圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题

圆锥曲线中求三角形面积取值范围问题
1、已知为坐标原点，定点，点分别在,轴上运动且.动点满足.设点的轨迹为曲线.直线交曲线于另外一点.
（1）求曲线的方程, (2)求面积的最大值．
解：
的轨迹方程
即为曲线整理可得：，相关点法求解析式、、设点C y x y x AB y n x m y n y x m x y n x PB y m x AP y x P n B m A 19
2564
96425648)
(3858)(5353)
,(),,(),(),0()0,()1(2
22
2=+=+∴=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-∴--=-=∴ )3
7
1
16195.724
180
2416921
1619(116
191
1801
16
1991
18025
91
90225910081368164812259)
259(814722)1(25981
,259720
8172)259(19
254)
1(2)(42
1
4),,(),,()2(222
222222
2
22222222221221222221212211”成立时“即当且仅当，
式可得：
带入联立的面积方程为：设直线设点=±
=+=
+=≤
=⨯≥++
+++
+⨯
=++++⨯=++⨯⨯=+⨯+⨯+⨯⨯
=++⨯⨯+⨯
=+-=⋅+-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=+
+=-=+⨯⨯=∆∴+=k k k k k k k k k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S OPQ ky x PM y x Q y x P
求面积最值问题，需要先把面积表示出来，之后就可以看出如何计算更加简洁。

此题列出式子后可以看出直线反设
O )0,4(M B A ,x y 8=AB P →
→
=PB AP 5
3P
C PM C Q C OPQ ∆
会更加简单，另外计算时数字比较大，但是找出公因数再计算就会非常简单，切忌硬来。

2、在平直角坐标系中，已知椭圆的离心率,且椭圆过点
（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为
，直线与椭圆交于两点，求面积的最大值。

解：1
2
8848,2)1,2(44,2
1
,23)1(2
22
2
22222=+=+∴===+∴=∴=
y x y x a b P b y x a b e 或椭圆方程为：入椭圆方程可得：带点椭圆方程为：
2
224
)2(44161616
842
1
)4()5()
5(42,208442842
1)
4(2
1
)1()3(),2()
3()2
1(1)
2()21
(112
1
),(),,(,21
)2(222242
422221212222212
2122211取得最大值时即当式可得：式带入将联立式可得：带入将）
（的面积为：距离为到直线，设设点设直线方程为：S m m m m m m m m m m S m x x m x x m mx x y x m x y x x m S m
d x x AB d AB S PAB d l P y x B y x A m x y ±==∴+--=+-+-=+-=+-⨯⨯=-=⋅-=+∴=-++⇒⎪⎩⎪⎨⎧
=++=-⨯⨯=+=-⨯+=∴⨯⨯=∆∴+=
本题表示面积用了弦长与点到直线距离，其中斜率不需要化简，做题过程会约掉，因此而大大简化运算，另外最后求最值运用了二次函数部分的方法。

3、已知动圆和圆相内切，且经过定点．
(1)求动圆的圆心的轨迹的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线与动圆圆心的轨迹交于两点，且线段的垂直平分线经过点Q ，求面积的最大值。

解：
xoy :C )1(122
22≥>=+b a b
y a x 23=e C )1,2(P l 2
1
l B A ,PAB ∆M :P 010222
2=--+x y x )0,2(-Q M l M B A ,AB )2
1
,0(-AOB ∆
1
3
1,2,33
2)2()2()2(32)2(),,()0,2(3
2)0,2(12)2()1(22
22222
22222=+∴===∴=++++-⇒⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=+-∴∴-=+-y x M b c a M y x y x R y x R y x R
y x M P M M y x 点轨迹方程为：的椭圆点为根据椭圆的定义可知，两式相加可得：半径，设动圆圆心内切于圆动圆，经过圆又，半径，圆心圆方程为： 232,4)2(43443
)31()31)(1(123622
1
21,
1,1431,132321),31,313(3122)(,3133,3160336)31(3
31
),210(),,(),,(,)2(222
222222
12
21222222
2
12122212212
222
22211==+--=+-=
++--⨯=-=⨯⨯=+=-⋅+==+∴-=-+
+=∴++-∴+=++=++-=⋅+-=+∴=-+++⎩⎨⎧=++=-
=∴-+=S m m m m k k m m k m
x x m d AB S k
m
d x x k AB m k k
km k m k k m k km N k m
m x x k y y k m x x k km x x m kmx x k y x m kx y k
k Q AB N AB y x B y x A m kx y l AOB NQ NQ 最大值为时，面积取得最大值且当可得：联立，中垂线过点中点为设方程：设直线 4
椭圆上的点到焦点的最大距离为3。

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线为垂直于轴的动弦，且均在椭圆上，定点，直线与交于点．求证：点恒在椭圆上；
（3）求面积的最大值．
解：1
3
4,3,2,3,1)0,1(0,10
330
120
33)12()1(2
2=+===+=∴==⇒⎩⎨
⎧=-+=--=-++--y x b a c a c F y x y x y x y x y x m 即椭圆方程为：，即恒过点解之得恒过定点，即直线化简为
F C MN x N M ,C )0,4(T MF NT S S C MST ∆
在椭圆上点整理可得带入椭圆坐标即点联立可得：分别为与直线满足在椭圆上，设点S n m m n m m S m n y m m x x m n y x m n y NT MF m n
k m n k n m N M n m N n m M NT MF ∴=+=-+--⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=-∴--=
-=∴=+∴-,124312)523(4)5285(3,5235
285)
4(40)1(104
,11
3
4,),,(),,()2(22222
2 面积的最大值
即为时取得最小值函数单调递增，且在时恒成立，在令设函数式可得：带入可得：联立方程为：设直线MST S t t t y t t y t t k k k y k k k k k k k k k k S k y y k k y y ky y k y x ky x y y y y S y x S y x M ky x MS MST ∆=≤∴=∴≥>-=+=∴≥=++++=+++=
++
++=++=+++⨯=+-=⋅+-=+∴=-++⎩⎨⎧=++=-⨯=+⨯⨯=∴+=5.44
18
4
1101
3',13),
1(,1,1
1
13111318
1
11331843118)43()43(363623)1(439,436,096)43(12431)
1(23
)(321)
,(),,(,1)3(2222222222222222212212
22
221212211
面积表示成基本不等式的形式，但是要注意能不能取到等号，如果不能取到，可以利用导数来求其最值。

由以上几个题可以看出，求面积或距离最值时，需要先表示出面积或距离，数据处理方法有基本不等式、二次函数、导数等方法。