5空间力系和重心

设作用在刚体上有 空间任意力系
F1 , F 2 , F3 … F n
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如果该物体平衡，则必须要使该物体不能沿x、y、z三 轴移动，也不能绕x、y、z三轴转动，即有
力对点之矩（ 力对点之矩（moment of a force about a point）是力作用效应的度量之一。 ）是力作用效应的度量之一。 在物理学的基础上， 在物理学的基础上，考察空间任意力对某 一点之矩。这一点称为力矩中心（ 一点之矩。这一点称为力矩中心（center of moment），简称矩心。 ），简称矩心 ），简称矩心。
它是代数量， 方向规定 + –
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力对轴之矩的计算
方法一 : 将力向垂直于该轴的 平面投影 ,力的投影与投影至轴 力的投影与投影至轴 的垂直距离的乘积。 的垂直距离的乘积。
Mz (F) = Fxyd = 2(ρOAB) ρ
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力对轴之矩的计算
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例 3
图示空间力系中， 图示空间力系中，力偶作用在 Oxy 平面内，力偶矩 = 24N·m。 平面内，力偶矩M 。 点简化的结果。 试求此力系向 O 点简化的结果。 解：首先，将已知的力和 首先， 力偶都表示为矢量的形式 M =(-24k) N•m F2=(6i,-8j)N F1=(4j)N F3=(-6i,-8k)N
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工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，称空间力系 空间力系，空间力系是最一般的力系。 空间力系 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中如果没有风力则为空间平行力系。
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§5–1 力在空间坐标轴上的投影 §5–2 力对轴的矩 §5–3 空间任意力系的简化和平衡方程 §5–4 物体的重心
Fz = − F sin θ
Fxy = F cos θ
然后再将分力Fxy在x、y轴上投影，得
Fy = − Fxy sin β = − F cos θ sin β
Fx = Fxy cos β = F cos θ cos β
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三、力沿坐标轴分解： 力沿坐标轴分解 若以 F ,F ,F 表示力沿直角 x y z 坐标轴的正交分量，则： Fz
F = ∑F = (0,−4,−8) N R i
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M =(0,0,-24) N•m
F = (0,4,0) N 1
r = (3 0,0) m , 1
F2 = (6,−8,0) N
F3 = (−6,0,−8) N
r2 = (0,4,4) m r3 = (3 4,4) m ,
6 −8 0
−6 0 −8
= ( 0,24,−12) N⋅ m
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§5-3 空间任意力系的简化和平衡方程
建立空间任意力系平衡方程的方法与平面力系的方法相同，都 是采取力系向一点简化的方法。只是空间力系推导平衡条件的 过程比较复杂。这里只用比较直观的方法得出空间任意力系平 衡方程。
例 2
组成的空间力系， 由F1、F2组成的空间力系，已 知：F1 = F2 = F。试求力系的主矢 。 FR以及力系对 、A、E三点的主矩。 以及力系对O、 、 三点的主矩 三点的主矩。 解：1. 计算主矢 令i、j、k为x、y、z方向的单位 、 、 为 、 、 方向的单位 矢量， 矢量，则力系中的二力可写成
方法二: 方法二 将力向三个坐标轴方 向分解,分别求三个分力对轴之 向分解 分别求三个分力对轴之 矩，然后将三个分力对轴之矩 的代数值相加。 的代数值相加。
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力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量， 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效应的度量，是代数 是力使刚体绕该轴转动效应的度量 量，其大小等于力在垂直于转轴的平面内的投影的大小和它 与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手螺旋规则确定。 与转轴间垂直距离的乘积，其正负号按右手螺旋规则确定。
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§5 - 1
力在空间坐标轴上的投影
一、力在空间的表示： 力在空间的表示 力的三要素： 大小、方向、作用点(线) 大小： 大小
F= F
作用点（ 作用点（线）： 方向： 方向 由α、β、γ三个方向角确定
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二、力在空间坐标轴上的投影 1、一次投影法（直接投影法） 、一次投影法（直接投影法） 由图可知：
M z ( P ) = M z ( P x ) + M z ( P y ) + M z ( P z ) = 6 × Px + (−5 × Py ) + 0 = 6 P cos 45° sin 60° − 5 P cos 45° cos 60° = 38.2( N ⋅ m)
M x ( P ) = M x ( P x ) + M x ( P y ) + M x ( P z ) = 0 + 0 + 6 Pz = 6 P sin 45° = 84.8( N ⋅ m)
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解：
M =(0,0,-24) N•m
F1 = (0,4,0) N
F2 = (6,−8,0) N F3 = (−6,0,−8) N
同时将O 同时将O点至各力的矢径 也表示为矢量的形式
r1 = (3,0,0) m
r2 = (0,4,4) m
r3 = (3,4,4) m
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F F = (3i − 4 j) 2 5
解： 2. 计算主矩 应用矢量叉乘方法，力系对O、 应用矢量叉乘方法，力系对 、 A、E三点的主矩分别为： 、 三点的主矩分别为： 三点的主矩分别为
MA = ∑r × F = 0 + rAC× F = (4 j −3k) × i i 2
i= 1 2
F (3i − 4 j) 5
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力对点之矩的定义
F ＝ Fxi+Fyj+Fzk
O
r = x i+ y j+ z k
MO(F) = r×F
y x
MO ( F ) = Fd = 2∆ABO
z
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力对点之矩的矢量运算
Fz F
z
Fx r Fy
i MO (F) = r× F = x F x
F = (−12i −9 j −12k) 5
ME = ∑ri × Fi = rEA× F1 + rEC× F2
i=1
2
F F F = −4 j × (3i + 4 j) −3k × (3i − 4 j) = (−12i −9 j +12k) 5 5 5
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3.本例讨论： 3.本例讨论： 本例讨论
j y Fy
k z F百度文库z
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
x
y
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力矩矢量的方向
M
O
F r
按右手定则 M= r × F
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力对点之矩几点结论
力对点 之矩是一种矢量
MO O
矢量的模
MO(F) = Fd
矢量方向由右手定则确定; 矢量方向由右手定则确定 矢量作用在O点 垂直于 垂直于r 矢量作用在 点,垂直于 和F 所 在的平面。 在的平面。
F F = (3i + 4 j) 1 5
2
F F = (3i − 4 j) 2 5
于是， 于是，力系的主矢为
6F F = ∑F = F + F = i R i 1 2 5 i=1
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F F = (3i + 4 j) 1 5
F = 2
F (3i − 4 j) 5
解： 2. 计算主矩 应用矢量叉乘方法，力系对O、 应用矢量叉乘方法，力系对 、 A、E三点的主矩分别为 A、E三点的主矩分别为： 三点的主矩分别为：
X = F ⋅ cos α Y = F ⋅ cos β Z = F ⋅ cos γ
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2、二次投影法（间接投影法） 、二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向夹角不易确定 时，可先将 F 投影到x y面上， 然后再投影到x、y轴上，即 x、y
X = F ⋅sinγ ⋅cosϕ = Fxy ⋅cosϕ = F ⋅cosθ ⋅cosϕ
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§5-2 力对轴之矩
一、力对轴的矩的概念与计算
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由于FZ平行于Z轴，所以FZ不可能使门转动。 力对//它的轴的矩为零,力F与轴共面时力对轴之矩为零。
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d = 2∆OA' B '
F = Fx + F y + Fz
Fy Fx
而：
F x = X i ,F y = Y j,Fz = Z k
所以：
F = X i + Y j + Zk
∴ = X 2 +Y 2 +Z2 F
X Y Z cosα= ,cosβ = ,cosγ = F F F
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力对点之矩
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力对轴之矩与力对点之矩的关系 特殊情形
Mo
F F
r
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力对轴之矩与力对点之矩的关系 特殊情形
垂直于r 结论 : 当轴垂直于 和F 所在的平面时,力 所在的平面时 力对点 之矩与力对轴之矩在数 值上相等。 值上相等。
Mo
F
r
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[例1] 已知 例 已知：P=2000N, C点在Oxy平面内。 求：力P对三个坐标轴的矩。 解：
Pz = P⋅sin45° Pxy = P⋅cos45° Px = − Pcos45°⋅sin60° Py = P⋅cos45°⋅cos60°
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解：然后，将力和力偶向O点简化，根据主矢和主 然后，将力和力偶向O点简化， 矩的表达式，采用矢量运算，得到力系的主矩为： 矩的表达式，采用矢量运算，得到力系的主矩为：
MO =
∑M
O
(F) = M + r1 × F1 + r2 × F2 + r3 × F3
j 4 k i 4+ 3 j 4 k 4
i j k i = ( 0,0,−24) + 3 0 0 + 0 0 4 0
Y = F ⋅sinγ ⋅sinϕ = Fxy ⋅sinϕ = F ⋅cosθ ⋅sinϕ
Z = F ⋅ cos γ = F ⋅sin θ
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例：如图所示为一圆柱斜齿轮，其上受到啮合力F的作用，已 知斜齿轮的齿倾角β和压力角θ，试求力F在直角坐标系三坐 标轴上的投影。 解：将力F在z轴和Oxy平面内投影：
M y (P ) = M y (P x ) + M y (P y ) + M y (P z ) = 0 + 0 + 5Pz = 5 P sin 45° = 70.7( N ⋅ m)
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力对轴之矩与力对点之矩的关系
结论:力对点之矩的矢量在某一轴上的投影 等于这一力 结论 力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力 力对点之矩的矢量在某一轴上的投影 对该轴之矩 。
平面力系（所有力的作用线位于同一平面内） 平面力系（所有力的作用线位于同一平面内）作为为空 间力系的特殊情形，向平面内的任意一点简化， 间力系的特殊情形，向平面内的任意一点简化，同样得到 一主矢和一主矩，主矢位于平面力系所在平面， 一主矢和一主矩，主矢位于平面力系所在平面，主矩则与 平面力系作用平面垂直。 平面力系作用平面垂直。
M =(0,0,-24) N•m
F1 = (0,4,0) N F2 = (6,−8,0) N
F3 = (−6,0,−8) N
r1 = (3,0,0) m
r2 = (0,4,4) m
r3 = (3,4,4) m
解：然后，将力和力偶向O点简化，根据主矢和主 然后，将力和力偶向O点简化， 矩的表达式，采用矢量运算，得到力系的主矢为： 矩的表达式，采用矢量运算，得到力系的主矢为：
MO = ∑MO ( F)i = ∑ri ×Fi
i=1 i=1
2
2
= r1× F + r2× F2 1
= 3k × =
F F (3i + 4 j) + 4 j × (3i − 4 j) 5 5
F (−12i +9 j −12k) 5
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F F = (3i + 4 j) 1 5