30 FN3 sin 30 F
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
(2) 变形协调方程
Δl2 Δl1 Δl3 Δl2 tan30 sin 30 sin 30 tan30
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
31
3.4 拉压杆静不定问题的解法
例题3-5
(3) 利用物性关系，用力表示变形协调方程
切
B点水平位移：
线 代
圆
Fa
弧
Bx BB1 l1 EA ()
B点铅垂位移：
By
BB'
l2 sin 45
l1
tan
45
(1
2
2) Fa EA
()
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
19
3.3 桁架的节点位移
例题3-3
图示托架，由横梁AB与斜撑杆CD所组成，并承受集中载荷
2
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
轴向应变: l 胡克定律： FN
l
E EA
所以得到： l FNl EA
（拉压杆胡克定律）
l FNl EA
EA为拉压刚度，只与材料和横截面面积有关。
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
3
3.1拉压杆的轴向变形与横向变形
(2)补充方程-变形协调方程(compatibility equation)
l1
tan
l2
sin
l3
秦飞 编著《材料力学》 第3章 轴向拉压变形
25
3.4 拉压杆静不定问题 解法
（3）物性（物理）关系
l1
FN1l1 E1 A1
工程力学：第三章 轴向拉压变形
l
E 148.2 MPa
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
横截面内任一点、 在任一方向上的应变
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已
知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
l1
FN1 EA1
2l
l2
FN2l EA2
FN2 4FN1
4. 内力计算
MB 0,
FN1
l 2
( FN2
F
)
2l
0
FN2 4FN1
FN2＝4FN1＝88
2F 21
4.59 104
N
5. 截面设计
A1
FN1
[ t ]
71.7
mm 2
A2
FN2
[ c ]
383 mm2
结论： A1 A2 383 mm2
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
FN2 F2
(l )分段
FN1l1 EA
FN2l2 EA
(F2 F1 )l1 EA
F2l2 EA
(l )分段
F2(l1 EA
l2 )
F1l1 EA
2. 分解载荷法
lF1(
l)分F段1l1
EA
F2(lElF12Al2F) 2(ElFE11AAl1
Ay
AA5
l1 cos 45
l2
()
小变形概念
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束
E 148.2 MPa
2. 螺拴横向变形
' 2.22 104
横截面内任一点、 在任一方向上的应变
d ' di 0.0034 mm
螺拴直径缩小 0.0034 mm
节点位移分析
图示桁架，试求节点 A 的水平与铅垂位移，已
知 ：E1A1= E2A2=EA，l2=l
1. 轴力与变形分析
l1
FN1 EA1
2l
l2
FN2l EA2
FN2 4FN1
4. 内力计算
MB 0,
FN1
l 2
( FN2
F
)
2l
0
FN2 4FN1
FN2＝4FN1＝88
2F 21
4.59 104
N
5. 截面设计
A1
FN1
[ t ]
71.7
mm 2
A2
FN2
[ c ]
383 mm2
结论： A1 A2 383 mm2
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
1.分段解法
FN1 F2 F1
FN2 F2
(l )分段
FN1l1 EA
FN2l2 EA
(F2 F1 )l1 EA
F2l2 EA
(l )分段
F2(l1 EA
l2 )
F1l1 EA
2. 分解载荷法
lF1(
l)分F段1l1
EA
F2(lElF12Al2F) 2(ElFE11AAl1
Ay
AA5
l1 cos 45
l2
()
小变形概念
小变形：与结构原尺寸相比为很小的变形
应 用：在小变形条件下，通常即可： 按结构的原有几何形状与尺寸，计算约束
建筑力学与结构之轴向拉伸与压缩培训课件
拉伸时大。
b
铸铁拉应力图
压缩时的强度极限b是拉伸 时的4—5倍。
铸铁常作为受压构件使用。 铸铁破坏时断口与轴线成450。
第五节 拉压杆的强度条件及应用
一、许用应力与安全系数
（1）极限应力（危险应力、失效应力）：构件发生破坏或产
生过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ ” （2）许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[]”
横向 线应变：
a a
杆件在轴向拉（压）变形时，横向尺寸的改变 量称为横向变形。
a a1 a
符号： 拉伸时为负值；压缩时为正值。
第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律
三、泊松比
当杆件的变形在弹性范围内时，材料的横向线应变 与纵向线应变的比值的绝对值是一个常数，称为材料的 横向变形系数或泊松比，即
第一节 轴向拉伸和压缩时的内力
二、轴向拉（压）杆的内力及内力图
➢ 分析内力最基本的方法是截面法。
➢截面法计算内力的步骤:
①将构件沿需要求内力的位置用假设截面截开，把构 件分为两部分，取其中一部分为研究对象;
②画研究对象的受力图时，另一部分对研究对象的作 用力用内力来代替;
③根据研究对象的平衡条件列平衡方程求解内力。
第三章 轴向拉伸与压缩
• 第一节 轴向拉伸和压缩时的内力 • 第二节 轴向拉（压）杆横截面上的应力
目 • 第三节 轴向拉（压）杆的变形、虎克定律 录 • 第四节 材料在拉伸和压缩时的力学性能
• 第五节 拉（压）杆的强度条件及应用 • 第六节 拉（压）杆连接部分的强度计算
第三章 轴向拉伸与压缩
➢ 物体的简化模型，根据具体情形可分为刚体和变形体。
解： max
FN max A
材料力学-3轴向拉压变形.
A
L1
B L1
L2 uB F
L2
vB
C B'
解：变形图如图2， B点位移至B'点，由图知：
vB
L1c tg
L2
sin
uB L1
例3：试定性画出图示结构中节点B的位移图。
1
2
α B
P
N2
N1
α B
P
1
2
α
α B’
B ΔL2 B2
例4 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm²的钢索绕过 无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直 位移。设刚索的 E =177GPa。
由此可见：两解相同，即几个载荷同时作用所产生的总效果， 等于各载荷单独作用所产生的效果的总和。 ——力的叠加原理(线代数方程)
适用范围：(物理线性、几何线性、小变形)。 叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。
例1： 受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？ P
解：
E
P AE
4P D2 d 2
A1.5EAB 2EA C
D EA E EA F
4P
刚体
5P
2P
a
a
a
a
a
解：
§3－2 桁架的节点位移
一、 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
求各杆的变形量△Li ，如图；
L1
L2
C
变形图严格画法，图中弧线；
L2 P L1 C' C"
变形图近似画法，图中弧之切线。
2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系
A 76.36
A
建筑力学第3章轴向拉伸与压缩
A
F
x
0
FN 1 cos 45 FN 2 0
FN 2 45° B
F
x
F
45°
y
0
B F
C
FN 1 sin 45 - F 0
FN 1 28.3kN FN 2 -20kN
A
2、计算各杆件的应力。
45°
C
B
FN 1 28.3 10 90MPa A1 20 2 4
斜截面上全应力：
p 0 cos
k
③pa 分解为：
p
P
P
p cos 0 cos 2
p sin 0 cossin
0
2
k
k
sin2
P
P
k
反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。 当 = 0时， 当 = 90°时， 当 = ±45°时， 当 = 0,90°时，
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 - 150 103 -1.1 MPa Ⅱ 2 A2 370
所以，最大工作应力为
max= = -1.1 MPa (压应力）
三、 轴向拉（压）杆斜截面上的应力
上述讨论的横截面上的正应力是今后强度计算的基础。 但不同的材料实验表明，拉（压）杆的破坏并不总是沿横截 面发生，有时确是沿斜截面发生的，为此，应进一步讨论斜 截面上的应力。为了全面分析拉（压）杆的强度，应研究它 斜截面上的应力情况。
解(1)、(2)曲线交点处：
30
60
B 31;PB 54.4kN
1 1
PB1 ,60 A /cos60/sin604601024/ 355.44kN
材料力学：第三章 轴向拉压变形
FN
R0 w 2 x rAdx
x
1 2
w 2rA(R02
x2)
从而，叶片的正应力为
x
q
w
q
x FN
R0
Ri O
(x)
FN A
1 2
w
2
r
(R02
x2)
x
Example-动变形
q
最大正应力发生在叶片底部
w
max (Ri )
w2r
2
(R02
Ri2 )
q
x
R0
FN
Ri
在x处取出一个长为dx单元体，
静不定问题-概念
（静定问题） （一次静不定问题）
静不定问题-概念
对超静定问题，多于约束是相对的， 可选择不同的约束为多于约束
多于约束
多于约束
静定不问题-概念
对超静定问题，多于约束是相对的， 可选择不同的约束为多于约束
多于约束
多于约束
静不定问题-概念
求解静不定问题的基本方法
静定与静不定的辩证关系——多余约束的 两种作用： 增加了未知力个数，同时增加对变形的限 制与约束，前者使问题变为不可解，后者使 问题变为可解 求解静不定问题的基本方法——平衡、变 形协调、本构关系（现在的本构关系体现为 力与杆件伸长的关系）
FN1=P FN2=P-2P=-P
l
3l
FN1
FN2
2P
F
1P
P P
Example-多力杆
利用虎克定律，杆件1段的伸长为
l1
FN1L EA
3Pl EA
()
2P
P
杆件2段的伸长为
l
3l
l2
材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形
o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
材料力学第三章 轴向拉压变形
FB = 2 FA
由⑵式与⑷式联立解得得： 式与⑷式联立解得得： ⑷
B FB
F FA = FN AC = 3 2F FB = FN BC = 3
×
装配应力 ⒈ 装配应力 超静定结构，由于构件制造误差， 超静定结构，由于构件制造误差，在装配时构件内部会 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 装配应力 装配应力 静定结构
⑷
FN 1 + 2 FN 2 − 2 F = 0
FN 2 = 2 FN 1
解得： 解得：
}
FN 1
2P 4P = , FN 2 = 5 5
×
解拉压超静定问题的方法和步骤： 解拉压超静定问题的方法和步骤： ⑴画变形的几何图； 画变形的几何图； ⑵根据变形图，建立变形的几何方程； 根据变形图，建立变形的几何方程； ⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变 画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压 力画； 力画； ⑷根据受力图，建立平衡方程； 根据受力图，建立平衡方程； ⑸根据虎克定律，建立物理方程； 根据虎克定律，建立物理方程； ⑹将物理方程代入几何方程得补充方程； 将物理方程代入几何方程得补充方程； ⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。 联立平衡方程与补充方程求解未知量。
×
求图示结构中刚性杆AB 中点 的位移δC。 中点C 例4 求图示结构中刚性杆
① 2EA EA ②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = ∆l1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = ∆l 2 = = 2 EA 4 EA
由⑵式与⑷式联立解得得： 式与⑷式联立解得得： ⑷
B FB
F FA = FN AC = 3 2F FB = FN BC = 3
×
装配应力 ⒈ 装配应力 超静定结构，由于构件制造误差， 超静定结构，由于构件制造误差，在装配时构件内部会 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 产生装配应力。静定结构不会产生装配应力。 装配应力 装配应力 静定结构
⑷
FN 1 + 2 FN 2 − 2 F = 0
FN 2 = 2 FN 1
解得： 解得：
}
FN 1
2P 4P = , FN 2 = 5 5
×
解拉压超静定问题的方法和步骤： 解拉压超静定问题的方法和步骤： ⑴画变形的几何图； 画变形的几何图； ⑵根据变形图，建立变形的几何方程； 根据变形图，建立变形的几何方程； ⑶画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画，即变 画受力图，其中杆件的轴力应根据变形图来画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画， 形为拉伸杆件的轴力按拉力画，变形为压缩杆件的轴力按压 力画； 力画； ⑷根据受力图，建立平衡方程； 根据受力图，建立平衡方程； ⑸根据虎克定律，建立物理方程； 根据虎克定律，建立物理方程； ⑹将物理方程代入几何方程得补充方程； 将物理方程代入几何方程得补充方程； ⑺联立平衡方程与补充方程求解未知量。 联立平衡方程与补充方程求解未知量。
×
求图示结构中刚性杆AB 中点 的位移δC。 中点C 例4 求图示结构中刚性杆
① 2EA EA ②
解：由平衡方程得 l
A
δA
a δC
C a
δB
B
F
P FN 1 = FN 2 = 2 FN 1l Fl δ A = ∆l1 = = EA 2 EA FN 2 l Fl δ B = ∆l 2 = = 2 EA 4 EA
轴向拉压变形的强度条件
轴向拉压变形的强度条件
轴向拉压变形是指在物体受到垂直于轴线方向的拉力或压力作用下，产生的变形现象。
要使材料在轴向拉压变形中能够保持强度，需要满足以下几个条件：
1. 弹性模量要足够高：弹性模量是材料刚性的度量，表示材料在受力后恢复原状的能力。
对于轴向拉压变形，材料需要有足够高的弹性模量，才能在受力后不产生过大的变形。
常见的高弹性模量材料包括钢、铁等。
2. 抗拉强度要足够高：抗拉强度是材料抵抗拉力的能力，表示材料在受拉力作用下的最大承载能力。
对于轴向拉压变形，材料需要具有足够高的抗拉强度，以承受拉力作用下可能产生的应力和变形。
一些高强度的工程材料，如碳纤维复合材料和钛合金，常用于具有较高强度要求的应用领域。
3. 塑性变形能力要适当：塑性变形能力是指材料在受力作用下能够发生持久性形变的能力。
对于轴向拉压变形，材料需要有适当的塑性变形能力，以允许一定程度的形变而不发生破裂。
常见的塑性材料包括铜、铝等。
4. 耐疲劳性能要良好：在实际应用中，材料往往需要经受重复受力的循环加载，因此需要具备良好的耐疲劳性能。
对于轴向拉压变形，材料需要具有足够的抗疲劳性，以应对长期循环加载下
可能产生的疲劳破坏。
改善材料的耐疲劳性能可以通过表面处理、材料组织优化等方式实现。
总之，轴向拉压变形的强度条件包括高弹性模量、足够的抗拉
强度、适当的塑性变形能力和良好的耐疲劳性能。
这些条件的满
足可以保证材料在受拉力或压力作用下不会过度变形或破裂，确
保其在工程应用中的可靠性和安全性。
材料力学-第3章 轴向拉压变形
dz
微元应变能
1 dVε = σ dxdz ⋅ ε dy 2
σ dxdz ~ ε dy
dy
x
σ
应变能密度 vε =
z
σε
2
=
σε
2
⋅ dxdydz
σ = Eε
vε =
σ2
2E
36
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
应变能密度（比能） vε的计算公式
2E 适用于所有单一方向存在应力的情况
vp = σp2 / 2E 称为材料的回弹模量， σp —材料 的比例极限 应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）
拉压杆的变形与胡克定律
总结：描述材料变形特征的材料常数有哪几个？
1. 弹性模量 2. 泊松比 3. 剪切模量
σ
dx dx + ε dx
σ
ε=
σ
E
E
τ
µσ ε′ = = − µε −
γ
τ
τ = Gγ
三个常数之间的相互关系：
E G= 2(1 + µ )
8
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
C ⇒ C ′′ C ′′ ⇒ C ′
( 4 F + 2 F2 ) l ′′ =CD = 1 因为：CC ∆l EA cos 30° CC ′′ CC ′= = 2∆lCD 所以： sin 30°
∠CC ′C ′′ = = ∠BCD 30°
AA′= 2CC ′= 4∆lCD
29
材料力学－第3章 轴向拉压变形
∆
δ
31
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
•
物体因变形而储存在物体内部的能量称为物体的变形能 或应变能。用 Vε 表示。 由于外力是缓慢作用到物体上的（静荷载），可以忽略 物体动能的改变，在弹性变形范围内，物体无热能的改 变，故由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的 功等于物体的变形能（应变能） 即： Vε = W
微元应变能
1 dVε = σ dxdz ⋅ ε dy 2
σ dxdz ~ ε dy
dy
x
σ
应变能密度 vε =
z
σε
2
=
σε
2
⋅ dxdydz
σ = Eε
vε =
σ2
2E
36
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
应变能密度（比能） vε的计算公式
2E 适用于所有单一方向存在应力的情况
vp = σp2 / 2E 称为材料的回弹模量， σp —材料 的比例极限 应变能密度的单位为 J/m3（焦耳/米3）
拉压杆的变形与胡克定律
总结：描述材料变形特征的材料常数有哪几个？
1. 弹性模量 2. 泊松比 3. 剪切模量
σ
dx dx + ε dx
σ
ε=
σ
E
E
τ
µσ ε′ = = − µε −
γ
τ
τ = Gγ
三个常数之间的相互关系：
E G= 2(1 + µ )
8
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压杆的变形与胡克定律
C ⇒ C ′′ C ′′ ⇒ C ′
( 4 F + 2 F2 ) l ′′ =CD = 1 因为：CC ∆l EA cos 30° CC ′′ CC ′= = 2∆lCD 所以： sin 30°
∠CC ′C ′′ = = ∠BCD 30°
AA′= 2CC ′= 4∆lCD
29
材料力学－第3章 轴向拉压变形
∆
δ
31
材料力学－第3章 轴向拉压变形
拉压与剪切应变能
•
物体因变形而储存在物体内部的能量称为物体的变形能 或应变能。用 Vε 表示。 由于外力是缓慢作用到物体上的（静荷载），可以忽略 物体动能的改变，在弹性变形范围内，物体无热能的改 变，故由能量守恒原理可知：外力在变形过程中所做的 功等于物体的变形能（应变能） 即： Vε = W
建筑力学轴向拉伸与压缩概念题
第三章选择题1、 塑性材料的极限应力取 。
A ．比例极限B ．弹性极限C ．屈服极限D ．强度极限2、如图所示，轴向拉压杆1-1截面上的轴力等于 。
A ．20NB ．5NC ．0ND ．25N3、现有低碳刚和铸铁两种材料，在如图所示结构中，使用最合理的是A ．①杆用低碳钢制造，②杆用铸铁制造B ．②杆用低碳钢制造，①杆用铸铁制造C ．①、②杆全部用铸铁制造4、下列结论中 是正确的。
( )A ．材料力学主要研究各种材料的力学问题。
B ．材料力学主要研究各种材料的力学性质。
C ．材料力学主要研究杆件受力后变形与破坏的规律。
D ．材料力学主要研究各类杆件中力与材料的关系。
5、轴向拉（压）时横截面上的正应力（ ）分布。
A ．均匀 B.线性 C.假设均匀 D.抛物线6、杆件的抗拉刚度是( )。
A ．EJ zB ．GJ pC ．GAD ．EA7、直杆的两端受到一对等值、反向、作用线沿杆轴线的力。
杆件将产生( )变形。
A ．拉压B ．剪切C ．弯曲D ．扭转8、反映杆件横向应变与线应变之间关系的系数是 。
A ．弹性模量B ．泊松比C ．延伸率D ．截面收缩率9、杆件的应变与杆件的（ ）有关。
A ．外力B ．外力、截面C ．外力、截面、材料D ．外力、截面、杆长、材料10、杆件的变形与杆件的（ ）有关。
A ．外力B ．外力、截面C ．外力、截面、材料D ．外力、截面、杆长、材料11、两根相同截面，不同材料的杆件，受相同的外力作用，它们的纵向绝对变形（ ）。
A ．相同B ．不一定C ．不相同12、两根相同截面、不同材料的杆件，受相同的外力作用，它们的应力（ ）。
A ．相同B ．不一定C ．不相同13、构件抵抗变形的能力称（ ）。
A ．刚度B ．强度C ．稳定性D ．极限强度14、构件抵抗破坏的能力（ ）。
② ①PA．刚度B．强度C．稳定性D．极限强度15、构件保持原来平衡状态的能力称（）。
A．刚度B．强度C．稳定性D．极限强度21、材料的强度指标是（）。
材料力学：第三章 拉压与剪切应变能
静定问题
一度静不定
静不定度 未知力数与有效平衡方程数之差
静不定问题分析
分析方法 求解思路 建立平衡方程 建立补充方程 联立求解
求解算例 平衡方程
E1A1= E2A2
变形几何关系
－变形协调方程
胡克定律
补充方程
联立求解平衡与补充方程
静不定问题求解与内力的特点: 静不定问题求解：
设计变量：在工程设计中可由设计者调整的量,例如构件 的截面尺寸
约束条件：设计变量必须满足的限制条件
目标函数：目标的设计变量表达式
单辉祖：材料力学Ⅰ
65
结构优化设计简单算例
已知：F=100 kN，l=500 mm，[st]150 MPa， [sc] 100 MPa， A1 = A3，密度 r 7.85103 kg/m3
2.内力能(应变能)
(1)用内力计算应变能 (2)用应力计算应变能
应变能 拉压
剪切
Dl FNl EA
应变能密度
3.功能等
应变能小结：解题思路
题目：求内力、位移、应力
功能守恒定律 截断法静力分析：求内力或应力
(1)用内力计 算应变能
计算内 力能
(2)用应力计算 应变能
计算外力功
(弹力作功)
功能等
例题
成立条件：载荷缓慢增大，动能、热能变化忽略不计。
单辉祖：材料力学Ⅰ
32
回顾:
轴向拉压应变能
(1) 外力功与弹性应变能计算
弹 性
回顾:
拉压与剪切应变能密度
(2) 由应力应变计算应变能 拉压应变能
拉压应变能密度
(单位体积内应变能)
剪切应变能
剪切应变能密度
34
《材料力学》第三章 轴向拉压变形
-3（共 4 页）
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
第三章 轴向拉压变形
*四、温度应力、装配应力 一）温度应力：由温度引起杆变形而产生的应力（热应力） 。 温度引起的变形量—— L tL 1、静定问题无温度应力。 2、超静定问题存在温度应力。 二）装配应力——预应力、初应力：由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变形而引起的应 力。 1、静定问题无装配应力 2、超静定问题存在装配应力。 轴向拉压变形小结 一、拉压杆的变形（重点） 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 3、横向变形系数（泊松比） ： 4、变形——构件在外力作用下或温度影响下所引起的形状尺寸的变化。 5、弹性变形——外力撤除后，能消失的变形。 6、塑性变形——外力撤除后，不能消失的变形。 3、横向变形系数 7、位移——构件内的点或截面，在变形前后位置的改变量。 8、正应变——微小线段单位长度的变形。
4、求变形： L
FN L EA
LAB
FNAB LAB 240 3.4 104 2.67(m m) EAAB 2.114.54
LCD 0.91mm LEF 1.74mm
5、求位移,变形图如图
LGH 1.63mm
D
LEF LGH DG LGH 1.70 mm EG
第三章 轴向拉压变形
第三章
一、概念 1、轴向变形：轴向尺寸的伸长或缩短。 2、横向变形：横向尺寸的缩小或扩大。 二、分析两种变形
轴向拉压变形
§3—1 轴向拉压杆的变形
b
L F F
b1
L1
1、轴向变形：Δ L=L1-L ，
L L F L （2） 、在弹性范围内： L N A
（1） 、轴向正应变线应变：
渔用材料力学-轴向拉压变形3-1
渔用材料力学
1、轴向拉伸或压缩(axial tension and compression)
F
F
F
F
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗F。
P1=2kN,P2=3kN,P3=1kN, 试求杆各段的轴力，并画轴力图。
P1
1
P2 2
P3
1
P1
Fx 0
F N1P1 0
F N1 P1 2KN
2
FN1
x
P3
FN2
Fx 0
F N 2P3 0
F N 2 P3 1KN
1
P1
1
F N1 2KN
P2 2
P3
F
轴向载荷：作用线沿杆件轴线的载荷。
2、轴力（axial force）
由于杆件产生轴向拉伸或压缩变形而引起的横截面上的，作用线与杆 的轴线一致的内力称为轴力，用FN表示。
轴力的符号规定：
Hale Waihona Puke 轴力的正负号：与该截面的外法线方向一致的为正；相反为负。 轴力以拉为正，以压为负。
FN FN
+
F
大小计算：
同一位置处左、右侧截面上内力分 量必须具有相同的正负号。
2
F N 2 1KN
FN
2KN
x
1KN
例2 已知F=50KN，求截面1、2 的轴力，并画轴力图
50kN
50kN
1
1
3m
3m
2
2
4m
4m
1、轴向拉伸或压缩(axial tension and compression)
F
F
F
F
轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。 轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。
轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗F。
P1=2kN,P2=3kN,P3=1kN, 试求杆各段的轴力，并画轴力图。
P1
1
P2 2
P3
1
P1
Fx 0
F N1P1 0
F N1 P1 2KN
2
FN1
x
P3
FN2
Fx 0
F N 2P3 0
F N 2 P3 1KN
1
P1
1
F N1 2KN
P2 2
P3
F
轴向载荷：作用线沿杆件轴线的载荷。
2、轴力（axial force）
由于杆件产生轴向拉伸或压缩变形而引起的横截面上的，作用线与杆 的轴线一致的内力称为轴力，用FN表示。
轴力的符号规定：
Hale Waihona Puke 轴力的正负号：与该截面的外法线方向一致的为正；相反为负。 轴力以拉为正，以压为负。
FN FN
+
F
大小计算：
同一位置处左、右侧截面上内力分 量必须具有相同的正负号。
2
F N 2 1KN
FN
2KN
x
1KN
例2 已知F=50KN，求截面1、2 的轴力，并画轴力图
50kN
50kN
1
1
3m
3m
2
2
4m
4m
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=
d
D
D=
4 FD
( ) D2 d 2 E
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11
第三章 轴向拉压变形
三、多力杆的变形与叠加原理
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l
A1
A2 2F F
解：1. 内力分析。轴力图 FN1=FN2=F，FN3= _ F
l1
l2
l3
2. 变形计算。（用何方法？ ）
FN
方法一：多荷载作用下各段变形叠加
F
x
步骤：*用截面法分段求轴力；
F
*分段求出变形；
l =l1
l2 +l3
Fl1 EA1
Fl2 EA2
Fl3 EA3
*求代数和。
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12
第三章 轴向拉压变形
讨论： •阶梯形杆： l = n FNi li
i=1 Ei Ai n－总段数 FNi－杆段 i 轴力
•变截面变轴力杆
d( l) = FN ( x)dx EA( x)
二、拉压杆的轴向变形与泊松比
F
b
b1
l
l1
b b1 = b
=b b
F
横向正应变
试验表明：对传统材料，在比例极限内， 且异号。
定义： =
(0
0.5) , ——泊松比
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6
第三章 轴向拉压变形
西莫恩·德尼·泊松（Simeon-Denis Poisson 1781～1840）法国数学家、 几何学家和物理学家。1781年6月 21日生于法国卢瓦雷省的皮蒂维耶， 1840年4月25日卒于法国索镇。 1798年入巴黎综合工科学校深造。 受到拉普拉斯、拉格朗日的赏识。 1800年毕业后留校任教，1802年任 副教授，1806年任教授。1808年任 法国经度局天文学家。1809年巴黎 理学院成立，任该校数学教授。 1812年当选为巴黎科学院院士。
8-12
μ
0.25-0.30 0.26-0.34 0.33-0.35 0.23-0.27
对于各向同性材料，三个材料常数存在如下关系：
G=E/2(1+ μ)
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9
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
F
D
d
思考：当圆管受拉时，外径 减小，内径增大还是减小？
Page
10
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，D，d，F，求D和d的改变量。
F
( ) 解： =
F=
E AE
4F D2 d2 E
=
F
D
d
4F
( ) D2 d 2 E
先求内周长,设ds 弧长改变量为du, ’＝du/ds
d
u= 0
ds =
d 0
4F ( D2 d 2 )E ds =
4 Fd (D2 d2)E
du= ’ds
d=u =
4 Fd (D2 d2)E
材料力学 第三章 轴向拉压变形
北方民族大学 土木工程学院 傅博
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言 §3-2 拉压杆的变形与叠加原理 §3-3 桁架的节点位移 §3-4 拉压与剪切应变能 §3-5 简单拉压静不定问题 §3-6 热应力与预应力 §3-7 拉压杆弹塑性分析简介 §3-8 结构优化设计概念简介
胡克的弹性实验装置
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4
第三章 轴向拉压变形
拉压杆的轴向变形与胡克定律
b
b1
F
l
l1
•轴向变形 l = l1 -l •横向变形 胡克定律
b = b1
F b (伸长为正)
=E (
p)
= FN ，
=l
A
l
F N
=
E
l
Al
l = FNl EA
拉压刚度
使用范围：线弹性体，比例极限范围内
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5
第三章 轴向拉压变形
Fl3 EA3
与解法一结果一致，引出
l1
l2
l3
叠加原理
(b)
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14
第三章 轴向拉压变形
叠加原理：几个载荷同时作用所产生的 总效果，等于各载荷单独作用产生的效 果的总和。
叠加原理的适用范围
*材料线弹性 *小变形 *结构几何线性
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15
F
F
F
F1 + F2
F1
F2
l1
l
l2
l
l1
l2
l
材料线性问题， l* =l1 l2 , 叠加原理成立。
Page
F
F
F
F1 + F2
F1
F2
F1
l1
l
l2
l
l1
l*
l
材料非线性问题， l* l1 l2 , 叠加原理不成立。
第三章 轴向拉压变形
*几何非线性问题例
l
l
例：已知F , l , EA ，初始两杆水平， A 设材料线弹性，且结构小变形，
求F 与 关系。
B
C
FN
F
FN
C
F
讨论： 1 C点位移是否与载荷成正比关系？ 2 叠加原理是否成立？
Page
2
第三章 轴向拉压变形
§3-1 引言
1 2 34
5
A
A
F
F
思考：为什么要研究变形？下述问题是否与变形（小变
形）相关？
•A点位移? 位移是否与力F 同方向？
•各杆内力？
•各杆材料不同，温度变化时内力？
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3
第三章 轴向拉压变形
§3-2 拉压杆的变形与叠加原理
一、拉压杆的轴向变形与胡克定律
在数学中以他的姓名命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、 泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、 泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法等。
Page
8
第三章 轴向拉压变形
典型材料常数
弹性常数
钢与合金 钢
铝合金
铜
铸铁 木（顺纹）
E/GPa 200-220 70-72 100-120 80-160
l FN (x) dx l EA(x)
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13
第三章 轴向拉压变形
例：已知E，A1，A2，求总伸长 l（续）2F解法二：各载荷效应叠加
l1
F
l2
l3
la
Fl1 = F ( l2 + l3 )
EA1
EA2
F
lb
2Fl1 = 2Fl2 EA1 EA2
l1
l2
l3
(a)
2F
l =la
lb
Fl1 + Fl2 EA1 EA2
Page
7
第三章 轴向拉压变形
泊松的科学生涯开始于研究微分方程及其 在摆的运动和声学理论中的应用。他工作 的特色是应用数学方法研究各类物理问题， 并由此得到数学上的发现。他对积分理论、 行星运动理论、热物理、弹性理论、电磁 理论、位势理论和概率论都有重要贡献。 他还是19世纪概率统计领域里的卓越人物。 他改进了概率论的运用方法，特别是用于 统计方面的方法，建立了描述随机现象的 一种概率分布──泊松分布。他推广了“大 数定律”，并导出了在概率论与数理方程 中有重要应用的泊松积分。
历史回顾：
1678年：Hooke发现“胡克定律”。 Hooke是伦敦皇家学会第一任会长 （1662），他对弹性体做了许多试 验，他与牛顿是同时代人，没有受 牛顿影响而系统地阐述了万有应力 定律。
中国人郑玄（127-200）在《考工记• 弓人》的注就提到弓的“每加物一 石，则张一尺”。唐初贾公考又对 郑注作了详细解释。