排队论及其应用

排队系统的符号表述
描述符号：①/②/③/④/⑤/⑥
各符号的意义：
①——表示顾客相继到达间隔时间分布，常用下列符号：
M——表示到达的过程为泊松过程或负指数分布；
D——表示定长输入；
EK——表示K阶爱尔朗分布；
G——表示一般相互独立的随机分布。

②——表示服务时间分布，所用符号与表示顾客到达间隔时间分布相同。

③——表示服务台(员)个数：“1”表示单个服务台，“s”(s>1)表示多个服务台。

④——表示系统中顾客容量限额，或称等待空间容量。

如系统有K个等待位子，则，0<K<∞，当K=0时，说明系统不允许等待，即为损失制。

K=∞时为等待制系统，此时一般∞省略不写。

K为有限整数时，表示为混合制系统。

⑤——表示顾客源限额，分有限与无限两种，∞表示顾客源无限，一般∞也可省略不写。

⑥——表示服务规则，常用下列符号
FCFS：表示先到先服务的排队规则；
LCFS：表示后到先服务的排队规则；
PR：表示优先权服务的排队规则。

二、排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有：
1．队长和排队长(队列长)
队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和)；排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。

队长和排队长一般都是随机变量。

2．等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。

等待时间是个随机变量。

从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间，也是随机变量。

3. 忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起，到服务机构再次成为空闲止的这段时间，即服务机构连续忙的时间。

这是个随机变量，是服务员最为关心的指标，因为它关系到服务员的服务强度。

与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。

在排队系统中，忙期和闲期总是交替出现的。

4．数量指标的常用记号
(1)主要数量指标
L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值；
——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值；
L
q
W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值；——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。

W
q
(2)其他常用数量指标
s ——系统中并联服务台的数目；
λ——平均到达率；
1／λ——平均到达间隔；
μ——平均服务率；
1/μ——平均服务时间；
N ――稳态系统任一时刻的状态（即系统中所有顾客数）；
U ――任一顾客在稳态系统中的逗留时间；
Q ――任一顾客在稳态系统中的等待时间；
{}全部空闲的概率；即稳态系统所有服务台），
0时（系统中顾客数为0＝n 特别当的概率；
n 为稳态系统任一时刻状态:0P n N P P n ==
ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，—般有ρ=λ／(s μ)，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度，当ρ趋近于0时，表明对期望服务的数量来说，服务能力相对地说是很大的。

这时，等待时间一定很短，服务台有大量的空闲时间；如服务强度ρ趋近于1，那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。

我们一般都假定平均服务率μ大于平均到达率λ，即λ/μ<1,否则排队的人数会越来越多，以后总是保持这个假设而不再声明。

李特尔公式
在系统达到稳态时，假定平均到达率为常数λ，平均服务时间为常数1/μ，则有下面的李特尔公式：
L=λ W
Lq=λ Wq
W= Wq +1/μ
L= Lq +λ/μ
排队系统运行情况的分析
排队系统运行情况的分析，就是在给定输入与服务条件下，通过求解系统状态为n(有n 个顾客)的概率Pn ，再进行计算其主要的运行指标：
①系统中顾客数(队长)的期望值L ；
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq ；
③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W ；
④顾客排队等待时间的期望值Wq 。

第三节 M ／M ／1模型
模型的条件是：
1、输入过程――顾客源是无限的，顾客到达完全是随机的，单个到来，到达过程服从普阿松分布，且是平稳的；
2、排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服务；
3、服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机的，服从相同的指数分布 。

第四节M / M / S 模型
●此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台，各服务台的工作相互独立，服务
率相等，如果顾客到达时，S个服务台都忙着，则排成一队等待，先到先服务的单队模型。

●整个系统的平均服务率为sμ，ρ*＝λ/sμ，（ρ*<1）为该系统的服务强度。

几个连续型分布—定长
●定长分布（记为D）
若顾客到达间隔时间（或服务时间）为一常量a，此时称输入（服务）分布为定长分布，用T表示此时间，则
P(T=a) = 1
用分布函数表示有
F(t) = P(T≤t) = 0t<a
1 t≥a
●概率特征：方差为0
●主要应用：
周期性到达事件
定长服务系统（例如ATM网络）
几个连续型分布—负指数
几个连续型分布—负指数
●无记忆性
P(T>t+x| T>t) = P(T>x)
●定理1.1
负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为λ >0,设t,x>0,则P(T>t +x| T>t) = P(T>x) = e-λx
●定理1.2
设随机变量T是非负的连续型变量，它的分布具有无记忆性，则T服从负指数分布
●连续型随机变量分布中，只有负指数分布具有无记忆特性
几个连续型分布—爱尔兰
●定理1.3
爱尔兰分布和负指数分布的关系
设T1,T2,…,T k,是独立同负指数分布的随机变量，参数为 ，则T =T1+T2+…+T k,服从k 阶爱尔兰分布
●主要应用
描述多级服务系统
描述平滑（规则）随机事件流
几个离散型分布
●离散时间的排队理论在计算机通讯中有着广泛的应用。

因为机械动作是间断的，用
离散理论可以得到更精确的结果。

●排队论中常用的最重要的离散分布是几何分布和负二项分布，实际上可以把它们看
作是负指数分布、爱尔兰分布离散化而得到的分布，因此它们也应具有负指数分布、爱尔兰分布的类似性质。

几个离散型分布—几何
●几何分布可以用来描述某一顾客的到达间隔或服务持续时间
每单位时间执行一次贝努力试验，“失败”则继续，成功则完成
首次“成功”之前需要持续的时间就可以看成是相应的到达间隔或服务持续时间
几个离散型分布—几何
●定理1.4
几何分布具有无记忆性，即
P(T>n+m | T>n)=P(T>m)
或P( T=n+m | T>n )=P( T=m )
●定理1.5
在离散型分布中，几何分布是唯一具有无记忆性的分布
几个离散型分布—负二项
●定理1.5
负二项分布与几何分布的关系
设T1，T2，…，Tk是独立同几何分布的离散型随机变量，则T=T1+T2…+…Tk服从负二项分布（参数为k）
二项分布
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。

在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。

2概念
二项分布（Binomial Distribution），即重复n次的伯努利试验（Bernoulli Experiment），用ξ表示随机试验的结果。

二项分布公式
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率是
应用条件
1．各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。

2．已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1-π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。

二项分布公式
3．n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。

如要求疾病无传染性、无家族性等。

泊松分布
1命名原因
泊松分布实例
泊松分布（Poisson distribution），台译卜瓦松分布，是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布（discrete probability distribution）。

泊松分布是以18～19 世纪的法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）命名的，他在1838年时发表。

但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。

就像当代科学史专家斯蒂芬·施蒂格勒（Stephen Stigler）所说的误称定律（the Law of Misonomy），数学中根本没有以其发明者命名的东西。

2分布特点
泊松分布的概率函数为：
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为
特征函数为
3关系
泊松分布与二项分布
泊松分布
当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。

通常当n≧10,p≦0.1时，就可以用泊松公式近似得计算。

事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的，具体推导过程参见本词条相关部分。

4应用场景
在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。

因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

5应用示例
泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。

如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

[1]
观察事物平均发生m次的条件下，实际发生x次的概率P（x）可用下式表示：
称为泊松分布。

例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时，每个基因组（～4×106核苷酸对）平均产生3个嘧啶二体。

实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的，将取如下形式：
……
是未产生二体的菌的存在概率，实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株，recA-株（除去既不能修复又不能重组修复的二重突变）的生存率是一致的。

由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量，因此
就意味着全部死亡的概率。

[2]
指数分布的分布函数为：
数学期望E(X)=1/λ，方差为D(X)=1/λ2。

指数分布的分布函数图象如下图所示：。