华理线性代数答案

+
am−1
⎡⎢⎣λ10m−1
0 λ m−1
2
⎤ ⎥ ⎦
+
+
a1
⎡λ1
⎢ ⎣
0
0 λ2
⎤ ⎥ ⎦
+
a0
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦
=
⎡⎢amλ1m ⎣
+
λ a m−1 m−1 1 0
+
=
⎡ ⎢ ⎣
f
(λ1 0
)
0⎤ f (λ2 )⎥⎦
+ a1λ1 + a0
0
amλ2m
+
λ a m−1 m−1 2
+
⎤
+
a1λ2
1⎤ −2⎥⎦
−
⎡3 ⎢⎣−6
−1⎤ ⎡ 3 2 ⎥⎦ ⎢⎣−6
−1⎤ 2 ⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
−
⎡ 15 ⎢⎣−30
−5⎤ 10 ⎥⎦
=
⎡−15 ⎢⎣ 30
5⎤ −10⎥⎦
.
9. 设 A 是对称矩阵， B是反对称矩阵，则（ ）是反对称矩阵.
（A） AB − BA ; （B） AB + BA ; （C） ( AB)2 ; （D） BAB .
⎢ ⎢−
3
3
⎥ 3⎥
⎢ ⎢−
1
1
⎥ 0⎥
⎢⎣ 2 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2 2
⎥⎦
11. 设 A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，试证： AB 是反对称矩阵 的充分必要条件为 AB = BA . 证：必要性:
由 (AB)Τ = − AB 及 ( AB)Τ = BΤ AΤ = B(− A) = −BA 即得 AB = BA .
Tα Tα
)α )2
T
=I
.
1.3 逆矩阵
1. 设 A 为 n 阶矩阵，且满足 A2 = A ，则下列命题中正确的是（ ）.
（A） A = O ；
（B） A = I ；
（C）若 A 不可逆，则 A = O ； （D）若 A 可逆，则 A = I .
解：D.
2. 设 n 阶矩阵 A、B、C 满足 ABAC = I ，则必有（ ）.
⎥ ⎥
⎢ =⎢
1 2
1⎥ ⎢3
2 ⎥⎦
⎢⎣ 2
−
3 ⎤2007 ⎡
2
⎥ ⎥
⎢ ⎢
1 2
1⎥ ⎢3 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 2
−
3⎤
2
⎥ ⎥
1⎥ 2 ⎥⎦
⎡1
⎢ = (−I )669 ⎢
2
⎢3
⎢⎣ 2
−
3⎤
2
⎥ ⎥ = −A.
1⎥
2 ⎥⎦
⎡2⎤
(3)
A
=
⎢⎢−2⎥⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎡⎢⎣1,
1 2
,
1 3
⎤ ⎥⎦
华东理工大学
线性代数 作业簿（第一册）
学 院____________专 业____________班 级____________ 学 号____________姓 名____________任课教师____________ 1.1 矩阵的概念
1.
矩阵 A = ⎡⎣a ij ⎤⎦ = [2i −
j] = 2×3
⎡6800⎤ A ⎢⎣3200⎥⎦
=
A2 X
=
⎡6680⎤ ⎢⎣3320⎥⎦
不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人.
8.
设矩阵
A
=
⎡2 ⎢⎣−4
1⎤ −2⎥⎦
，
B
=
⎡3 ⎢⎣−6
−1⎤ 2 ⎥⎦
，
求: (1) AT BT − BT AT ; (2) A2 − B2.
解： (1)
AT BT
a22
a23
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
；
⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
解：原式等于：
a11x12 + a22 x22 + a33 x32 + (a12 + a21 )x1x2 + (a13 + a31 )x1x3 + (a23 + a32 )x2 x3
⎡1
(2)
⎢ A=⎢
2
⎢3
⎢⎣ 2
试证 A 为对称矩阵，且 A2 = I . 证：
AT
= (I
−
2
αα T αTα
)T
=
IT
−
αα T 2(α Tα
)T
=
I
−2 α Tα
(αα T )T
=
I
−
2
αα T α Tα
=
A
故 A 是对称矩阵，且
A2
=
(I
−
2
αα T αTα
)(
I
−
2
αα T αTα
)
=
I
−
4
αα T αTα
+
4
α
(α (α
1⎤ ⎡7⎤
3⎥⎥ ⎢⎢2⎥⎥ =
；
0⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ __________
⎡1 ⎤
(2) [1, 2, 3] ⎢⎢2⎥⎥ =
；
⎢⎣3⎥⎦ __________
⎡1 ⎤
(3) ⎢⎢2⎥⎥[−1, 2] =
;
⎢⎣3⎥⎦
__________
⎡1 3 1 ⎤
⎡2 (4) ⎢⎣1
1 −1
4 3
0⎤ 4⎥⎦
0⎤5 ⎡−7
3⎦⎥
⎢ ⎣
5
3⎤ −2⎥⎦
=
⎡3197 ⎢⎣7385
−1266⎤ −2922⎥⎦ .
7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该 公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000 人，若每 年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训，同时又有 60%脱产轮 训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令
充分性: 若 AB = BA ，则
( AB)Τ = BΤ AΤ = B(− A) = −BA = − AB ，知 AB 是反对称阵.
12. 设 f (x) = am xm + am−1xm−1 + + a1x + a0 ，记 f ( A) 为方阵 A 的多 项式，即
f ( A) = am Am + am−1 Am−1 + + a1 A + a0 I
求: A−1, ( A + 2I )−1, ( A + 4I )−1 .
解：依题意，有 A（A + 2I）= 3I ，即 A（A + 2I）= I ，故 3
A−1 = 1（A + 2I）；（A + 2I）−1 = 1 A ，
3
3
再由已知凑出 ( A + 4I )( A − 2I ) = −5I ，即得
⎡a b c ⎤⎡0 1 0⎤ ⎡0 a b⎤
BA = ⎢⎢d
e
f ⎥⎥⎢⎢0 0 1⎥⎥ = ⎢⎢0 d
e
⎥ ⎥
，
⎢⎣g h i ⎥⎦⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎢⎣0 g h⎥⎦
⎡d e f ⎤ ⎡0 a b⎤
由
AB
=
BA
，即得
⎢ ⎢
g
h
i
⎥ ⎥
=
⎢⎢0
d
e
⎥ ⎥
，
⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 g h⎥⎦
+
a0
⎥ ⎦
（2） A = PΛP−1 ⇒ Ak = PΛk P−1
∴ f ( A) = f (PΛP−1) = am PΛm P−1 + am−1PΛm−1P−1 + + a1PΛP−1 + a0 PP−1
= Pf (Λ)P−1
13．设矩阵 A = I − 2 αα T ，其中 I 为 n 阶单位阵，α 为 n 维列向量， αTα
⎢⎢0 ⎢1 ⎢⎣4
−1 −3 0
2
⎥ ⎥
=
1⎥
.
−2⎥⎦ __________
⎡35⎤
⎡−1 2⎤
解：
(1)
⎢ ⎢
6
⎥ ⎥
；(2)
14；(3)⎢⎢−2⎢⎣49⎥⎦⎢⎣−3
4⎥⎥ ；(4) 6⎥⎦
⎡6 ⎢⎣20
−7 −5
8⎤ −6⎥⎦ .
⎡0 1 0⎤ 4. 已知矩阵 A = ⎢⎢0 0 1⎥⎥ ，试求与 A 可交换的所有矩阵.
（1）
设
Λ
=
⎡λ1 ⎢⎣ 0
0⎤ λ2 ⎥⎦
，证明
f
(Λ)
=
⎡ ⎢⎣
f
(λ1 ) 0
f
0 (λ2
)
⎤ ⎥⎦
；
（2） 设 A = PΛP−1 ，证明 f ( A) = Pf (Λ)P−1 .
解：（1）∵ Λk = ⎡⎢⎣λ01k
0⎤
λ2k
⎥ ⎦
∴ f (Λ) = am ⎡⎢⎣λ01m
0 λ2m
⎤ ⎥ ⎦
.
_____________________
解：
A
=
⎡1 ⎢⎣3
0 2
−1⎤
1
⎥ ⎦
.
2．设
⎡1 0 0 0⎤
⎡1 0 0⎤
⎡3 0 0⎤
A
=
⎡5 ⎢⎣0
2⎤ 4⎥⎦ ,
B = ⎢⎢0 ⎢⎣0
1 0
0 1
0⎥⎥ , 0⎥⎦
C = ⎢⎢2 ⎢⎣0
3 4
0⎥⎥ , 1⎥⎦
D = ⎢⎢0 ⎢⎣0
3 0
0⎥⎥ , 3⎥⎦
− BT AT
=
⎡2 ⎢⎣1
−4⎤ ⎡ 3 −2⎥⎦ ⎢⎣−1
−6⎤ 2 ⎥⎦
−
⎡3 ⎢⎣−1
−6⎤ ⎡2 2 ⎥⎦ ⎢⎣1
−4⎤ −2⎥⎦
=
⎡10
⎢ ⎣
5
−20⎤ −10⎥⎦
−
⎡0 ⎢⎣0
0⎤ 0⎥⎦
=
⎡10
⎢ ⎣
5
−20⎤ −10⎥⎦
；
(2)
A2
−
B2
=
⎡2 ⎢⎣−4
1 ⎤⎡ 2 −2⎥⎦ ⎢⎣−4
⎢⎣0 0 0⎥⎦
解：由可交换矩阵的定义，知道所求矩阵必为 3 阶方阵，不妨设
⎡a b c⎤
其为 B = ⎢⎢d
e
f
⎥ ⎥
，于是有
⎢⎣g h i ⎥⎦
⎡0 1 0⎤⎡a b c ⎤ ⎡d e f ⎤
AB = ⎢⎢0 0 1⎥⎥⎢⎢d
e
f
⎥ ⎥
=
⎢ ⎢
g
h
i
⎥ ⎥
，
⎢⎣0 0 0⎥⎦⎢⎣g h i ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦
A
=
⎡0.7 ⎢⎣0.3
0.6⎤ 0.4⎥⎦ ,
X
=
⎡8000⎤ ⎢⎣2000⎥⎦
试用 A 与 X 通过矩阵运算表示一年后和两年后的职工状况，并据 此计算届时不脱产职工与脱产职工各有多少人.
解：一年后职工状况为：
AX
=
⎡6800⎤ ⎢⎣3200⎥⎦
不脱产职工 6800 人，轮训职工 3200 人.
两年后职工状况为：
⎢⎣−1 −1 −1
1
⎥ ⎦
证：由 A2 = 4I ，即可得
⎧
An
=
⎪ ⎨
n
n
( A2 ) 2 = (4I ) 2 = 2n I , n为偶数
n−1
⎪⎩An−1 A = (4I ) 2 A = 2n−1 A, n为奇数
及 A（⋅ 1 A）= I ，亦即 A−1 = 1 A .
4
4
4. 已知 n 阶矩阵 A 满足 A2 + 2 A − 3I = O ，
−6 ⎤ −12⎥⎦
=
⎡2 ⎢⎣5
3⎤ ⎡2 7⎥⎦ ⎢⎣0
0⎤ ⎡−7 3⎥⎦ ⎢⎣ 5
3⎤ −2⎥⎦ ,
⎡−7 ⎢⎣ 5
3 ⎤ ⎡2 −2⎥⎦ ⎢⎣5
3⎤ 7⎥⎦
=
⎡1 ⎢⎣0
0⎤ 1⎥⎦ ,
计算
⎡17 ⎢⎣35
−6 ⎤5 −12⎥⎦ .
解：
⎡17 ⎢⎣35
−6 ⎤5 −12⎥⎦
=
⎡2 ⎣⎢5
3⎤ ⎡2 7⎦⎥ ⎣⎢0
（A） CA2 B = I ； （B） AT BT AT CT = I ；
（C） BA2C = I ；
解：B.
（D） A2 B2 A2C 2 = I .
⎡ 1 −1 −1 −1⎤
3．已知矩阵 A = ⎢⎢−1 1 −1 −1⎥⎥ ，求 An 及 A−1 （ n 是正整数）. ⎢−1 −1 1 −1⎥
解：B.
⎡ 1 2 −1⎤
10．试将矩阵
A
=
⎢ ⎢
3
0
1
⎥ ⎥
表示成对称矩阵与反对称矩阵之和.
⎢⎣−2 2 3 ⎥⎦
解：
⎡ ⎢
1
⎢
5 2
−
3 2
⎤ ⎥ ⎥
⎡ ⎢
0
⎢
−1 2
1⎤
2
⎥ ⎥
A=
1 (A+ 2
AT ) + 1 ( A − 2
AT
)
=
⎢ ⎢
5 2
0
3 2
⎥ ⎥
+
⎢ ⎢
1 2
0
−
1 2
⎥ ⎥
.
−1 1
1⎤ 1⎥⎦
=
⎡4 ⎢⎣−1
−3 1
3⎤ 5⎥⎦
，
⎡4
即得 X
⎢ =⎢
3
−1
1
⎤ ⎥
⎥.
⎢⎢⎣−
1 3
1 3
5⎥ 3 ⎥⎦
2. 如果矩阵 Am×n 与 Bt×s 满足 AB = BA ，试求 m, n, t, s 之间的关系. 解： m = n = t = s .
3. 填空： ⎡4 3
(1) ⎢⎢1 −2 ⎢⎣5 7
，求
A9
.
解：
⎡ 2 ⎤⎧
⎡ 2 ⎤⎫8
⎡ ⎢
2
⎢
1
2⎤
3
⎥ ⎥
A9
=
⎢⎢−2⎥⎥ ⎢⎣ 3 ⎥⎦
⎪⎨⎪⎡⎢⎣1, ⎩
1 2
,
1⎤ 3 ⎥⎦
⎢⎢⎢⎣ −32⎥⎥⎥⎦ ⎪⎬⎪⎭
⎡⎢⎣1,
1 2
,
1 3
⎤ ⎥⎦
=
28
A
=
256
⎢⎢−2 ⎢
⎢3
−1 3
−
2 3
⎥ ⎥
.
⎥
1⎥
⎢⎣ 2
⎥⎦
6. 利用等式
⎡17 ⎢⎣35
−
3⎤ ⎥
2 ⎥ ，求 A2008 ；
1⎥
2 ⎥⎦
⎡1
解：记
A
=
⎢ ⎢
2
⎢3
⎢⎣ 2
−
3⎤
2
⎥ ⎥ ，则
A2
=
⎡ ⎢− ⎢
1 2
1⎥
⎢3
2 ⎥⎦
⎢⎣ 2
−
3⎤
2
⎥ ⎥，
−
1 2
⎥ ⎥⎦
A3