23-最常见的随机过程或随机模型
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9
定义9 泊松过程
设随机过程{t }t≥0是独立增量过程，如果满足 (a) 0=0; (b) {t }t≥0是独立增量过程（t=t s）； (c) 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值
为(ts)的Poission分布，即对一切s t0 ，有
P (ts k )k(t s k )! ke (t s),k 0 ,1 ,2 , 0
3
二项分布是指随机变量满足概率分布
P (ξ k) C n kpk(1q )nk
其中，k=1,2, …，0<p<1,q=p-1。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。
4
假设股票价格在t时刻为S(t)，当时间变化到 t+t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u >1)， 要么以概率q下降到dS(d<1)；时间为t+2t时有 三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型 结构
7
计数过程： 如果用t表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 过程{t }t≥0称为计数过程，且满足：
(a) t 0；
(b) t是整数值； (c) 对于任意两个时刻0 s<t,有s<t；
(d) 对于任意两个时刻0 s<t, t -s等于在区间 s , t
中发生的事件的个数。
8
若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立 的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 显然，t为一个正整数，0=0；对于任意的时刻 0 s<t, 有s t, t =t s表示s到t时间段内 出现的事件数目。
11
自回归过程
按时间次序排列的随机过程{t}( t=1，2，…)称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与t -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种 关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1），即
图3.1 股票价格的树型结构
5
显然，在t +t 时刻，股票的期望价格为
E(St+t)=puS+(1-p)dS，
在t +2t 时刻，股票的期望价格为：
，
E ( S t 2 t) p 2 u 2 S 2 p ( 1 p ) u ( d 1 p ) 2 S d 2 S
2
c2i pi(1p)2iuid2iS
则称{t }t≥0为参数为(ts)的Poission过程。
直接计算可知，Et =Vt =t，即，所以表示单 位时间内事件出现的平均次数，因而也常被称为 发生率或强度。
10
Fra Baidu bibliotek
白噪声过程 随机过程{t}t≥0称为白噪声过程，若Et=0，且
E(t
tj
)
2, j0
0, j0
显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。
t=at-1+ t，t=1,2, …，
其中，a为常数，t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1 时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平 稳过程。
12
更一般地，m阶自回归过程{t }( t=1，2，…), 记为AR（m）, 满足： t =a1t -1+ a2t -2+…+amt -m+t t=1，2，… m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。 若滞后算子多项式1a1z…-amzm=0的根在单位 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。
最常见的随机过程或随机模型
1
主要内容
Brown运动或Wiener过程
二项过程
Poission过程
白噪声过程
自回归过程
移动平均过程
混合自回归移动平均过程
利率期限结构或均值回复模型
ARCH类模型
2
二项过程
1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。
i0
在t + nt 时刻，股票的期望价格为：
E(Stnt )
n
Cni pi(1 p)n iuidn iS
i0
6
Poission过程
引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。
13
移动平均过程 自回归过程表示在t时刻的事件t 只与其以前的响 应t -1，t -2，…，t -m 有关，而与以前时刻的扰 动无关。若时间序列{t }与其以前的冲击或扰动 t -1，t -2，…，t -n有关，而与以前时刻的响应 无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即
t = b0+t +b1t -1+ b2t -2+…+ bnt –n t=1，2，… 当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失； |bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲 击将放大，其中i=1，2，…,n。
14
混合自回归—移动平均过程 若时间序列{t }在t时刻，不仅与其以前的自身值 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其 一般形式（记作ARMA(m，n)）为 t =a1t -1+ a2t -2+…+ amt -m+t +b1t -1+
b2t -2+…+ bn t –n
15
利率期限结构或均值回复模型
在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回 复模型定义为
dS (uS)d tS dt
其中λ>0，ε服从标准正态分布。当股票价格S低于均值μ时， μ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之， 当股票价格S高于均值μ时，μ-S取负值，即S具有负的漂移 率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均 值μ ，但长期来看S都会向均值μ靠近。过程中偏离的程度 由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。
定义9 泊松过程
设随机过程{t }t≥0是独立增量过程，如果满足 (a) 0=0; (b) {t }t≥0是独立增量过程（t=t s）； (c) 对任一长度为t的区间中事件的个数服从均值
为(ts)的Poission分布，即对一切s t0 ，有
P (ts k )k(t s k )! ke (t s),k 0 ,1 ,2 , 0
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二项分布是指随机变量满足概率分布
P (ξ k) C n kpk(1q )nk
其中，k=1,2, …，0<p<1,q=p-1。 二项过程实质上是将二项分布作为一个过程来描 述金融资产价格变化的。
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假设股票价格在t时刻为S(t)，当时间变化到 t+t时，价格要么以概率p从S上涨到uS(u >1)， 要么以概率q下降到dS(d<1)；时间为t+2t时有 三种可能：u2S、udS、d2S，以此类推，见树型 结构
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计数过程： 如果用t表示[0,t]内随机事件发生的总数，则随机 过程{t }t≥0称为计数过程，且满足：
(a) t 0；
(b) t是整数值； (c) 对于任意两个时刻0 s<t,有s<t；
(d) 对于任意两个时刻0 s<t, t -s等于在区间 s , t
中发生的事件的个数。
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若在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立 的，则称计数过程有独立增量。 若在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依 赖于时间区间的长度，则称计数过程有平稳增量。 显然，t为一个正整数，0=0；对于任意的时刻 0 s<t, 有s t, t =t s表示s到t时间段内 出现的事件数目。
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自回归过程
按时间次序排列的随机过程{t}( t=1，2，…)称为时间序 列。 若时间序列是相互独立的，则说明事件后一刻的行为与前一 刻毫无关系，即系统无记忆性。 若情况相反，则前后时刻事件之间就有一定的依存性。其中 最简单的关系就是事件后一刻的行为只与前一刻的行为有关， 而与其前一刻以前的行为无直接联系，即ξt主要与t -1相关。 从记忆的角度理解，是最短的记忆，即一期记忆，描述这种 关系的模型称为一阶自回归过程，记为AR（1），即
图3.1 股票价格的树型结构
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显然，在t +t 时刻，股票的期望价格为
E(St+t)=puS+(1-p)dS，
在t +2t 时刻，股票的期望价格为：
，
E ( S t 2 t) p 2 u 2 S 2 p ( 1 p ) u ( d 1 p ) 2 S d 2 S
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c2i pi(1p)2iuid2iS
则称{t }t≥0为参数为(ts)的Poission过程。
直接计算可知，Et =Vt =t，即，所以表示单 位时间内事件出现的平均次数，因而也常被称为 发生率或强度。
10
Fra Baidu bibliotek
白噪声过程 随机过程{t}t≥0称为白噪声过程，若Et=0，且
E(t
tj
)
2, j0
0, j0
显然，白噪声过程一个平稳的纯粹随机过程，在金 融研究中主要用于模型无法解释的波动。
t=at-1+ t，t=1,2, …，
其中，a为常数，t为白噪声过程，称为扰动项。当|a|<1 时为平稳过程；a=1时称为随机游走过程；|a|>1为非平 稳过程。
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更一般地，m阶自回归过程{t }( t=1，2，…), 记为AR（m）, 满足： t =a1t -1+ a2t -2+…+amt -m+t t=1，2，… m阶自回归过程具有m期记忆或者说m阶动态性。 若滞后算子多项式1a1z…-amzm=0的根在单位 圆之外时，为平稳过程。否则，就是非平稳的。
最常见的随机过程或随机模型
1
主要内容
Brown运动或Wiener过程
二项过程
Poission过程
白噪声过程
自回归过程
移动平均过程
混合自回归移动平均过程
利率期限结构或均值回复模型
ARCH类模型
2
二项过程
1979年Cox、Ross和Rubinstein利用二项过程 提出了二叉树期权定价模型，用以构造股票价格运 动过程，进行股票期权定价分析。 目前，二叉树模型已被广泛应用于金融资产定价 领域，并为直观理解金融资产价格的复杂随机行为 提供了最佳认识工具，为金融计算提供了可行的数 值方法。
i0
在t + nt 时刻，股票的期望价格为：
E(Stnt )
n
Cni pi(1 p)n iuidn iS
i0
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Poission过程
引言： Brown运动是用以描述连续时间下金融资产价格 运动的，但金融资产价格并不都是随时间而连续变 化的，有时会出现跳跃，Poission过程就是经常 用以模拟跳跃的一类随机过程。
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移动平均过程 自回归过程表示在t时刻的事件t 只与其以前的响 应t -1，t -2，…，t -m 有关，而与以前时刻的扰 动无关。若时间序列{t }与其以前的冲击或扰动 t -1，t -2，…，t -n有关，而与以前时刻的响应 无关，那就是n阶移动平均过程，记为MA(n),即
t = b0+t +b1t -1+ b2t -2+…+ bnt –n t=1，2，… 当|bj|<1时，表示冲击在一段时间内会消失； |bj|=1表示冲击永远保持下去；|bj|>1表示冲 击将放大，其中i=1，2，…,n。
14
混合自回归—移动平均过程 若时间序列{t }在t时刻，不仅与其以前的自身值 有关，而且与以前时刻的冲击或扰动存在着一定的 依存关系，则称为混合自回归—移动平均过程，其 一般形式（记作ARMA(m，n)）为 t =a1t -1+ a2t -2+…+ amt -m+t +b1t -1+
b2t -2+…+ bn t –n
15
利率期限结构或均值回复模型
在金融市场中，许多情况下的金融资产价格的变化，随着时 间的推移常常趋于某个长期平均水平，称为均值回复现象， 例如利率的变化就常常如此。具体的利率期限结构或均值回 复模型定义为
dS (uS)d tS dt
其中λ>0，ε服从标准正态分布。当股票价格S低于均值μ时， μ-S取正值，即S具有正的漂移率，dS将会变为正值。反之， 当股票价格S高于均值μ时，μ-S取负值，即S具有负的漂移 率，dS将会变为负值。尽管变化过程中价格可能会偏离均 值μ ，但长期来看S都会向均值μ靠近。过程中偏离的程度 由参数λ>0决定的。注意：资产价格表现出来的某种长期可 预测性，与市场有效性的假定是不符合的。