概率论与数理统计公式

概率论与数理统计公式

第1章随机事件及其概率

-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事

件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A U (B U C)=(A U B) U C

分配率：(AB) U C=(A U C) n (B U C) (A U B) n C=(AC)U (BC)

第二章随机变量及其分布

分布

第三章二维随机变量及其分布

(1) p j >0 (i,j=1,2,…);

⑵一P

j"

概率论与数理统计公式（全）

（1）离 联合型 分布

如果二维随机向量 （X , Y ）的 所有可能取值为至多可列个有序 对（x,y ），则称 为离散型随机量。 设=（X ，Y ）的所有可能取值 为

（X i ，y j ）（i,j =1,2,）

，且事件｛=区小）｝

的概率为P ij,,称

P ｛（X,Y ）

=以『）｝二 p j

（i, j =1,2,）

为=（X ，Y ）的分布律或称为 X

和丫的联合分布律。联合分布有 时

也用下面的概率分布表来表

这里P ij 具有下面两个性质:

i j

概率论与数理统计公式（全）

（3）联合分布函数设（X, Y）为二维随机变量，对于任意实

数x,y,二元函数

F（x,y） =P{X 沁,丫乞y}

称为二维随机向量（X，丫）的分布函数，

或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，

以事件{（I，" ）I 虫V X （%）M x,4 v Y（® 2）M y}的概

率为函数值的一个实值函数。分布函数F （x,y）具有以下的基本性质：

（1）O £F（X, y）£l;

（2）F（x,y ）分别对x和y是非减的，即

当X2>X i 时，有F(X2,y ) > F(X i,y);当肿

屮时，有F(x,y 2) > F(x,y 1)；

(3) F (x,y )分别对x和y是右连续的，

即

F(x, y) =F(x 0, y), F(x,y) =F(x,厂0);

(4) F (7：-3) = F (-—, y) = F (x, Y，) = 0, F (：：,：：)= 1

(5)对于X i X2,y i ”： y2,

F(X2, y2)一F(X2, y i) - F(X i，y2) Fg yj -0.

i

S D

f(x,y)= “

0,

其中S D 为区域D 的面积，则称（X ，Y ） 服从D 上的均匀分布，记为（X , Y ）〜U （D ）。

例如图3.1、图3.2和图3.3。

A

y

1

H

D i

O 1

、x

图3.1

图3.2

（8） 二维 均匀 分布

设随机向量（X , Y ）的分布密度函数为 (x, y) D 其他

A

F 分布设X~F(nJY 」2

(n 2

),且X 与丫独立， 可以证明F U 的概率密度函数

Y / n 2

我们称随机变量F 服从第一个自 由度为n i ，第二个自由度为n 2的 F 分布，记为F 〜f(n i ,

n 2).

Fi_：.( ni, n?)

i F ：.(n 2, nJ

第四章 随机变量的数字特征

n i n 2 2

n

i

n i

n 2

n 2

2 2

n

i n

2

-2

,y-0

r

矩①对于正整数①对于正整数

k，称随机变量X称随机变量X

的k次幂的数学次幂的数学期

期望为X的k阶为X的k阶原

原点矩，记为矩，记为V k,即

V k,即v

v k=E(X>k = E(g：x k f(x

Z X i P i ,k=1,2,…

i

k=1,2,…

②对于正整数k，称随机变量X 与E (X)差的k 次幂的数学期望为X的k阶中

②对于正整数称随机变量X (X)差的k次的数学期望为的k阶中心矩为N k,即

— E( X E(X ))

心矩，记为林, Lk E(X E(X丿丿即毗k

=

斥=E(X -E(X))k k=1,2,…

k

=瓦(X i — E(X)) P i ,

i

k=1,2,…

切比雪夫不等式给出了在未知 分布的情况下，对概率

P(X -卩 2

的一种估计，它在理论上有重要 义。

(1) E(C)=C ⑵ E(CX)=CE(X)

/ 、

n n

(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y), E (送 小乜 GE (XJ

i 4

iV

(4) E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X 和丫独立;

充要条件:

切比雪夫不等式

设随机变量X 具有数学期望E =卩，方差D (X ) = a , 意正数£ ,

(2) 期望 的性 质

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