关于函数可积性与原函数存在性问题
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Ｘ 域 内连续且 可导 ， 由
盟
Ｘ — Ｏｔ
： ， （ ） ，ａ ０ ｆ ａ ：ｆ ）＞ （
＋
故 ｘ＞ａ 而充分接 近 ａ时 ，
＞ ａ
二
＞ Ｏ即 ｆ ｘ （）
可 导拨要 条件有 Ｆ （ｏ Ｘ）＝Ｆ 一 Ｘ ）＝ｌ ｘ （ｏ ｉ （） ｍＦ
且 Ｆ （ ０ Ｆ ＋ Ｘ ）＝ｌ （ ） 】 ）＝ （ 。 ｉ Ｆ ｘ 【 ｍ
Ｘ ＜ ：如果 ｆ Ｘ ） （ ： ， ｆ Ｘ 在 （ ，Ｘ ） ， Ｘ， （ ， ≠ｆＸ ） 则 （ ） Ｘ ，： 内可取 得 ｆＸ） ｆＸ） 间的任意值 ） （ ，与 （ 之 引理 ２ 如果导 函数 Ｆ （ ） 区 间 Ｄ上 有定义 ， Ｘ 在
可积性与原 函数 的存 在 性 的关 系讨 论较 少 。本 文 将 结合实例 ， 细讨论 函数 可积 与原 函数存在 之 间的关 详
，—． －． 工
同理知 Ｘ＜ ｂ而充分 接近 ｂ时 ， ｆｘ ｆｂ 有 （ ）＞ （ ） 故 ｆ ｘ 的最 大 值 必 在 （ ， ） （） ａ ｂ 内某 点 考取得 ， 由 Ｆｒ ｔ 理 ， ｅ ｍａ定 必有 ｆ（ ） 毒 ＝０ （ ） 于一般情形 ， ｆ（ ）ｆ（ ） 任意的 。 ２对 即 ａ ， ｂ 是 设 是 ｆ ａ 与 ｆ ｂ 之 间的任意值 ， 助函数 ） ） （ （ 作辅 Ｆ ｘ ｆｘ 一 ， 然 Ｆ ｘ 在 Ｄ内可微 ， ｆ（ ）・ （ ）＝ （ ） 显 （） 且 ａ ｆｂ ）＝［ ｂ 一 ］． ｆ（ ）一 ］＜ （ ｆ（ ） ［ ｂ ０
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陈妙琴： 关于函数可积性与原函数存在性问题
福
关 于 函数 可 积 性 与原 函数存 在 性 问题
陈妙 琴
（ 宁德职业技术学院， 福建 福安 ３ ５ ０ ） ５ ０ ０
摘 要 ： 文结合实例探讨 了函数的可积性与原函数的存在性之间的相互关系。 本
又ｌ ｉ ａ ｒ
，＋ ＿ ｎ’
（） ２ 假设存 在一点 ｘ ∈Ｄ是导 函数 Ｆ （） ｏ Ｘ 的跳跃 间断点 ， 由跳跃 间断点 的定义 ， 知 ｌ ｘ 与 ｌ 可 ｉ （） ｉ ｍＦ ｍＦ （） Ｘ 均存在 。但 ｌ Ｘ ≠ｌ ． ｘ ， ａ ｒ ｍＦ 可 知函数 Ｆ ｘ 在点Ｆ。的某 一领 （ ）又 由已知条件 （ ） ｉ （ ） ｉ
关键词 ： 可积 函数 ； 函数 ； 原 间断点 中图分类 号 ： ７ 文 献标 识码 ： Ｏ１４ Ａ 文章编 号 ：６ ３－ ８ ４（０ ７）７—１ ９— ２ １７ ９８ ２０ ０ ０ ０
若 ｆｘ 在 ［ ，］ （ ） ａｂ 上连续 ， Ｆ Ｘ 是 Ｆ Ｘ 的任意一 且 （） （） 个原函数 ， Ｆ ｘ ＝ （ ） 则 ｆｘ ｄ ＝ （ ） Ｆ ａ ． 即 （ ） ｆＸ ， （）ｘ Ｆ ｂ 一 （） 这个结论 即是著名 的牛顿— 莱布 尼兹 公式 ， 的 它 巨大贡献在 于将 定积分 与原 函数联 系了起 来 ， 把定 积 分 的计算 问题转 化 为求 原 函数 问题 。但 是该 结 论 是 建立 ｆｘ 是连 续 的条件 上 的 。那 么 牛顿一莱 布尼 兹 （） 公式是否一定要 建立 在 ｆ Ｘ 连续 这个 条 件上？大 多 （） 数现行《 等数 学 》 《 学 分 析》 高 和 数 教材 中 ， 函数 的 对
从而得 Ｆ （ 。 ｌ Ｆ （ ） 即 Ｘ 为导 函数 Ｆ Ｘ 的 连 Ｘ ）＝ ｉ Ｘ ， 。 ｍ （） 续点 与假设 矛盾 ， 于是 ， Ｘ 点 。不能是 Ｆ （ ） Ｘ 的可 去 间
断点 。
１原函数存在性 的理论基 础 引理 １ 设 ｆｘ 是 某个 区间 Ｄ内 的可微 函数 ，、 （） ａ ｂ是 Ｄ内任意两点 ， ｂ ｆ（ ） ｂ ， ａ＜ ， ａ ≠ｆ（ ） 而 是 ｆ（ ） ａ
故存在 毒 ａ ｂ ， Ｆ （ ）＝ 毒 ＝ ， ｆ ∈（ ， ） 使 毒 ｆ（ ）一 ０ 即 ， （） 考＝ 证毕 。 由引理 １即得
定理 １ 若 ｆＸ在 某个 区间 Ｄ 内存在 原 函数 ， （） 则 ｆＸ在 Ｄ内具 有介值性 。（ （） 即对 Ｄ内任意两点 Ｘ，： ，Ｘ，
收 稿 日期 ：０ ７— ５—１ ２０ ０ Ｏ
作者简介 ： 陈妙琴 （９ ２一 ） 女 ， 建福 安人 ， １７ ， 福 福建宁德职业技 术学院高级讲师。
ｌ９ Ｏ
即 ｌ Ｆ （ ）＝ｌ Ｆ （ ） ｉ Ｘ ｍ ｉ Ｘ ａ ｒ
．
—
●
—
●
Байду номын сангаас
与假设 矛盾 ， 于是 ， Ｘ 点 。不能 是 Ｆ （ ） ｘ 的跳 跃 间 断点 。
故 由上述证 明 ， 可知点 Ｘ 不能是 Ｆ（ ） 。 Ｘ 的第一类 间断点 ， 即 Ｄ中的每一点或 者是导 函数 Ｆ（ ） 亦 Ｘ 的连 续点， 或者是第二类间断点。
与 ｆ（ ） 间的任 意值 ， 必有一点 毒 ａｂ ， ｂ 之 则 ∈（ ，） 使得 ｆ ， （） 毒＝ 证 明 ：１ 当 ｆ（）・ ｂ ０时 ， （ ） ａ ｆ（ ）＜ 不妨设 ｆ（）＞ ａ ０ ｆ ｂ ０ ， （ ）＜ 。 因为 ｆ Ｘ 在 ［ ， ］ 可微 必 连 续 ， 以 ｆ ｘ 在 ） ａｂ 上 （ 所 （） ［ ，］ ａｂ 上有最大 （ ） ， 小 值
系。
则在 区间 Ｄ上存 在导 函数 Ｆ（ ） Ｘ 的第一类 间断点 。 证明： 由于第一类 间断点包 括可去 间断点 和跳跃 间断点 ， 以分 以下两种 情形讨论 ： 所 （） １ 假设存 在一点 Ｘ ∈Ｄ是 导 函数 Ｆ（ ） 。 Ｘ 的可去 间断点 ， 由可去间 断点 的定 义 ，ｍＦ（ ） ｌ Ｘ 存在 ， 由已 ｉ 又 知条件可 知 Ｆ Ｘ 在 点 Ｘ （） 。的某一 领域 内连续且 可 导 ，
盟
Ｘ — Ｏｔ
： ， （ ） ，ａ ０ ｆ ａ ：ｆ ）＞ （
＋
故 ｘ＞ａ 而充分接 近 ａ时 ，
＞ ａ
二
＞ Ｏ即 ｆ ｘ （）
可 导拨要 条件有 Ｆ （ｏ Ｘ）＝Ｆ 一 Ｘ ）＝ｌ ｘ （ｏ ｉ （） ｍＦ
且 Ｆ （ ０ Ｆ ＋ Ｘ ）＝ｌ （ ） 】 ）＝ （ 。 ｉ Ｆ ｘ 【 ｍ
Ｘ ＜ ：如果 ｆ Ｘ ） （ ： ， ｆ Ｘ 在 （ ，Ｘ ） ， Ｘ， （ ， ≠ｆＸ ） 则 （ ） Ｘ ，： 内可取 得 ｆＸ） ｆＸ） 间的任意值 ） （ ，与 （ 之 引理 ２ 如果导 函数 Ｆ （ ） 区 间 Ｄ上 有定义 ， Ｘ 在
可积性与原 函数 的存 在 性 的关 系讨 论较 少 。本 文 将 结合实例 ， 细讨论 函数 可积 与原 函数存在 之 间的关 详
，—． －． 工
同理知 Ｘ＜ ｂ而充分 接近 ｂ时 ， ｆｘ ｆｂ 有 （ ）＞ （ ） 故 ｆ ｘ 的最 大 值 必 在 （ ， ） （） ａ ｂ 内某 点 考取得 ， 由 Ｆｒ ｔ 理 ， ｅ ｍａ定 必有 ｆ（ ） 毒 ＝０ （ ） 于一般情形 ， ｆ（ ）ｆ（ ） 任意的 。 ２对 即 ａ ， ｂ 是 设 是 ｆ ａ 与 ｆ ｂ 之 间的任意值 ， 助函数 ） ） （ （ 作辅 Ｆ ｘ ｆｘ 一 ， 然 Ｆ ｘ 在 Ｄ内可微 ， ｆ（ ）・ （ ）＝ （ ） 显 （） 且 ａ ｆｂ ）＝［ ｂ 一 ］． ｆ（ ）一 ］＜ （ ｆ（ ） ［ ｂ ０
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陈妙琴： 关于函数可积性与原函数存在性问题
福
关 于 函数 可 积 性 与原 函数存 在 性 问题
陈妙 琴
（ 宁德职业技术学院， 福建 福安 ３ ５ ０ ） ５ ０ ０
摘 要 ： 文结合实例探讨 了函数的可积性与原函数的存在性之间的相互关系。 本
又ｌ ｉ ａ ｒ
，＋ ＿ ｎ’
（） ２ 假设存 在一点 ｘ ∈Ｄ是导 函数 Ｆ （） ｏ Ｘ 的跳跃 间断点 ， 由跳跃 间断点 的定义 ， 知 ｌ ｘ 与 ｌ 可 ｉ （） ｉ ｍＦ ｍＦ （） Ｘ 均存在 。但 ｌ Ｘ ≠ｌ ． ｘ ， ａ ｒ ｍＦ 可 知函数 Ｆ ｘ 在点Ｆ。的某 一领 （ ）又 由已知条件 （ ） ｉ （ ） ｉ
关键词 ： 可积 函数 ； 函数 ； 原 间断点 中图分类 号 ： ７ 文 献标 识码 ： Ｏ１４ Ａ 文章编 号 ：６ ３－ ８ ４（０ ７）７—１ ９— ２ １７ ９８ ２０ ０ ０ ０
若 ｆｘ 在 ［ ，］ （ ） ａｂ 上连续 ， Ｆ Ｘ 是 Ｆ Ｘ 的任意一 且 （） （） 个原函数 ， Ｆ ｘ ＝ （ ） 则 ｆｘ ｄ ＝ （ ） Ｆ ａ ． 即 （ ） ｆＸ ， （）ｘ Ｆ ｂ 一 （） 这个结论 即是著名 的牛顿— 莱布 尼兹 公式 ， 的 它 巨大贡献在 于将 定积分 与原 函数联 系了起 来 ， 把定 积 分 的计算 问题转 化 为求 原 函数 问题 。但 是该 结 论 是 建立 ｆｘ 是连 续 的条件 上 的 。那 么 牛顿一莱 布尼 兹 （） 公式是否一定要 建立 在 ｆ Ｘ 连续 这个 条 件上？大 多 （） 数现行《 等数 学 》 《 学 分 析》 高 和 数 教材 中 ， 函数 的 对
从而得 Ｆ （ 。 ｌ Ｆ （ ） 即 Ｘ 为导 函数 Ｆ Ｘ 的 连 Ｘ ）＝ ｉ Ｘ ， 。 ｍ （） 续点 与假设 矛盾 ， 于是 ， Ｘ 点 。不能是 Ｆ （ ） Ｘ 的可 去 间
断点 。
１原函数存在性 的理论基 础 引理 １ 设 ｆｘ 是 某个 区间 Ｄ内 的可微 函数 ，、 （） ａ ｂ是 Ｄ内任意两点 ， ｂ ｆ（ ） ｂ ， ａ＜ ， ａ ≠ｆ（ ） 而 是 ｆ（ ） ａ
故存在 毒 ａ ｂ ， Ｆ （ ）＝ 毒 ＝ ， ｆ ∈（ ， ） 使 毒 ｆ（ ）一 ０ 即 ， （） 考＝ 证毕 。 由引理 １即得
定理 １ 若 ｆＸ在 某个 区间 Ｄ 内存在 原 函数 ， （） 则 ｆＸ在 Ｄ内具 有介值性 。（ （） 即对 Ｄ内任意两点 Ｘ，： ，Ｘ，
收 稿 日期 ：０ ７— ５—１ ２０ ０ Ｏ
作者简介 ： 陈妙琴 （９ ２一 ） 女 ， 建福 安人 ， １７ ， 福 福建宁德职业技 术学院高级讲师。
ｌ９ Ｏ
即 ｌ Ｆ （ ）＝ｌ Ｆ （ ） ｉ Ｘ ｍ ｉ Ｘ ａ ｒ
．
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与假设 矛盾 ， 于是 ， Ｘ 点 。不能 是 Ｆ （ ） ｘ 的跳 跃 间 断点 。
故 由上述证 明 ， 可知点 Ｘ 不能是 Ｆ（ ） 。 Ｘ 的第一类 间断点 ， 即 Ｄ中的每一点或 者是导 函数 Ｆ（ ） 亦 Ｘ 的连 续点， 或者是第二类间断点。
与 ｆ（ ） 间的任 意值 ， 必有一点 毒 ａｂ ， ｂ 之 则 ∈（ ，） 使得 ｆ ， （） 毒＝ 证 明 ：１ 当 ｆ（）・ ｂ ０时 ， （ ） ａ ｆ（ ）＜ 不妨设 ｆ（）＞ ａ ０ ｆ ｂ ０ ， （ ）＜ 。 因为 ｆ Ｘ 在 ［ ， ］ 可微 必 连 续 ， 以 ｆ ｘ 在 ） ａｂ 上 （ 所 （） ［ ，］ ａｂ 上有最大 （ ） ， 小 值
系。
则在 区间 Ｄ上存 在导 函数 Ｆ（ ） Ｘ 的第一类 间断点 。 证明： 由于第一类 间断点包 括可去 间断点 和跳跃 间断点 ， 以分 以下两种 情形讨论 ： 所 （） １ 假设存 在一点 Ｘ ∈Ｄ是 导 函数 Ｆ（ ） 。 Ｘ 的可去 间断点 ， 由可去间 断点 的定 义 ，ｍＦ（ ） ｌ Ｘ 存在 ， 由已 ｉ 又 知条件可 知 Ｆ Ｘ 在 点 Ｘ （） 。的某一 领域 内连续且 可 导 ，