第22章 二次函数全章导学案

课题22.1 二次函数（1）
导学目标知识点：
1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进
一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。

2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式；
3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法，培养与他人交流的意识和提取
合理见解的能力。

课时：1课时
导学方法：实验、整理、分析、归纳法
导学过程：
一、课前导学
1、填表
一次函数正比例函数反比例函数
表达式
图形形状
2、探究
（1）．正方体六个面是全等的正方形，设正方形棱长为x ，表面积为y ，则y 关于x 的关系式为是什么？①
（2）．多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系？②n边形有个顶点，从一个顶点出发，连接与这点不相邻的各顶点，可作条对角线。

因此，n边形的对角线总数d = 。

（3）．某工厂一种产品现在年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x
的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？
这种产品的原产量是20件，一年后的产量是 件，再经过一年后的产量是 件，即两年后的产量为 。

③
二、合作探究
探究：函数①②③有什么共同特点？你能举例说明吗？
一般地，形如 的函数，叫做二次函数
其中，是自变量，a 为 ， b 为 ，c 为 ， 做一做：
1、下列函数中，哪些是二次函数？分别说出二次函数的二次项系数、一次项系
数和常数项。

(1)
(2)
(3)
(4))1(x x y -=
(5))1)(1()1(2-+--=x x x y (6) 23712y x x =+-－
2、函数2y ax bx c =++，当a 、b 、c 满足什么条件时，
(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
三、展示点评 四、课堂检测
学习知识最好的途
径就是自我发现
1.下列函数中,哪些是二次函数?
(1)y=3x-1 ; (2)y=3x 2+2; (3)y=3x 3+2x 2; (4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x 2-x(1+x); (6)y=x -2+x.
2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数
(1)、长方形的长是宽的2倍，写出长方形的周长C 与宽a 之间的函数关系 ， 是 的 函数。

(2)、写出圆的面积y 与它的周长x 之间的函数关系 ， 是 的 函数。

(3)、菱形的两条对角线的和为26，求菱形面积S 与一对角线长x 之间的函数关系 ， 是 的 函数。

(4)、某商品的价格是2元，准备进行两次降价。

如果每次降价的百分率都是x ，经过两次降价后的价格y 随x 的变化而变化，y 与x 之间的函数关系式为： 是 的 函数。

3. m 为何值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？
注意：二次函数的二次项系数不能为零 拓展延伸（课外练习）：
1、观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3
2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是
____次．一般地，如果2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠），那么y 叫做
x 的___________．
2、函数()223y m x mx =-+-（m 为常数）．
(1)、当m __________时，该函数为二次函数；
(2)、当m __________时，该函数为一次函数．
3、n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
4、下列函数中是二次函数的是（ ）
A ．y ＝x ＋12
B ． y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1
x 2 －x 5、在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为
252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ）
A ．28米
B ．48米
C ．68米
D ．88米 6、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．
（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2
（4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1
x
7、已知关于x 的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.(待定系数法)
课后反思：
小组评价： 教师评价：
课题 22.1 二次函数（2）
导学目标知识点：会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点
及函数的性质 课 时：1课时
导学方法：观察、归纳、分析 导学过程：
一、课前自学
我们知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x
y 3
=的图象分别是 、 ，
探究：描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？
x
... －3 －2 －1 0 1 2 3 (2)
x y =
…
…
思考：观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？ 1．二次函数2y x =是一条曲线，把这条曲线叫做____________．
2．二次函数2y x =中，a ＝______，抛物线2y x =的图象开口_______．
3．自变量x 的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物2x y =与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线2x y =的_________．
因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线2x y =有____________点（填“最高”或“最低”） ．
二、课堂导学
例1：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1）22x y = （2）22x y -=
注意：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
理一理
1．抛物线y ＝ax 2的性质
图象（草图） 开口 方向
顶点 对称轴
有最高或最低点 最值
a >
当x ＝____时，y 有最_______值，是______． 0
a <
当x ＝____时，y 有最_______值，是______．
2．抛物线2y x =与2y x =－关于________对称，因此，抛物线2y ax =与
2y ax =－关于_______ 对称，开口大小_______________．
3．当0a >时，a 越大，抛物线的开口越___________；当0a <时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a 越大，抛物线的开口越________，反之，
a 越小，抛物线的开口越________．
例2：已知4
2(2)k
k y k x +-=+是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
解：
例3：已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解：
回顾与反思
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
三、展示点评
四、拓展延伸（课外练习）：
1．填空：
（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线m
m x m y --=2)1(开口向下．
（3）已知函数1
22
2)(--+=k k x
k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y
随x 的增大而增大．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）24
1x y =
3．已知抛物线10
2-+=k k kx
y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．
（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．
4.一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；
（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出MON ∆的面积．
课后反思：
小组评价： 教师评价：
课题 22.1 二次函数（3）
导学目标知识点：
会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 课 时：1课时
导学方法：观察、归纳、分析 导学过程：
一、课前自学
同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． 探究：在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：
2y x =，21y x =－，2+1y x =
解：先列表
x
… －2 －1 0 1 2 … 2y x =
21y x =－ … … 2+1y x =
…
…
描点并连线
观察图象，思考：
(1)、
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
最值
(2)、抛物线，2y x =，21y x =－与2+1y x =的形状_____________．
(3)、可以发现，把抛物线2y x =向______平移______个单位，就得到抛物线2
+1y x =；
把抛物线
2y x =向_______平移______个单位，就得到抛物线
21y x =－．
归纳．
因此，把抛物线2y ax =向上平移k （0k >）
个单位，就得到抛物线 ； 把抛物线2
y ax =向下平移k （0k >）个单位，就得到抛物线
二、课堂导学
例1：
(1)、如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？
(2)、不画图象，说出函数34
1
2+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由
函数24
1
x y -=通过怎样的平移得到的．
例2： 已知函数213y x =-， 2133y x =-+， 21
23
y x =--．
(1)、分别画出它们的图象；
(2)、说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)、试说出函数53
12
+=
x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
三、讨论交流（展示点评） 四、拓展延伸（课外练习）：
1．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．
2．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
3．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
4．抛物线94
12
-=
x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线24
1
x y =向 平移 个单位得到的．
5．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
6．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )
7
8、已知二次函数28(1)7y
x k x k =--+-，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？
写出其函数关系式．
9、一条抛物线的开口方向、对称轴与2
2
1x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
课后反思：
小组评价： 教师评价：
课题 22.1 二次函数（4）
导学目标知识点：
会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较了解这类函数的性质． 课 时：1课时
导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：
一、课前自学
我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平
移所得，那么函数2)2(21-=
x y 的图象，
是否也可以由函数22
1
x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 探究：
在同一坐标系中画出函数图象212y x =，()21+12y x =，()2
112
y x =－的图象。

解：先列表
x
... －2 －1 0 1 2 (2)
12
y x =
()21+12y x =
… …
()2
112
y x =
－ … …
描点并连线
二、合作探究（课堂导
学）
观察图象，思考： (1)
(2)、抛物线212y x =，()21+12y x =与()2
112
y x =－的形状_____________． (3)、可以发现，
把抛物线212y
x =
向______平移______个单位，就得到抛物线()2
1+12y x =； 把抛物线212y x =
向_______平移______个单位，就得到抛物线()2112
y x =－． 归纳：
一般地，抛物线2y ax =和抛物线()2
y a x m =±形状 ，位置 。

把抛物线2y ax =向 平移m 个单位，可以得到抛物线()2
+y a x m =； 把抛物线2y ax =向 平移m 个单位，可以得到抛物线()2y a x m =－。

探索 ： 抛物线21
(2)2y x =
+和抛物线2)2(2
1-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(2
1
-=x y ，应将抛物线
221
x y =作怎样的平移？
三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）
1．画图填空：抛物线2(1)y x =-的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．抛物线()2
42y x =-与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________．
3．把抛物线23y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式 把抛物线23y x =向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为 ． 4．将抛物线()2
112
y x =
-向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_____ 5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线22y x =-都相同的二次函数解析式___________________________． 6．对于抛物线21
(2)2
y x =
+，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；
拓展延伸（课外练习）：
1．抛物线()2
23y x =+的开口___________；顶点坐标为________________；对称轴是_________；当3x >-时，y ______________；当3x -＝时，y 有_______值是_________．
2．若将抛物线()2
21y x =--向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
3．抛物线()2
y m x n =+向左平移2个单位后，得到的函数关系式是
课题 22.1 二次函数（5）
导学目标知识点：
掌握把抛物线2ax y =平移至2()+y a x h k =-的规律；会画出 2()+y a x h k =-这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 课 时：1课时
导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：
一、自主探究（课前导学）
由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数
2)3(22+-=x y 的图象呢？
探究：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(21
2--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和
(1)
(2)、抛物线212y x =，()2
112
y x =－与2)1(212--=x y 的形状_____________．
(3)、可以发现，
把抛物线212y
x =
向______平移______个单位，就得到抛物线()2
112y x =－； 把抛物线2
12
y x =
向_______平移______个单位，向_______平移______个单位，就得到抛物线2)1(2
1
2--=
x y ． 归纳：
一般地，抛物线2y ax =和抛物线2()+y a x h k =-形状 ，位置 。

把抛物线2y ax =向 平移m 个单位，可以得到抛物线()2
+y a x m =； 把抛物线2y ax =向 平移m 个单位，向 平移k 个单位，可以得到抛物线2()+y a x h k =-。

例1．巳知函数23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ， (1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线23x y -=得到抛物线
2)2(3+-=x y 和抛物线1)2(32-+-=x y ； (4)试讨论函数1)2(32-+-=x y 的性质。

1、将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）
A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
2、把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到
532+-=x x y （ ） A ．3,7b c == B ．9,15b c =-=- C ．3,3b c == D ．9,21b c =-=
3、把抛物线22
3
x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线
的函数关系式为 ．
4、抛物线22121x x y -+=可由抛物线22
1
x y -=向 平移 个单位，再向
平移 个单位而得到．
22
2
课题 22.1 二次函数（6）
导学目标知识点：能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2()+y a x h k =-的
形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标. 课 时：1课时
导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：
一、自主探究（课前导学）
1．函数
()2
421y x =--+图象的开口______ ，对称轴为 ______ ，顶点
坐标是(__ _，____ ).
2．二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． 3．函数1)3(22+-=x y 具有哪些性质?
当x <____ 时，函数值y 随x 的增大而__ ___，当x >__ 时，函数值y 随x 的增大而 ______；当x ＝___ 时，函数取得最______值，最值y ＝____. 4．不画出图象，你能直接说出函数21522
y x x =-+－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? 因为()()2
2221511214122222
y x x x x x =-
+-++=---－＝－，所以这个函数的图象开口______，对称轴为______，顶点坐标为(______，______).
二、合作探究（课堂导学）
实验探究：采用描点法作图的方法作出函数21
522
y x x =-+－的图象，进而观 察得到这个函数的性质.
解：(1)列表：在x 的取值范围内列出函数对应值表；
(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点.
(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数215y x x =-+－的图象.
这个函数具有哪些性质吗?
2．通过配方变形，说出函数2
288y x x =-+-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?
归纳总结
对于任意一个二次函数
()20y ax bx c a =++≠，如何确定它的图象的
开口方向、对称轴和顶点坐标?你能把结果写出来吗?
用配方法把函数()20y
ax bx c a =++≠配成2()y a x h k =-+的形式
解：
总结性质：
1．开口方向 2．顶点坐标是（ ， ）,对称轴是 . 3．增减性：
4．最值：
三、讨论交流（展示点评）
四、课堂检测（当堂训练）
1. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）232y x x =+－ ；
（2）2
1452
y x x =-+；
（3）8822-+-=x x y
2．已知二次函数215
642
y x x =
-+，当x = 时，最小值y = ；当x 时，y 随x 的增大而减小。

3．抛物线22y x =向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为
4．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则ac 0．
5．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0。

6．已知点()11y －，、2132
y ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭－，、212
y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在函数2
3612y x x =++的图象上，
则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）
A ．1y ＞2y ＞3y
B ．2y ＞1y ＞3y
C ．2y ＞3y ＞1y
D ．3y ＞1y ＞2y 7．二次函数2y x bx c =++－的图象的最高点是()13－，－，则b 、c 的值是（ ）
A ．2b ＝，4c ＝
B ．2b ＝，4c ＝－
C ．2b ＝－，4c ＝
D ．2b ＝－，4c ＝－ 8．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线2y ax bx c =++的大致图象为（ ）
9．已知函数()20y ax bx c a =++≠的图象，如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）
A ．12b a <0<－
B ．22b a <0<－
C ．22b a <1<－
D ．12b a
－＝ 10．已知二次函数()()2
232y m m x m =-++++的图象过点()05， （1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。

课后反思：
小组评价： 教师评价：
第4题图
第5题图
第9题图
课题 22.1 二次函数（7）
导学目标知识点：掌握二次函数的三种表达形式：一般式2y ax bx c =++， 交点式()()12y a x x x x =--，顶点式()2
y a x h k =-+．能灵活运用这 三种方式求二次函数的解析式 课 时：1课时
导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程：
一、自主探究（课前导学）
1、一般地，形如2y ax bx c =++ (a ,b ,c 是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数，所以，我们把________________________叫做二次函数的一般式。

例1 已知二次函数的图象过()10，，()14－，－和(()03，－三点，求这个二次函数解析式。

二次函数2y ax bx c =++用配方法可化成：()2
y a x h k =-+，顶点是(),h k 。

配方: 2y ax bx c =++＝________________＝___________________＝
__________________＝2
2424b ac b a x a a -⎛⎫++ ⎪
⎝
⎭。

对称轴是2b x a =-，顶点坐标是2
424b ac b a
a -⎛⎫
⎪⎝⎭－，, 2b h a =-
，244ac b k a -=, 所以，我们把_____________叫做二次函数的顶点式。

例 2 已知二次函数的图象经过原点，且当1x =时，y 有最小值－1， 求这个二次函数的解析式。

3、一般地，函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标即为方程
20ax bx c ++＝的解；当二次函数2y ax bx c =++的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程20ax bx c ++＝的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方
程的关系。

所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：()()12y a x x x x =--，其中1x ，2x 为两交点的横坐标。

例3 已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别是13x ＝－，21x ＝，且与y 轴交点为()03，－，求这个二次函数解析式。

二、合作探究（课堂导学）
1、根据下列条件求二次函数解析式
（1）已知一个二次函数的图象经过了点()0,1A -，()1,0B ，()1,2C -；
（2）已知抛物线顶点()1,8P --，且过点()0,6A -；
（3）二次函数图象经过点()1,0A -，()3,0B ，()4,10C ；
（4）已知二次函数的图象经过点()4,3-，并且当3x =时有最大值4；
（5）已知二次函数的图象经过一次函数3
32
y x =-
+的图象与x 轴、y 轴的交点，且过()11，；
（6）已知抛物线顶点（1，16），且抛物线与x 轴的两交点间的距离为8；
2、如图所示，已知抛物线的对称轴是直线
3x =，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，
点A 、C 的坐标分别是（8，0）（0，4），求这个抛物线的解析式。

三、讨论交流（展示点评）
二次函数解析式常用的有三种形式：
（1）一般式： (0a ≠) （2）顶点式：___ __ (0a ≠) （3）交点式： (0a ≠)
拓展延伸（课外练习）：
1、已知二次函数2y ax bx c =++的图象过()0,5A -，()5,0B 两点，它的对称
轴为直线2x =，那么这个二次函数的解析式是_______________。

2、二次函数的图象经过点()10，，()20，()34，那么这个二次函数的解析式是_______________。

3、在平面直角坐标系中， AOB ∆的位置如图所示，已知90AOB ∠=︒，
AO BO =，点A 的坐标为()3,1-。

（1）求点B 的坐标。

（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；
（3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为1B ，求1AB B ∆的面积。

课后反思：
小组评价：教师评价：
课题 22．2 用函数观点看一元二次方程
导学目标知识点：知道二次函数与一元二次方程的关系；会用一元二次方程
20ax bx c ++＝
根的判别式24b ac ∆-＝判断二次函数2y ax bx c =++ 与x 轴的公共点的个数． 课 时：1课时
导学方法：实验、整理、分析、归纳法 导学过程：
一、自主探究（课前导学）
问题 如图，以40/m s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。

如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h （单位m ）与飞行时间t （单位s ）之间具有关系：2205h t t =-
考虑以下问题：
1、球的飞行高度能否达到15m ？如果能，需要多少飞行时间？
2、球的飞行高度能否达到20m ？如果能，需要多少飞行时间？
3、球的飞行高度能否达到20.5m ？为什么？
4、球从飞出到落地要用多少时间？
思考：结合图指出为什么两个时间球的高度为15m ，只在一个时间球的高度为 20m ?
二、合作探究（课堂导学）
2
4
20
10515
O
实验探究：下列二次函数的图象与x 轴有没有公共点？若有,求出公共点的横坐标；当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能写出相应的一元二次方程的根吗？ （1）22y x x =+- （2）269y x x =-+
（3）2
1y x x =-+
看图并回答：
（1）二次函数22y x x =+-的图
象与x 轴有____个交点，则一元二次方程220x x +-＝
的根的判别式∆_______0；
（2）二次函数269y x x =-+的图像与x 轴有___________个交点，则一元二次方程2690x x -+＝
的根的判别式∆_______0； （3）二次函数2
1y x x =-+的图象与x 轴________公共点，则一元二次方
210x x -+＝的根的判别式∆_______0．
（4）已知二次函数24y x x =-+的函数值为3，求自变量x 的值，可以看作解
一元二次方程 __________________．反之，解一元二次方程243x x -+＝
又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x 的值． 例1 利用函数图象求方程 220x x --=的实数根.
尝试总结：
一般地,从二次函数20y
ax bx c a =++≠（）的图象可知：
1、如果抛物线20y ax bx c a =++≠（）与x 轴有公共点，公共点的横坐标为0x ，那么0x x =，函数的值是0，因此0x x =就是方程20ax bx c ++＝
的 一个根。

2．二次函数20y ax bx c a =++≠（）与x 轴的位置关系有三种，列表如下：
二次函数 20y ax bx c a =++≠（）
的图象与x 轴交点
一元二次方程
200ax bx c a ++≠＝（）
的根 一元二次方程 200ax bx c a ++≠＝（）
的根的判别式24b ac ∆-＝
240b ac ∆->＝ 240b ac ∆-＝＝
240b ac ∆-<＝
三、讨论交流（展示点评） 四、课堂检测（当堂训练）
1、抛物线2235y x x =--与y 轴交与点 ，与x 轴交于点
2、一元二次方程23+100x x -=的两个根分别是5
2,3
12
x x =-=
，那么二次函数23+10y x x =-与x 轴交点坐标是 ；关于x 的一元二次方
()2
00ax bx c a ++=≠的两个根为,12
x x ，则抛物线()20y ax bx c a =++≠与
x 轴交点坐标是 。

3、抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x =-，则关于x 的一元二次
方程()200ax bx c a ++=≠的两个根分别是 1.3,12
x x =-= 。

4、抛物线如图所示
（1）当x 时，0y =；方程
213
022
x x --=的根为 （2）当1x <-或 3x > 时，y 0；
（3）当13x <<－
时，y 0； （4） 当x = 时，y 有最 值.
拓展延伸（课外练习）：
1、不论m 为何实数时，抛物线21y x mx =--与x 轴的交点（ ）.
A.有0个
B.有1个
C.有2个
D.无法确定 2、抛物线222y x kx =-++与x 轴交点的个数为（ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、都不对 3、抛物线2222y ax ax a =+++的一部分图象如右图所示.那么 该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标为 A 、（2
1
，0） B 、（1，0） C 、（2，0） D 、（3，0）
4、无论k 为何值时，直线21y kx =-和抛物线2y x x k =++（ ） A.都有一个公共点 B.都有两个公共点 C.没有公共点 D.公共点个数不确定
5、二次函数232y x x =-+，当1x =时，y =______；当0y =时，
x =_______．
6、二次函数246y x x =-+，当x =_______时，3y =．
7、当a 为何值时，抛物线2y ax =与直线31y x =+有两个交点？并求4a =时两函数图象交点的坐标.
8、已知二次函数()2221y x m x m =+++的图象与x 轴有两个交点.
（1）求m 的取值范围.
（2）当这两个交点横坐标的平方和等于7时，求m 的值.
课后反思：
小组评价： 教师评价：
课题二次函数系数a、b、c与图像的关系
导学目标知识点：
二、合作探究（课堂导学）
为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处挑射，正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运动路线是抛物线2+
=+如图，
y ax bx c
则下列结论：①601-
<a ，②060
1<<-a ，③0a b c -+>，④12a b a <<-其中正确的结论是（ ）
A ．①③
B ． ①④
C ． ②③
D ． ②④
三、讨论交流（展示点评）
1.下面就()2+0y ax bx c a =+≠中的a 、b 、c 的作用归纳如下．
a 的作用：
决定开口方向
0a >开口 ；0a <开口 ；
决定张口的大小
a
越大，抛物线的张口
b 的作用
b 与a 同号，
若02b
a -<，则顶点在y 轴的
b 与a 异号，
若02b
a
->，则顶点在y 轴的
顶点在y 轴上
c 的作用
0c >
抛物线与
y 轴的交点在y 轴的 0c <
抛物线与
y 轴的交点在y 轴的
c 0
抛物线过原点
2.若抛物线与x 轴交于()1,0，则=0a b c ++； 若抛物线与x 轴交于()1,0-，则0a b c -+<．
当1x =时， ①若0y >，则0a b c ++>；②若0y <，则0a b c ++< 当1x =-时，①若0y >，则0a b c -+>；②若0y <，则0a b c -+>．
四、课堂检测（当堂训练）
已知二次函数()2+0y ax bx c a =+≠图象与x 轴交于()2,0-、()1,0x 且112x <<，
与y 轴正半轴交点在()0,2下方，下列结论，①0a b <<，②0a b c ++>，③0a b c -+>④240b ac -<⑤420a b c ++>⑥0c >其中正确个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
拓展延伸（课外练习）：
1．满足0,0,0a b c <>=的函数2+y ax bx c =+的图象是图中的（ ）
2．在二次函数2+y x bx c =+中，若0b c +=，则它的图象一定经过点（ ）
A ．（-1，-1）
B ．（1，-1）
C ．（-1，1）
D ．（1，1） 3．若0ac <，则二次函数2+y ax bx c =+的图象与x 轴交点个数为（ ）
A ．2个
B ．l 个
C ．0个
D ．无法确定
4．已知二次函数2+y ax bx c =+的图象，则一次函数y ax bc =+的图象不经过（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．已知抛物线2+y ax bx c =+的图象如图所示，则关于x 的方程2+30ax bx c +-=的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的正实根
B ．有两个异号实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．没有实数根
6．已知二次函数2+y ax bx c =+的图象如图所示，下列结论中：①0abc >；②2b a =；③0a b c ++<；④0a b c -+>．正确的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．l 个
7．已知一次函数y ax c =+与二次函数2+y ax bx c =+，它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）
8．已知反比例函数k
y x
=的图象左图所示，则二次函数222y kx x k =-+的图象大致为图中的（ ）
课后反思：
小组评价： 教师评价：
第4题图
第5题图
第6题图
课题 22.3 实际问题与二次函数 1
导学目标知识点：利用二次函数c bx ax y ++=2的图象与性质，求面积最值问题 课 时：1课时
导学方法：整理、分析、归纳法 导学过程：
一、自主探究（课前导学）
1．二次函数c bx ax y ++=2在2=x 和4=x 处函数值相同，那么这个函数的对称轴是___________
4．二次函数c bx ax y ++=2的顶点坐标是（_______,__________）
3．一般地：如果抛物线c bx ax y ++=2的顶点是最低点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________；如果抛物线
c bx ax y ++=2的顶点是最高点，那么当=x _______时，二次函数c bx ax y ++=2有最_______值是_____________。

4．如图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的
关系是3
5
321212++-=x x y ，问此运动员把铅球推出多远？
二、合作探究（课堂导学）
问题：用总长为60m 的栅栏围成矩形草坪，矩形的面积S 随矩形的一边长l 的变化而变化，当l 是多少时草坪的面积S 最大？最大面积为多少?
三、讨论交流（展示点评）
四、课堂检测（当堂训练）
1、为改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）.若设绿化带的BC边长为()
x m，绿化带的面积为()2
y m
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范
围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
2、为改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如
x m，绿化带的面积为
图4）.若设绿化带的CD边长为()
()2
y m.
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
3、用一段长为40m的篱笆围成一边靠墙的草坪，墙长16m，当这个矩形的长和宽分别为多少时，草坪面积最大？最大面积为多少？。