结构时间序列模型在季节调整方面的应用
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结构时间序列模型是由英国统计学家和经济计量学家哈维 ( Harvey ,1989[5] ) 等人提出的. 在经济学领 域 ,结构时间序列模型通常是指将经济指标用其自身的趋势 ( Trend) 、循环 (Cycle) 、季节 (Seasonal) 及不规则 因素 ( Irregular) 来表示模型[6] . 这种结构模型的着眼点并不在于精确表示数据的生成过程 ,而在于通过将 时间序列分解成具有实际经济含义的成份来表示该序列. 与传统时间序列模型相比 ,它对经济变量的描述 更为清晰 、明确和灵活 ,更容易准确表达序列的变动特征. 由于在结构时间序列模型中由经济指标分解得 到的趋势 、循环 、季节及不规则因素是不可观测的变量 ,不能利用传统的回归分析方法估计模型参数 ,因 此 ,在统计处理上采用状态空间形式来表示结构时间序列模型 ,进而利用极大似然函数方法来估计状态空 间模型中的参数 ,然后利用卡尔曼 ( Kalman) 滤波这一强有力的递推算法对状态向量的各分量进行最优估 计 、平滑和预测 ,最终得到趋势循环要素和季节要素等不可观测成份 ,从而达到季节调整的目的.
收稿日期 :2007203220 资助项目 :国家社会科学基金 (05BJ Y013) ;国家自然科学基金 (70673009) 作者简介 :陈飞 (1973 - ) ,男 ,东北财经大学数学与数量经济学院讲师 、在职数量经济学博士研究生 ,主要从事宏观经济 周期波动 、预测与区域经济学研究 ;高铁梅 (1951 - ) ,女 ,东北财经大学数学与数量经济学院教授 、博士生导师 、东北财经大 学数量经济研究所所长 ,主要从事宏观经济周期波动研究 、宏观经济分析与预测 、计量经济分析.
(7)
状态方程 :αt = Tαt- 1 + Rηt ,
(8)
(εt ηt ) ′～ N 0 σε2 0 , t = 1 ,2 , …, N .
(9)
0
0Q
在量测方程 (7) 和状态方程 (8) 中 , Yt 是可观测变量 ,αt 是 m ×1 维状态向量 ,服从于一阶马尔可夫
(Markov) 过程 ,它是不可观测的 ,需要利用 Kalman 滤波方法来求解. N 是样本长度 ,εt 是量测方程中的扰
(4)
bt = bt - 1 + ut ,
其中 ,L
为滞后算子 ,L ( xt )
=
xt - 1
,d
为序列的单整阶数 , bt
为平稳时间序列 , wt
为均值为零
,方差为
σ2 w
的扰动项 , ut 为均值为零 、方差 σ2u 为的扰动项.
季节性分量 St 是以一年为周期的波动. 设一年中的季节数为 s (对季度或月度数据 s 分别等于 4 或 12) ,则三角函数形式的随机季节模型可表示为[8] :
[ sΠ2 ]
∑ St =
Sjt ,
(5)
j=1
第 11 期
结构时间序列模型在季节调整方面的应用
9
S jt
=
Sj , t - 1 cosλj
+
S
3 j,
t
-
1
si
nλj
+
ω jt
S
3 jt
=-
Sj , t - 1 sinλj
+
S
3 j,
t
-
1
co
sλj
+
ω3 jt
,
λj
=
λπj
s
,
其中 ,ωt 是均值为零 、方差为 σω2 的扰动项.
到建立趋势循环因素 TCt 的表达式 ,趋势循环要素反映了序列中的真实变动 ,它是时间序列中最基本的因 素 ,而时间序列的非平稳性正是由于其趋势循环因素非平稳引起的. 所以 ,在建立趋势循环分量的表达式 时 ,要先考察时间序列的非平稳性 ,利用序列的单整阶数 d 建模[7] :
(1 - L ) d TCt = bt + wt ,
The Application of the Structure Time Series Model on Seasonal Adjustment
———Compared with X212 Seasonal Adjustment Method
CHEN Fei , GAO Tie2mei
(School of Mathematics & Econometrics , Dongbei University of Finance and Economics ,Dalian 116025 ,China)
季节 ( St ) 及不规则因素 ( It ) 构成 ,循环因素 Ct 是以数年或数十年为周期的景气波动 ,波动的周期通常不 固定 ,很难用数学模型把它精确地表达出来. 由于本文主要研究时间序列的季节调整问题 ,所以把趋势因
素 Tt 和循环因素 Ct 合并为趋势循环因素 ,记为 TCt ,来描述经济时间序列的主要变动. 则结构时间序列分 解的加法模型可以表示为 :
2 结构时间序列模型的基本构成
结构时间序列模型有助于克服传统的 Box2Jenkins 时间序列分析方法只适用于平稳时间序列的局限 ,
从而使非平稳时间序列的研究和应用大为扩展. 一般来说 ,结构时间序列模型可分为加法模型、乘法模型 、
混合模型和伪加法模型 ,且描述各种分量的表达式也不唯一. 本文设时间序列{ Yt }由趋势 ( Tt ) 、循环 ( Ct ) 、
不规则要素 It 为一平稳的 ARMA ( p , q) 过程 :
(1 - <1 L - <2 L2 - … - <pL p ) It = (1 - θ1 L - θ2 L2 - … - θqL q ) vt ,
Байду номын сангаас
(6)
其中 ,L 为滞后算子 , vt 为扰动项 , <1 , <2 , …, <p 和θ1 ,θ2 , …,θq 为模型参数.
Kalman 滤波通过对预测误差分解来计算似然函数 ,从而对模型中的所有未知参数进行估计 ,并且当新的
观测值一旦得到
,就可以利用
Kalman
滤波连续地修正状态向量的估计.
Kalman
滤波提供了状态向量
α t
在
最小均方误差意义下的最优估计量[8] .
311 状态空间模型定义
量测方程 : Yt = Zαt + εt ,
Yt = TCt + St + It ,
(1)
乘法模型可以表示为 :
Yt = TCt ·St ·It ,
(2)
其中 , TCt 为趋势循环因素 , St 为季节因素 , It 为不规则因素 ,在加法模型中 St 和 It 为绝对量 ,在乘法模型
中 St 和 It 为相对量. 本文主要介绍基于结构时间序列加法模型的季节调整方法. 对于乘法模型 ,通过在式
2007 年 11 月
文章编号 :100026788 (2007) 1120007208
系统工程理论与实践
第 11 期
结构时间序列模型在季节调整方面的应用
———与 X212 季节调整方法的比较分析
陈 飞 ,高铁梅
(东北财经大学 数学与数量经济学院 ,大连 116025)
摘要 : 建立一种基于结构时间序列模型的新的时间序列季节调整方法. 首先 ,利用 ARIMA 模型研究时 间序列的结构 ,根据序列的单整阶数 ( d) 建立趋势循环分量的表达式 ,并在此基础上构建不同形式的结 构时间序列模型. 在结构时间序列模型中 ,针对经济指标分解得到的趋势 、循环 、季节及不规则因素是不 可观测的变量 ,不能利用回归分析方法求解模型 ,因此 ,采用状态空间形式来求解模型. 最后 ,利用结构 时间序列模型对我国国内生产总值 ( GDP) 和社会消费品零售总额等宏观经济时间序列进行了季节调整 , 并与目前广泛使用的 X212 季节调整方法进行对比分析 ,实证结果表明 ,基于结构时间序列模型的季节 调整方法具有相对较强的稳定性. 关键词 : 结构时间序列模型 ;季节调整 ;ARIMA 模型 中图分类号 : F06112 文献标志码 : A
Abstract : In the paper , we construct a new seasonal adjustment method of time series on the basis of the structural time series model. By researching the structure of economic time series using ARIMA model , we firstly establish the expression of trend2cycle component according to the order of integration ( d) , and set up different forms of structural time series models. In the structure time series model , the economic indicator is decomposed into trend , cycle , seasonal and irregular components , which are unobserved and thus can’t be estimated by classical regression way. So we estimate the model in the form of state space. Further , we use the model to decompose China’s economic time series , such as GDP , Total Retail Sales of Consumer Goods , etc. Moreover we compare our model’s results with X212 seasonal adjustment method’s , and the empirical conclusions show that the structure time series model is more stable when it is used to decompose seasonal component. Key words : structural time series model ; seasonal adjustment ; ARIMA model
8
系统工程理论与实践
2007 年 11 月
近年来 ,我国许多学者对经济时间序列的季节调整方法进行了深入的研究 ,并取得了较好的效果 (陈 磊等 ,2000[1] ;韩冬梅等 ,2000[2] ;夏春 ,2002[3] ;李晓芳等 ,2003[4] ) . 本文在借鉴上述学者研究成果的基础之 上 ,深入分析了经济时间序列的平稳性特征 ,并利用 ARIMA 模型与状态空间模型的等价关系 ,建立一种新 的基于结构时间序列模型的季节调整方法 ,并对我国宏观经济时间序列的季节调整效果进行了实证分析.
3 结构时间序列模型的状态空间表示
基于结构时间序列模型的季节调整方法就是把结构时间序列模型表示为状态空间形式 ,通过估计模
型中的状态向量来达到季节调整的目的. 状态空间模型的核心算法是 Kalman 滤波 , Kalman 滤波是在时刻
t 基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程. 当扰动项和初始状态向量服从正态分布时 ,
1 引言
为了准确地测定和分析经济周期波动 ,必须从经济时间序列中剔除季节因素的影响 ,才能真实地反映 经济指标的实际变动情况. 因此 ,季节调整问题早已引起了人们的注意 ,各国的研究机构和政府部门开发 了大量的季节调整方法 ,其中 ,最著名 、应用最广泛的季节调整方法是由美国商务部研究开发的 X212 方 法. 由于 X212 方法是基于移动平均的季节调整方法 ,它的最大缺欠是在计算时使得时间序列的两端各缺 失一部分信息 ,因而对季节调整的精度影响较大 ,尤其是尾部信息的缺失影响更为严重.
(2) 两端分别取对数 ,可以得到对数形式的加法模型 ,其形式如下 :
ln Yt = ln TCt + ln St + ln It ,
(3)
因此 ,基于结构时间序列乘法模型的季节调整方法可通过加法模型得到.
设{ Yt }为一个非平稳时间序列 ,对{ Yt }进行 d 阶差分可得到一个平稳时间序列. 把差分的思想应用
收稿日期 :2007203220 资助项目 :国家社会科学基金 (05BJ Y013) ;国家自然科学基金 (70673009) 作者简介 :陈飞 (1973 - ) ,男 ,东北财经大学数学与数量经济学院讲师 、在职数量经济学博士研究生 ,主要从事宏观经济 周期波动 、预测与区域经济学研究 ;高铁梅 (1951 - ) ,女 ,东北财经大学数学与数量经济学院教授 、博士生导师 、东北财经大 学数量经济研究所所长 ,主要从事宏观经济周期波动研究 、宏观经济分析与预测 、计量经济分析.
(7)
状态方程 :αt = Tαt- 1 + Rηt ,
(8)
(εt ηt ) ′～ N 0 σε2 0 , t = 1 ,2 , …, N .
(9)
0
0Q
在量测方程 (7) 和状态方程 (8) 中 , Yt 是可观测变量 ,αt 是 m ×1 维状态向量 ,服从于一阶马尔可夫
(Markov) 过程 ,它是不可观测的 ,需要利用 Kalman 滤波方法来求解. N 是样本长度 ,εt 是量测方程中的扰
(4)
bt = bt - 1 + ut ,
其中 ,L
为滞后算子 ,L ( xt )
=
xt - 1
,d
为序列的单整阶数 , bt
为平稳时间序列 , wt
为均值为零
,方差为
σ2 w
的扰动项 , ut 为均值为零 、方差 σ2u 为的扰动项.
季节性分量 St 是以一年为周期的波动. 设一年中的季节数为 s (对季度或月度数据 s 分别等于 4 或 12) ,则三角函数形式的随机季节模型可表示为[8] :
[ sΠ2 ]
∑ St =
Sjt ,
(5)
j=1
第 11 期
结构时间序列模型在季节调整方面的应用
9
S jt
=
Sj , t - 1 cosλj
+
S
3 j,
t
-
1
si
nλj
+
ω jt
S
3 jt
=-
Sj , t - 1 sinλj
+
S
3 j,
t
-
1
co
sλj
+
ω3 jt
,
λj
=
λπj
s
,
其中 ,ωt 是均值为零 、方差为 σω2 的扰动项.
到建立趋势循环因素 TCt 的表达式 ,趋势循环要素反映了序列中的真实变动 ,它是时间序列中最基本的因 素 ,而时间序列的非平稳性正是由于其趋势循环因素非平稳引起的. 所以 ,在建立趋势循环分量的表达式 时 ,要先考察时间序列的非平稳性 ,利用序列的单整阶数 d 建模[7] :
(1 - L ) d TCt = bt + wt ,
The Application of the Structure Time Series Model on Seasonal Adjustment
———Compared with X212 Seasonal Adjustment Method
CHEN Fei , GAO Tie2mei
(School of Mathematics & Econometrics , Dongbei University of Finance and Economics ,Dalian 116025 ,China)
季节 ( St ) 及不规则因素 ( It ) 构成 ,循环因素 Ct 是以数年或数十年为周期的景气波动 ,波动的周期通常不 固定 ,很难用数学模型把它精确地表达出来. 由于本文主要研究时间序列的季节调整问题 ,所以把趋势因
素 Tt 和循环因素 Ct 合并为趋势循环因素 ,记为 TCt ,来描述经济时间序列的主要变动. 则结构时间序列分 解的加法模型可以表示为 :
2 结构时间序列模型的基本构成
结构时间序列模型有助于克服传统的 Box2Jenkins 时间序列分析方法只适用于平稳时间序列的局限 ,
从而使非平稳时间序列的研究和应用大为扩展. 一般来说 ,结构时间序列模型可分为加法模型、乘法模型 、
混合模型和伪加法模型 ,且描述各种分量的表达式也不唯一. 本文设时间序列{ Yt }由趋势 ( Tt ) 、循环 ( Ct ) 、
不规则要素 It 为一平稳的 ARMA ( p , q) 过程 :
(1 - <1 L - <2 L2 - … - <pL p ) It = (1 - θ1 L - θ2 L2 - … - θqL q ) vt ,
Байду номын сангаас
(6)
其中 ,L 为滞后算子 , vt 为扰动项 , <1 , <2 , …, <p 和θ1 ,θ2 , …,θq 为模型参数.
Kalman 滤波通过对预测误差分解来计算似然函数 ,从而对模型中的所有未知参数进行估计 ,并且当新的
观测值一旦得到
,就可以利用
Kalman
滤波连续地修正状态向量的估计.
Kalman
滤波提供了状态向量
α t
在
最小均方误差意义下的最优估计量[8] .
311 状态空间模型定义
量测方程 : Yt = Zαt + εt ,
Yt = TCt + St + It ,
(1)
乘法模型可以表示为 :
Yt = TCt ·St ·It ,
(2)
其中 , TCt 为趋势循环因素 , St 为季节因素 , It 为不规则因素 ,在加法模型中 St 和 It 为绝对量 ,在乘法模型
中 St 和 It 为相对量. 本文主要介绍基于结构时间序列加法模型的季节调整方法. 对于乘法模型 ,通过在式
2007 年 11 月
文章编号 :100026788 (2007) 1120007208
系统工程理论与实践
第 11 期
结构时间序列模型在季节调整方面的应用
———与 X212 季节调整方法的比较分析
陈 飞 ,高铁梅
(东北财经大学 数学与数量经济学院 ,大连 116025)
摘要 : 建立一种基于结构时间序列模型的新的时间序列季节调整方法. 首先 ,利用 ARIMA 模型研究时 间序列的结构 ,根据序列的单整阶数 ( d) 建立趋势循环分量的表达式 ,并在此基础上构建不同形式的结 构时间序列模型. 在结构时间序列模型中 ,针对经济指标分解得到的趋势 、循环 、季节及不规则因素是不 可观测的变量 ,不能利用回归分析方法求解模型 ,因此 ,采用状态空间形式来求解模型. 最后 ,利用结构 时间序列模型对我国国内生产总值 ( GDP) 和社会消费品零售总额等宏观经济时间序列进行了季节调整 , 并与目前广泛使用的 X212 季节调整方法进行对比分析 ,实证结果表明 ,基于结构时间序列模型的季节 调整方法具有相对较强的稳定性. 关键词 : 结构时间序列模型 ;季节调整 ;ARIMA 模型 中图分类号 : F06112 文献标志码 : A
Abstract : In the paper , we construct a new seasonal adjustment method of time series on the basis of the structural time series model. By researching the structure of economic time series using ARIMA model , we firstly establish the expression of trend2cycle component according to the order of integration ( d) , and set up different forms of structural time series models. In the structure time series model , the economic indicator is decomposed into trend , cycle , seasonal and irregular components , which are unobserved and thus can’t be estimated by classical regression way. So we estimate the model in the form of state space. Further , we use the model to decompose China’s economic time series , such as GDP , Total Retail Sales of Consumer Goods , etc. Moreover we compare our model’s results with X212 seasonal adjustment method’s , and the empirical conclusions show that the structure time series model is more stable when it is used to decompose seasonal component. Key words : structural time series model ; seasonal adjustment ; ARIMA model
8
系统工程理论与实践
2007 年 11 月
近年来 ,我国许多学者对经济时间序列的季节调整方法进行了深入的研究 ,并取得了较好的效果 (陈 磊等 ,2000[1] ;韩冬梅等 ,2000[2] ;夏春 ,2002[3] ;李晓芳等 ,2003[4] ) . 本文在借鉴上述学者研究成果的基础之 上 ,深入分析了经济时间序列的平稳性特征 ,并利用 ARIMA 模型与状态空间模型的等价关系 ,建立一种新 的基于结构时间序列模型的季节调整方法 ,并对我国宏观经济时间序列的季节调整效果进行了实证分析.
3 结构时间序列模型的状态空间表示
基于结构时间序列模型的季节调整方法就是把结构时间序列模型表示为状态空间形式 ,通过估计模
型中的状态向量来达到季节调整的目的. 状态空间模型的核心算法是 Kalman 滤波 , Kalman 滤波是在时刻
t 基于所有可得到的信息计算状态向量的最理想的递推过程. 当扰动项和初始状态向量服从正态分布时 ,
1 引言
为了准确地测定和分析经济周期波动 ,必须从经济时间序列中剔除季节因素的影响 ,才能真实地反映 经济指标的实际变动情况. 因此 ,季节调整问题早已引起了人们的注意 ,各国的研究机构和政府部门开发 了大量的季节调整方法 ,其中 ,最著名 、应用最广泛的季节调整方法是由美国商务部研究开发的 X212 方 法. 由于 X212 方法是基于移动平均的季节调整方法 ,它的最大缺欠是在计算时使得时间序列的两端各缺 失一部分信息 ,因而对季节调整的精度影响较大 ,尤其是尾部信息的缺失影响更为严重.
(2) 两端分别取对数 ,可以得到对数形式的加法模型 ,其形式如下 :
ln Yt = ln TCt + ln St + ln It ,
(3)
因此 ,基于结构时间序列乘法模型的季节调整方法可通过加法模型得到.
设{ Yt }为一个非平稳时间序列 ,对{ Yt }进行 d 阶差分可得到一个平稳时间序列. 把差分的思想应用