第六章 自动控制系统的校正

G ( s ) = G s (s )G c (s ) =
20 0.227 s + 1 ⋅ s (0.5 s + 1) 0.054 s + 1
滞后串联校正 增大开环增益 �提高稳态精度 高频段衰减
K 单位反馈的系统开环传递函数为 Gs ( s) = ,要求校正 s( s + 1)(0.5s + 1) 后系统的速度误差系数 K v = 5 s −1,相位裕量不小于40°。
Gc ( s) =
1 Ts + 1 α T s +1 α
串联校正时
�整个系统的开环增益下降 α 倍。�为满足稳态精度的要 求，必须提高放大器的增益予 以补偿。 �近似PD校正装置在整个频 率范围内都产生相位超前。 �相位超前校正。 dϕ a � = 0 ⇒ ωm = dω T 转角频率1/T， α/T的几何中点
使幅频特性曲线在新 ωc处降到零分贝的 ∆L（ωc）=-20lg α
(6)确定校正后的系统开环传递函数
Gc ( s ) =
10 s + 1 100 s + 1
20 lg
1 = −20 α α = 10
1 1 ＝ ＝0.01 αT 10 × 10
G( s ) = Gs ( s ) ⋅ Gc ( s )
Gc ( s) =
控制 PD PD控制
U ( s) = K p + Td s E ( s)
微分控制具有预测特性。 Td 就是微分控制作用超前于比例控制作 用效果的时间间隔。
微分控制不可能预测任何尚未发生的作用。
Gc (s ) =
U (s ) = K p + Td s E (s )
PD控制通过引入微 分作用改善了系统的 动态性能
第六章 控制系统的校正
控制系统的性能指标 控制系统的设计任务： 根据被控对象及其控制要求，选择适当的控 制器及控制规律设计一个满足给定性能指标的控 制系统。 校正(补偿)：通过改变系统结构，或在系统中增加 附加装置或元件对已有的系统（固有部分）进行 再设计使之满足性能要求。
(校正装置)
�稳态精度 稳态误差ess �过渡过程响应特性 �时域：上升时间tr、超调量Mp、调节时间ts �频域：谐振峰值Mr、增益交界频率ωc、谐 振频率ωr、带宽ωb �相对稳定性 增益裕量Kg、相位裕量γ(ωc) �扰动的抑制 带宽
=
5( 10s + 1 ) s( 100s + 1 )( s + 1 )( 0.5s + 1 )
另一个转角频率
补偿校正网络引 起的相角滞后 γ = 40° + 12° = 52° 在 ω=0.5s-1 附近的相位 角等于 -128º （即相位 裕量为52º ）。 �选择新的增益交界频率
1 ω＝ = 0.1rad / s T
ω c = 0.5s −1
（5）确定滞后校正装置的系数 α和另一个转角频率 ω=1/aT
近似有：
⎧− 20 lg ω ω , (ω << ω ) i ⎪ ωi ⎪ Lc (ω ) = ⎨ 0, (ω i < ω < ω d ) ⎪ ω ⎪ 20 lg ω , (ω >> ω d ) ⎩ d
Lc (ω ) = 20 lg (1 −
ω 2 ω ω ) + 2 − 20 lg ω iω d ωi ωi
�在整个频率范围内相位都 滞后，�相位滞后校正。 dϕ 1 = 0 ⇒ ωm = dω T a 转角频率1/αT，1/T的几何中点。 �开环对数频率特性的中 高频部分↓增益交界频率↓ 稳定裕量↑ �开环对数频率特性的中 高频部分↑稳态精度↑
在1/T 和α/T间引 入相位超前
使中频段斜率减小
dϕ a −1 = 0 ⇒ ϕ m = − sin −1 dω a +1
2
ϕ c (ω ) = tg −1
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ω ωi − 90° ω2 1− ω iω d
⎧ − 90 o , (ω → 0) ⎪ ϕ c (ω ) = ⎨0o , (ω = ωiω d ) ⎪ + 90o , (ω → ∞) ⎩
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PD 校正装置的特性 近似 近似PD PD校正装置的特性
�高频段增益上升，降 低了系统抗干扰的能 力； �相位裕量增加，稳定 性提高； � ωc增大，快速性提高
Gc ( j ω ) = K p (1 + jTd ω ) Lc (ω ) = 20 lg K p + 20 lg 1 + Td2ω 2
ϕ c (ω ) = tg −1Tdω
转折频率ω1=Kp/Td 预先作用�抑制阶跃响应的超调 缩短调节时间 抗高频干扰能力
控制 PID PID控制 由于 ϕ c (ω ) = tg −1Tiω − 90° < 0°，导致引入PI控制器后， 系统的相位滞后增加，因此，若要通过 PI控制器改 善系统的稳定性，必须有Kp< 1，以降低系统的幅 值穿越频率。 �通过引入积分控制作用以改善系统的稳态性能。 �通过比例控制作用来调节积分作用所导致相角滞 后对系统的稳定性所带来的不利影响。
（1）根据给定的稳定误差或误差系数,确定系统的开环增益
K v = lim sG s ( s ) = lim
s→0 s→0
sK =K =5 s( s + 1)(0.5 s + 1)
Gs ( s ) =
5 s ( s + 1)(0.5 s + 1)
（2）确定未校正系统的相位裕量和增益裕量
γ = −20°
由于存在积分控制，PI控制器具有记忆功能。
一个积分环节� 提高系统的稳态精度 一个开环零点弥补积分环节对系统稳定性的不利影响
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Kp＝1 �系统型次 提 高，稳态性 能改善。 �相位裕量减 小，稳定程 度变差。
Kp< 1 �系统型次提高， 稳态性能改善； �系统从不稳定变 为稳定； �ωc减小，快速性 变差。
1 Gc ( j ω ) = 1 + + jTd ω = jTiω
2
�在低频段 ，PID 控制器通过积分控制作用 ,改善了系统的稳态性能；
1+ j
ω ω2 − ω i ω iω d ω j ωi
�在中频段 ，PID 控制器通过微分控制作用 ,有效地提高了系统的动态性能。
ωi =
1 1 , ωd = Ti Td
设一具有单位反馈的控制系统，其开环传递函数为 4K Gc ( s) = ，若要求使系统静态速度误差系数Kv s( s + 2) 等于20s－1，相位裕度γ不小于50°。
（1）根据误差等稳态指标的要求，确定系统的开环增益K s ⋅ 4K K v = lim sGs (s ) = lim = 2 K = 20 K＝10 s →0 s →0 s ( s + 2 ) 40 20 Gs ( jω ) = ＝ j ω ( j ω + 2) j ω (0.5 j ω + 1)
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PID 校正装置的特性 近似 近似PID PID校正装置的特性
Gc (s ) = T1s + 1 T2 s + 1 T1 s + 1 αT2 s + 1 α
超前串联校正 ωc↑ 相频超前↑ 系统带宽↑ 稳定裕度↑
�前半段是相位滞后部分, 由于具有使增益衰减的作 用，所以允许在低频段提 高增益，以改善系统的稳 态性能。 �后半段是相位超前部分, 可以提高系统的相位裕量, 加大幅值穿越频率，改善 系统的动态性能。
1.须增加的相位裕 量较大 2.ωc附近的Gs(jω) 的相角减小很快 3.未提出频宽要求
�滞后校正
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（3）选择 新的ωc
γ s = γ ds + (5 − 20)°
（4）选择转角频率 ω=1/T
低于新的ωc一倍到 十倍的频程在新ωc 校正网络引起的相 角滞后足够小
（2）计算未校正系统Gs（j ω )的相位裕量 系统的相位和增益裕量 分别为17°和＋∞分贝 1.系统稳定 2.稳态误差满意 3.瞬态响应不满意 �改变高频部分，↑ω c �超前校正
（3）确定需要增加的最大相位超 前角ϕm
（4）确定系数α，确定 频率ωc,且ωc=ωm
α=
1 + sin ϕ m 1 + sin 38° ＝ = 4.2 1 − sin ϕ m 1 − sin 38°
P控制
Gc ( s ) =
U ( s) = Kp E ( s)
Gc ( j ω ) = K p
Lc (ω ) = 20 lg K p
ϕ c (ω ) = 0
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P控制对系统性能的影响：
Kp>1 开环增益加大，稳态误差减小； 幅值穿越频率增大，过渡过程时 间缩短；系统稳定程度变差。 原系统稳定裕量充分大时才采用 比例控制。
控制 PI PI控制
K T s +1 U ( s) 1 Gc (s ) = = Kp + = p i E ( s) Ti s Ti s Gc (s ) =
=
U (s ) 1 = Kp + E (s ) Ti s K pTi s + 1 Ti s
转折频率ω1=1/（KpTi）
调节Ti 影响积分控制作用； 调节Kp既影响控制作用的比例部分， 又影响积分部分。
最大超前角 dϕ a −1 = 0 ⇒ ϕ m = sin −1 dω a +1 1 + sin ϕ m a= 1 − sin ϕ m �α ↑ � ϕm ↑
�为保持较高的系统信噪比，通 常选择α＝10(此时ϕm=55°)。
PI 校正装置的特性 近似 近似PI PI校正装置的特性
串联校正时
Gc (s ) = Ts + 1 aTs + 1
并联校正（反馈校正）
比例P Kp比例系数 微分D Td微分时间常数 Ti积分时间常数
复合（前馈、顺馈）校正
积分I 1 Ti s �PID控制 Gc (s ) = K p + 1 + Td s Ti s
�PI控制
控制 PID PID控制 是控制工程中技术成熟、理论完善、应用最 为广泛的一种控制策略。 � P、PI、PD 或PID 控制 � 适用于数学模型已知及大多数数学模型难以确 定的控制系统或过程。 � PID 控制参数整定方便，结构灵活
α =9 T
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（6）引进增益Kc等于α的 放大器，确定校正后的系 统开环传递函数
（8）校验
相位裕量：50°
Gc (s) =
⎛ s ⎞ 1 Ts + 1 1 ⎜ 4.41 + 1 ⎟ 0.227 s + 1 ⎜ ⎟= [ ]= α T s + 1 4.2 ⎜ s + 1 ⎟ 0.054s + 1 ⎜ ⎟ α ⎝ 18.4 ⎠
ϕ = 50° − 17° = 33°
ϕ m = ϕ + 5° = 38°
∆Lm = −10 lg α = −10 lg 4.2 = −6.2
ωc = ω m =
补偿ωc增加造成的 Gs（j ω )相位滞后
（5）确定超前网络的 转角频率ω1、ω2
1 ωc 9 = = = 4.41 T α 4.2 α = 4.2 × 4.41 = 18 .4 T
！控制系统的设计本质上是寻找合适的校正装置
校正方式
串联校正
控制 PID PID控制 PID (Proportional Integral Derivative ) 控制： 对偏差信号e(t)进行比例、积分和微分运算变换后 形成的一种控制规律。 �P控制 �PD控制
Gc ( s) = K p Gc ( s) = K p + Td s Gc ( s) = K p +
a=
1 + sin( −ϕ m ) 1 − sin( −ϕ m )
�α越大，相位滞后越严重。 �应尽量使产生最大滞后相角 的频率ωm远离校正后系统的 幅值穿越频率ωc，否则会对系 统的动态性能产生不利影响。 常取 ω 1 ω ω2 = = c − − c T 2 10
�对于稳定的系统 提高稳态准确度，1/T 和1/αT 向左远离ωc，使ωc附 近的相位不受滞后环节的影响。 �对于不稳定的系统 增益降低使得ωc减小。 �滞后校正装置实质上是 一个低通滤波器，它对低 频信号基本上无衰减作用, 但能削弱高频噪声， α越 大，抑制噪声能力越强。 通常选α = 10左右。
1 1 ( s + 1)( s + 1) U ( s) T1 T2 1 Gc ( s) = = Kp + + Td s = E ( s) Ti s T2 s
T1, 2 =
1 [K p ± 2Td − K2 p 4T d 一个零极点 提高稳态精度 ] Ti 两个负实部零点 提高动态性能
通常PID 控制器中 ωi < ωd（即Ti > Td ） Kp＝1